Құйынды және құйынсыз қозғалыстар

Күш жүмсау әрекетімен, қозғалыс ұрдісінде пайда болатын деформация әсерінен болған, сұйықтықтың элементар көлемінің айналуын қарастырайық.

z өсі бойынша - сұйықтық элементінің айналу бұрыштық жылдамдығы , жылдамдық компоненттері және олардыңx пен y бойынша туындылары арқылы, 3.3 суретте көрсетілгендей, өрнектелуі мүмкін.

y

x

z

3.3 сурет. Элементар көлемнің айналуын есептеуге арналған сұлба.

Сағат тіліне қарсы айналу белгісі бойынша оң деп есептей отырып, қабырғасы үшін айналу жылдамдығы тең

.

қабырғасы үшін (айналу сағат тілі бойынша)

.

z өсі бойынша сұйықтық элементінің толық айналу бұрыштық жылдамдығы, оның қабырғаларының айналу жылдамдықтарының арифметикалық орта мәні болып табылады, яғни

.

Осы сияқты табамыз:

; .

Айналу бұрыштық жылдамдығының қорытынды векторы

(3.11)

жылдамдықтың құйын векторы деп аталады. Ол ортаның элементар көлемінің абсолютті қатты дене сияқты бұрыштық жылдамдығымен

. (3.12)

айналуын сипаттайды.

Осындай қозғалыс құйынды қозғалыс деп аталады. Жылдамдықтың құйын векторынан екі есе үлкен векторын иірімділік векторы немесе қарапайым иірімділік деп атайды.

Егер ағыстың барлық нүктелерінде иірімділік нөлге айналса, онда қозғалыстағы ортаның жылдамдықтар өрісі және ағыстың өзі құйынсыз деп аталады. Вектордың барлық компоненттері нөлге тең болған жағдайда ғана вектор нөлге тең болғандықтан, қозғалыстың иірімділігі болмауының математикалық өрнегі қатысы болады.

Декарт координаталар жүйесі нде олар мына түрде болады:

;;; (3.13)

Жылдамдық потенциалы және оның ток функциясымен байланысы.

Бұрыштық жылдамдығының компоненттері нөлге тең болғандағы қозғалыс алдында құйынсыз ағыс деп анықталды, сондықтан және (3.13) теңдіктері орынды.

Екінші жағынан, егер бірінші және екінші үзіліссіз туындылары бар, кейбір скаляр функциясы болса, онда векторлық талдауынан белгілі . Бұган қажетті дифференциалдау операцияларын орындаған жағдайда көз жеткізуге болады. Сондықтан құйынсыз қозғалыста градиенті оның жылдамдық векторына тең, скаляр функциясы болу керек. Бұл скаляр функциясы азайатын ағыс бағытын оң деп есептеу қабылданған

. (3.14)

Теріс градиент жылдамдық векторына тең болғандықтан, функциясы жылдамдық потенциалы деп аталады, ал құйынсыз ағынды жиі потенциалды ағын дейді. Құйынсыз қозғалыс жағдайда сығылатын да, сығылмайтын да сұйықтықтар болуы мүмкін және осы әр жағдайда да жылдамдықтың потенциал функциясы бар болады.

Сығылмайтын сұйықтық ағысы үшін үзіксіздік теңдеуі бойынша

.

Сондықтан, . (3.15)

Алынған теңдеу Лаплас теңдеуі болып табылады, дифференциалдық оператор лапласиан деп аталады және декарт координаталарында мына түрде болады

; (3.16)

Сығылмайтын сұйықтықтың екіөлшемді құйынсыз ағысы үшін жылдамдық потенциалы және ток функциясы анықталған байланыста болады.

(3.14) өрнегінің декарт координаталар өстеріне проекцияларын қарастырсақ, табамыз

. (3.17)

(3.9) өрнегін ескере отырып, аламыз

; . (3.18)

Бұл теңдеулер Коши – Риман шарты ретінде белгілі. Оларды иірімділік жоғын көрсететін теңдеуге немесе екіөлшемді қозғалыс үшін теңдеуіне қойсақ, табамыз , яғни ток функциясы Лаплас теңдеуін қанағаттандырады.

Нег.: 1. [19-22 ], [31-40 ], 3. [50-70].

Қос. : 5. [40-44]., [50-56].

Бақылау сұрақтары:

1. Ток сызығының анықтамасын беру.

2. Ток сызығының траекториядан айырмашылығы не де?

3. Ерекше нүктелер дегеніміз не?

4. Физикалық мағынасында жылдамдық векторының ағыны нені білдіреді?

5. Ток функциясының анықмасын беру.

6. Құйынсыз қозғалыс дегеніміз не?

7. Құйынды қозғалыс дегеніміз не?

8. Иірімділік қалай анықталады?

9. Жылдамдық потенциалы дегеніміз не?

10. Коши – Риман шартысының мағынасы не де?

11. Қандай қозғалыста жылдамдық потенциалы мен ток функциясы анықты байланыста жатады?

№ 4 дәріс. Идеал сұйықтықтар динамикасының негізгі теңдеулері. Сұйықтық пен газ физикасы есептерінің жалпы қойылымы. Сығылмайтын және сығылатын сұйықтық жағдайлары. Баротроптық және бароклиндік. Энергия құйылу теңдеуі.

Массалық және беттік күштері. Сұйықтықта, тұйық бетпен шектелген кейбір көлемін бөліп аламыз (4.1 сур.). Сұйықтықтың бөлінген көлеміне әсер ететін күштерді екі класқа бөлуге болады.

z n

s

0y

x

4.1 сур. Сұйықтықтың бөлінген көлеміне беттік күштердің әcер ету сұлбасы.

Бірінші класқа біздер көлемнің әр элементіне әсер ететін, көлемнің қасында сұйықтықтың басқа бөлшектері бар немесе жоқ болатынына тәуелсіз күштерді жатқызамыз. Бұл күштерді біздер массалық немесе көлемдік деп атаймыз. Егер арқылы, массаның бірлігіне қатынасты, массалық күштердің векторын атасақ, онда тығыздығы сұйықтықтың көлем элементіне массалық күші әсер етеді; бүкіл көлемге әсер ететін массалық күштердің бас векторы, көлемі бойынша таратылған векторлық интегралымен өрнектеледі, ал бас вектордың Оx, Oy, Oz декарт координаталар осьтеріне проекциялары сәйкес болады:

,

мұнда - вектордың проекциялары.

Координаталар басына қатысты, көлеміне әсер ететін (түсірілген) массалық күштерінің бас моменті векторлық интегралыменөрнектеледі, мұнда-бөлшектің радиус-векторы; бас моментің Оx, Oy, Oz декарт координаталар осьтеріне проекциялары келесі интералдарға сәйкес болады:

Ауырлық күші, инерция күші және басқалары массалық күшінің мысалдары болып табылады.

Екінші күштер класына қарастырып жатқан көлеміне әсер ететін, біздер сұйықтықтың әр түрлі бөлшектерінің арасындағы бір – бірімен әсер ететін күштерді жатқызамыз. Әрекет және қарсы әрекет теңдік принципі бойынша көлемінің барлық ішкі бөлшектерінің арасындағы бір – бірімен әсер ету күштері тепе –теңдікке келеді, тек көлемнің беттік бөлшектеріне әсер ететін күштер, беттің сыртында жатқан бөлшектерден пайда болатын, тепе –теңсіздікте болуы мүмкін. Осындай күштерді беттік деп атайды. Егер арқылы аудан бірлігіне қатынасты, беттік күш векторын белгілесек, онда беттің элементар ауданында көлемге, сыртқы бөлшектерден пайда болатын күші әсер етеді; таңбасы векторы элементар ауданның бағыттауынан (бағдарлауынан) тәуелді екендігін көрсетеді, яғни сыртқы нормаль бағытынан.

көлемге әсер ететін, беттік күштердің бас векторы және бас моменті, бүкіл тұйық бет бойынша таратылған интегралдарымен өрнектеледі:

және .

Қозғалыстың жалпы теңдеуі. Кез келген материалды жүйенің әр қозғалыс сәтінде осыған әсер ететін барлық күштер, инерция күшін және қосканда, бір – бірімен тепе – теңдікте болады деп айтылатын Даламбер принципін қолданайық, сонда

(4.1)

мұнда - элементтің үдеуі; сонда - инерция күшінің бас векторын өрнектейді.