Бақылау сұрақтары:

1. Тұтас орта деп нені айтады?

2. Сұйықтықтар қандай кластарға бөлінеді?

3. Көлемдік сығу коэффициенті неге тең?

4. Серпімділік модулі неге тең?

5. Температуралық ұлғаю коэффициенті неге тең?

6. Идеал сұйықтық дегеніміз не?

7. Тұтқыр сұйықтық дегеніміз не?

8. Динамикалық тұтқырлық коэффициенті дегеніміз не?

9. Ньютондық және ньютон еместік сұйықтықтар дегеніміз не?

10. Кинематикалық тұтқырлық коффициенті неге тең?

11. Сұйықтық қозғалысының қандай режимдері болады?

№2 дәріс. Сұйықтық пен газдың тепе – теңдігі. Эйлер теңдеулері. Ауырлық күші өрісіндегі тепе – теңдік. Сұйықтық пен газдың кинематикасы. Тұтас орта қозғалысын сипаттау тәсілдері.

2.1 сурет. Тепе – теңдік жағдайдағы нүктедегі кернеулер сұлбасы

Призма пішінді элементар сұйықтық көлемін қарастырамыз (2.1сур.). Осы көлем тепе – теңдікте жатыр және кернеулер туғызатын беттік күштері көлемге немесе массаға пропорционалды сыртқы күштерімен (яғни, көлемдік немесе массалық күштерімен) тепе–теңдікте болады деп ұйғарамыз. x және z координаталар өстерінің бағыттары бойынша тепе-теңдік теңдеулері мынадай болады:

немесе

;

немесе

.

2.1 суреттен оңай байкалады, онда жаңа жазылған теңдеулердің орнына аламыз

;

.

Көбейткіштеріне қысқартып, табамыз

Көлемді нөлге ұмтылдырамыз, яғни оны бір нүктегі келтіреміз. Сонда екінші теңдеудің соңғы қосылғышын ескермеуге болады (ол нөлге ұмтылады), осыдан аламыз. Сұйықтық көлемін кеңістікте басқаша бағыттап екенін көрсетуге болады, сондықтан

.

Сонымен, тепе – теңдікте жатқан сұйықтықтың әр нүктесінде нормаль кернеу бағыттан тәуелсіз болады; ол скаляр шама болып табылады. Созылу кернеу кері таңбадағы қысым, яғни .

Тепе – теңдіктің дифференциалдық теңдеулері (Эйлер гидростатикалық теңдеулері).

Тепе – теңдікте нормаль кернеу шамасы, демек қысым шамасы әсер ету ауданның бағыттауына байланысты болмағанмен, жалпы жағдайда сұйықтықтың әр түрлі нүктесінде ол әр түрлі болуы мүмкін. Басқаша сөзбен, қысым, немесе оны тағы гидростатикалық қысым деп атайды, координаталардан тәуелді функция болып табылады, яғни

. (2.1)

Тыныш қалпында жатқан сұйықтық ішінде, кез келген О нүктесі қасынан, Оz өсі жоғары вертикаль бағыт алатын, тікбұрышты координаталар жүйесін орналастырамыз. Сұйықтықтан dx, dy, dz қабырғалары координаталар өстеріне параллель, параллелепипед пішінді элемент бөліп аламыз және оның жақтарына алты қысым күштері мен көлемдік (массалық) күші әсерінен пайда болатын тепе – теңдіктің шарттарын жазамыз (2.2 сур.).

О

2.2 сурет. Көлемдік (массалық) күші және параллелепипед жақтарына қысым күштері әсерінен пайда болған тепе – теңдік.

Бөлінген көлемнің тепе-теңдік теңдеулері мына түрде болады:

теңдеу келесі күштердің әсерін өрнектейді: сол жаққа қысым күштері, мұнда - осы жақтағы орташа гидростатикалық қысым; оң жаққа қысым күштері және көлемдік күштің y-өсіне проекциясы, мұнда - y өсіне күшіне сәйкес үдеу проекциясы.

Бөлінген көлем жеткілікті кіші. Бұл көлем ішіндегі қысым кез келген координата бойынша сызықты өзгереді деп санауға мүмкіндік береді. Сонда Тейлор қатарына қысымды (y=0 қасында) жіктеп және қатардың сызықты қосылғыштарымен шектеліп, аламыз.

