Теория вероятности 30

30. Неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин (с выводом).

1-ый вариант ответа : по условию М(Х1)=а1, М(Х2)=а2,…,М(Хn)=а_n , Д(Х1)≤С, Д(Х2)≤С,…, Д(Хn)≤С, где С – постоянное число. Получим неравенство Чебышева в форме Р(|Х-а|≤∆)≥1- Д(Х) / ∆² (*) для средней арифметической СВ, т.е. для Х=(Х1+Х2+…+Хn) /n. Найдем мат. Ожидание М(Х) и оценку дисперсии Д(Х): М(Х)=М((Х1+Х2+…+Хn) /n)=1/n(М(Х1)+ М(Х2)+…+ М(Хn))= (а1+ а2+…+ а_n) / n. Д(Х)=Д((Х1+Х2+…+Хn) /n)=1/n²(Д(Х1)+ Д(Х2)+…+ Д(Хn))≤ 1/n²(С+С+…+С)( n раз)= nС/n²=С / n. Здесь использованы свойства мат. Ожидания и дисперсии и, в частности, то, что СВ Х1,Х2,…,Хn независимы, а следовательно, дисперсия их суммы равна сумме дисперсий. Запишем неравенство (*) для СВ Х=(Х1+Х2+…+Хn) /n: Р(|(Х1+Х2+…+Хn) /n - (а1+ а2+…+ а_n) / n |≤∆)≥1-Д(Х) /∆². так как неравенство Д(Х)≤С / n, то 1- Д(Х) /∆²≥1- (С / n) / ∆²=1-С / n∆².

2-ой вариант ответа: Т.Бенулли Частость события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и тойже вер-ю p,при неограниченном увеличении числа n сходится к вер-ти p этого соб-я в отдельном исп-и

Или

Вытекает из нер-ва Чебышева для частости собятия: