14. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства (с выводом). Примеры.

Опр. Математическим ожидание M(X) дискретной с.в. X наз-ся сумма произведений всех её значений на соответствующие им вер-ти

Св-ва.

1) М(С)=С, где С- пост. случ. величина.

2)М(х)=М(х); -некоторое число.

3)М(ХY)=М(X)M(Y). 4)Пусть случ. вели-чины X иY- независимы, тогда М(XY)=M(X)M(Y).

5)Пусть х1,…,хn- случ. вели-чины такие, что M(x1)=…=M(xn)=a; M((x1+…+xn)/n)=a

15. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства (с выводом). Примеры.

Опр.Дисперсия D(X) с.в.X наз-ся матем.ожид.квадрата её отклонения от матем.ожид.

D(X)=M(X-M(X))

Свойства.

1) D(C)=0

2) D(kX)=k²D(X)

3) D(X)=M(X²)-[M(X)]²

4) D(X±Y)=D(X)+D(Y)

16. Математическое ожидание и дисперсия числа и частости наступлений события в п повторных независимых испытаниях (с выводом).

Пусть проводится исп-й, в каждом событие может произойти с вер-ю p. Наступление или не наступление события А в каждом испытании не зависит от того произошло ли оно (и сколько раз) в предыдущих испытаниях. В этом случае говорят,что имеются независимые повторные испытания.

Пусть X число наступления события А в n независ.испыт.

{ 1 соб.А произо. в i-испыт

Z_i ={ 0 если нет

q=1-p

M(Z_i)=0q+1p=p

M(X²_i)=0²q+1²p=p

D(Zi)=M(Zi²)-(M(Zi))²=p-p²=p(1-p)=pq

X=Z1+Z2+…Zn

M(X)=M(Z1+…Zn)=M(Z1)+…M(Zn)=p+..+p{n раз}=np

D(X)=D(Z1+..+Zn)=D(Z1)+..+D(Zn)=pq+..pq{n раз}=npq

В частости:

X-число наступления соб-я А

Y-частота наступ.соб-я А

Y=X/n

M(Y)=M(X/n)=M(1/n*X)=1/nM(X)=np/n=p

D(Y)=D(X/n)=D(1/n8X)=1/n²D(X)=npq/n²=pq/n

Если n увеличивается то дисперсия Y уменьшается,т.е.значение Y становится ближе к своему среднему значению.

17. Случайная величина, распределенная по биномиальному закону, ее математическое ожидание и дисперсия. Закон распределения Пуассона.

Опр.С.в.Х считается распределённой по бинуминарному закону с параметрами n p, если она принимает значения 0,1,2 и т.д.до n с вер-ю:

0<p<1 q=1-p

Следствия.1. Пусть Х число наступлений соб-я Ав n независ.испыт..Тогда Х распределена бинуминар. Закону с параметрами n и p

2. Пусть Х распределена бин.закону с парам n и pТогда

M(X)=np D(X)=npq

Опр. С.в.Х имеет распределение Пуассона если она принимает значения 0,1…n с вер-ю:

M(X)=λ D(X)=λ

18. Функция распределения случайной величины, ее определение, свойства и график.

Опр.Функцией распределения F(x) с.в.Х, наз-ся фун-я равная вер-ти того что с.в.Х примет значение <х,F(x)=P(X<x)

Утв. Фун-я распределения любой дискретной с.в.есть разрывная ступенчатая фун-я, скачки которой происходят в точках, соответствующие возможным значениям с.в.и равны вер-тям этих значений. Сумма всех скачков фун-ии равна 1.

Св-ва:

1. 0≤F(x)≤1

2. Фун-я распр.с.в.есть неубывающая фун-ия на всей числовой оси.

3.на -∞ фун-ия равна 0, а на +∞ равна 1

4. Вер-ть попадания с.в.в интервал [x₁,x₂) равна приращению её фун-и распределения на этом интервале,т.е.

P(x₁≤X≤x₂)=F(x₂)-F(x₁)

19. Непрерывная случайная величина (нсв). Вероятность отдельно взятого значения нсв. Математическое ожидание и дисперсия нсв.

Опр.С.в.Х наз-ся непрерывной, если её фун-я распределения непрерывна в любой точке и диффиренцируема всюду, кроме ,быть может, отдельных точек.

Т. Вер-ть любого отдельно взятого значения с.в.равно 0.

Док-во. Х-нсв х₁-произвол.числ

тогда P(X=x₁)=0

P(X=x1)=lim_a-x1P(xэ[x₁,a))=lim_a-x1(F(a)-F(x1))=lim_a-x1F(a)-lim_a-x1F(x1)=lim_a-x1F(a)-F(x1)=F(x1)-F(x1)=0

Следствие: P(x1≤x<x2)=P(x1<x<x2)=P(x1<x≤x2)=P(x1≤x≤x2)

M(X)=∫^-∞_+∞xφ(x)dx

D(x)= ∫^-∞_+∞(x-a)²φ(x)dx

φ(x)-плотность вероятности