Сонымен,

немесе түрлендіргеннен кейін және -ке бөлгенде, табамыз:

(2.2)

Осы сияқты басқа екі теңдеуді алып, келесі тепе – теңдіктің теңдеулер жүйесін аламыз (Эйлер теңдеулері):

(2.3)

Осы жүйенің бірінші теңдеуін dx –ке, екіншісін – dy-ке, үшіншісін – dz-ке көбейтіп және оларды бір –бірімен қосып, аламыз

(2.4)

(2.4) өрнектің сол жағы толық дифференциал болып табылады. Сондықтан

(2.5)

жазуға болады.

Бұл сұйықтық пен газ статикасының негізгі дифференциалдық теңдеуі.

Егер, өрнектің оң жағы толық дифференциал болып табылмайтындай күш пен тығыздық x, y және z -тің функциялары болса, онда сұйықтықтың тепе-теңдігі мүмкін емес. Сонымен, тығыздық пен күштерге қатысты барлық шарттарда, сұйықтық тепе-теңдікте болуы мүмкін емес.

Сығылмайтын сұйықтық үшін (const) (2.5) теңдеуінің оң жағы

(2.6)

теңдіктер орындалғанда толық дифференциал болады.

Осылайша анықталған функциясы күш функциясы, ал оның кері таңбалы шамасы потенциал деп аталады. Сонда (2.5) теңдеуді түрінде бейнелеуге, ал тепе–теңдік шартты былай тұжырымдауға болады: сығылмайтын сұйықтық тепе – теңдікте жатады, егер оған әсер ететін күштердің потенциалы болса.

Егер сұйықтық (газ) сығылатын және температурасы тұрақты болса, онда тығыздық тек қысымнан тәуелді функция болып табылады, яғни Сонда (2.5) теңдеу түрінде болады.

Соңғы теңдеудің сол жағындағы интегралды арқылы белгілеп өрнекті аламыз, алдынғыға ұқсас және сондай қорытындымен: сұйықтық тыныш қалпында болу үшін, оған әсер ететін күштердің потенциалы болу керек. Егер сұйықтық көлемінде температура өрісі болса, яғни көлемнің әр түрлі нүктесінде температуралар әр түрлі, онда тепе – теңдік болмайды екені өз-өзінен ап-айқын, өйткені сұйықтықта салқын және ыстық массаларының орын ауыстыруы пайда болады.

Барлық нүктесінде қысым тұрақты болған бетті деңгейлік беті деп атайды.

кезінде (2.5) теңдеуімен осы бетті сипаттауға болады. Айтып кету жөн екі әр түрлі бет деңгейлері бір – бірімен қиылыспайды.

Ауырлық күші өрісіндегі тепе – теңдік.

Сұйықтықтар мен газдар өте жиі ауырлық күші әсерінен тепе – теңдікте болады. Осы күйді талдау үшін, және екі белгісіз функциялары ішіне кіретін, (2.5) гидростатиканың негізгі дифференциалды теңдеулерін интегралдау қажет. Осы операцияны жасау үшін тағы бір теңдеу керек. Дербес жағдайда, ол теңдеуі болуы мүмкін, сығылмайтын (біртекті) сұйықтықтарға әділетті, немесе газдар үшін күй теңдеуі.

Осы жағдай үшін қозғалмайтын сұйықтық массасына тепе – теңдіктің негізгі теңдеуі табылуы мүмкін, егер көлемдік күші ретінде ауырлық күші болса, ал осы күштің үдеуіне еркін түсу үдеуі сәйкес болады деп ескерсек.

Oz ордината өсін вертикаль жоғары бағыттаймыз. Сонда ауырлық күшінің үдеу проекцияларының мәндері тең болады, ал (2.5) теңдеуі мына түрге келеді:

. (2.7)

Егер еркін беттің координатасы болса және осы бетке әсер ететін сыртқы қысым тең десек (дербес жағдайда бұл қысым атмосфералық қысымға тең болады), онда (2.7) теңдеуді ден дейін және ден дейін аралықтарда жағдайда интегралдасақ, аламыз

(2.8)

Алынған (2.8) өрнек ауырлық күші өрісіндегі сығылмайтын сұйықтықтың негізгі тепе – теңдік теңдеуі болып табылады.

(2.8) теңдеуді ұзындық бірлігінде жазуға болады:

(2.9)

Газды орталардың тығыздығы қысым мен температурадан тәуелді, сондықтан олар үшін (2.7) интегралдауда осыны ескеру керек. (2.7) теңдеуімен бірге Менделеев – Клайперон теңдеуін пайдаланып, аламыз

немесе кезінде екенін ескере отырып, интегралдағаннан кейін, табамыз

. (2.10)

Бұл формула барометрлік формуласы деп аталады. Температураның биіктіктен байланысын біліп, (2.10) өрнек көмегімен қысымның биіктік бойынша өзгеруін табуға болады.

Егер атмосфера изотермиялық тепе – теңдікте жатса деп есептесек (, онда (2.10) барометрлік формуласынан қысымның биіктік бойынша кемуының экспоненциалды заңы шығады

. (2.11)

Шектелген биіктік аралығында (11км дейін) жиі атмосферада температура биіктік бойынша сызықты заңымен кемиді деп алады.

Осындай жағдайда (2.11) –ден табамыз

. (2.12)

Сұйықтық пен газдың кинематикасы. Тұтас орта қозғалысын сипаттау тәсілдері.

Кинематика деп дене қозғалысының жаралу себебін анықтамай-ақ жалпы қасиетін қарастыратын механика бөлігін айтады. Сұйықтық пен газ кинематикасында кеңістіктегі сұйықтық пен газ болшектерінің уақытқа байланысты орналасуы оқылады. Н.Е.Жуковскийдың айтуы бойынша кинематика қозғалыс геометрия болып табылады.

Сұйықтық пен газ кинематикасында нүкте кеңістіктегі орын болып табылады, ал бөлшек – материалды континуумның кішкене бөлігі.

Қозғалыстағы сұйықтықтың әр түрлі бөлшектерінің әдетте әр түрлі жылдамдықтары мен үдеулері болады, сондықтан ағыc өрісі, сұйықтық тұратын барлық кеңістіктің әр түрлі нүктелеріндегі жылдамдықтары және үдеулерімен сипатталу керек. Жылдамдықтар мен үдеулер векторлық шамалар болып табылады және сәйкес v, а болып белгіленеді. Жалпы жағдайда v және а кеңістік коорлинаталар мен уақыттың функциялары болып табылады.

Сұйықтық пен газдың механикасында дененің қозғалысың сипаттау ұшін екі тәсіл қолданылады: санақты және кеңістікті.

XVIII ғ. ортасында Л.Эйлер гидродинамикада лагранж деген түсінікті енгізген. Бұл санақ сипаттауының дербес жағдайы, бұл жағдайда қозғалыстағы сұйықтық шексіз көп мөлшердегі «материалды нүктелердің» - сұйықтық бөлшектердің жиынтығы түрінде көрсетіледі және әрбір бөлшектің «таңбасы» ретінде уақыт сәтіндегі оның жағдайының декарт координаталары қолданылады. Бұл кейбір кез келген сәтте, шартты нөлге тең деп алынатын, әрбір бөлшектің координаталары берілетінің көрсетеді және бұдан кейін ағыстағы осы бөлшектін қозғалысын қадағалайды. Кез келген уақытта бөлшектің жағдайы (қозғалысы) теңдеулер жүйесімен анықталады:

(2.13)

Жылдамдық пен үдеу сәйкес тең:

(2.14)

. (2.15)

Сонымен бірге бастапқы координаталарын өзгермейтін түрде сақтау қажет.

Бұндай сипаттау механиканың принциптерін негіздеуімен және дамуымен байланысты теориялық зерттеулерде өте ыңғайлы. Бірақта инженерлік практикада ол нақты есептер шығарғанда қолайсыз үлкендіктен қолданылмайды.

Кеңістік сипаттауында осы берілген сәтте сұйықтық ағыны алатын, кеңістік аймағына назар аударылады. Даламбер енгізген осы сипаттауды, гидродинамикада эйлер сипаттауы деп аталады. Сонда уақыт өткен сайын кеңістіктің бөліп алынған аймағында не болып жатқанын байқайды. Осы сипаттау сұйықтықтар мен газдарды зерттеу үшін идеал ыңғайлы болып табылады, мұнда қарастырып жатқан көлемге тез деформацияланатын масса қай жақтан келетіні және қай жаққа кететіні белгісіз, сондықтан тек осы көлемде не болып жатқаның қарастырған жөн.

Сонымен эйлер сипаттауында тәуелсіз айнымалдар ретінде нүктенің және уақыттың координаталары қолданылады.

Екі сипаттау тәсілдерінің өз ара айырмашылығы мынада: лагранж сипаттауында бөлшектердің координаталары уақыттың функциялары ретінде болып табылады, ал эйлер сипаттауында ағын жылдамдықтары әр нүктеде уақыттың функциялары ретінде анықталады. Сондықтан эйлер сипаттауында координаталар тәуелсіз айнымалдар болады, ал лагранж сипаттауында олар бір – бірінен тәуелді.