- •Учебное пособие
- •Аннотация
- •Список сокращений
- •Содержание
- •Введение
- •Научные и технические предпосылки кризисной ситуации.
- •Бурное развитие программного обеспечения.
- •Понятие «защищенная система».
- •1. Основные понятия и определения предмета защиты информации
- •1.1. Общее содержание проблемы информационной безопасности
- •1.2 Информация и информационные отношения. Субъекты информационных отношений
- •1.3. Ценность информации
- •1.4. Модель решетки ценностей
- •1.5. Mls решетка
- •1.6. Определение требований к защищенности информации
- •1.7. Критерии, условия и принципы отнесения информации к защищаемой. Виды конфиденциальной информации.
- •1.8. Выводы
- •1.9. Вопросы для самоконтроля
- •Угрозы информации, методология их выявления и оценки
- •2.1. Санкционированный и несанкционированный доступ
- •2.2. Угрозы информации, методология их выявления и оценки
- •2.3. Ретроспективный анализ подходов к формированию множества угроз информации
- •2.4. Цели и задачи оценки угроз информации в современных системах ее обработки
- •2.5. Система показателей уязвимости информации
- •2.6. Классификация и содержание угроз информации
- •2.7. Методы и модели оценки уязвимости информации
- •2.8. Выводы
- •2.9. Вопросы для самоконтроля
- •3. Общая классификация защитных мер
- •3.1. Базовые свойства безопасности информации. Каналы реализации угроз
- •3.2. Основные принципы обеспечения информационной безопасности
- •3.3. Меры обеспечения безопасности компьютерных систем
- •3.4. Характеристика способов защиты компьютерной информации с помощью аппаратно-программных мер
- •3.5. Выводы
- •3.6. Вопросы для самоконтроля
- •4. Идентификация и аутентификация субъектов
- •4.1. Классификация подсистем идентификации и аутентификации субъектов
- •4.2. Парольные системы идентификации и аутентификации пользователей
- •4.3. Идентификация и аутентификация с использованием индивидуальных биометрических характеристик пользователя
- •4.4. Выводы
- •4.5. Вопросы для самоконтроля
- •5. Элементы теории чисел
- •5.1. Модулярная арифметика
- •5.2. Простые числа и их свойства
- •5.3. Числовые функции
- •5.4. Выводы
- •5.5. Вопросы для самоконтроля
- •6. Методы и средства криптографической защиты
- •6.1. Принципы криптографической защиты информации
- •6.2. Традиционные симметричные криптосистемы
- •6.2.1. Шифрование методом замены
- •6.2.2. Шифрование методами перестановки
- •6.2.3. Шифрование методом гаммирования
- •6.3. Элементы криптоанализа
- •6.4. Современные симметричные системы шифрования
- •6.4.1. Стандарт шифрования des (сша)
- •6.4.2. Отечественный стандарт симметричного шифрования
- •6.5. Асимметричные криптосистемы
- •6.5.1. Недостатки симметричных криптосистем и принципы асимметричного шифрования
- •6.5.2. Однонаправленные функции
- •6.5.3. Алгоритм шифрования rsa
- •6.6. Выводы
- •6.7. Вопросы для самоконтроля
- •7. Контроль целостности информации. Электронно-цифровая подпись
- •7.1. Проблема обеспечения целостности информации
- •7.2. Функции хэширования и электронно-цифровая подпись
- •7.3. Выводы
- •7.4. Вопросы для самоконтроля
- •8. Протоколы безопасной аутентификации пользователей
- •8.1. Аутентификация на основе сертификатов
- •8.2. Процедура «рукопожатия»
- •8.3. Протокол Диффи-Хеллмана
- •8.4. Выводы
- •8.5. Вопросы для самоконтроля
- •9. Управление носителями конфиденциальной информации и внесением изменений.
- •9.1. Носители информации как объект защиты
- •9.2 Разделение тестовой среды и среды промышленной эксплуатации информационной системы. Процесс управления изменениями.
- •9.3. Выводы
- •9.4. Вопросы для самоконтроля
- •10. Разграничение доступа к информации в компьютерных системах
- •10.1. Модели разграничения доступа к информации
- •10.2. Субъектно-объектная модель компьютерной системы в механизмах и процессах коллективного доступа к информационным ресурсам
- •10.2. Монитор безопасности и основные типы политик безопасности
- •10.3. Гарантирование выполнения политики безопасности
- •10.4. Выводы
- •10.5. Вопросы для самоконтроля
- •11. Политики безопасности
- •11.1. Формальные и неформальные политики безопасности
- •11.2. Формальные методы анализа систем
- •11.3. Характеристика моделей безопасности
- •11.4. Выводы
- •11.5. Вопросы для самоконтроля
- •12. Модели безопасности
- •12.1. Модели разграничения доступа
- •12.2. Модели дискреционного доступа
- •12.2.1. Модель дискреционного доступа адепт-50.
- •12.2.2. Пятимерное пространство Хартсона
- •12.2.3. Модель Харрисона-Руззо-Ульмана
- •12.3. Модели мандатного доступа
- •12.3.1. Модель Белла и Лападула
- •12.4. Специализированные модели
- •12.4.1. Модель mms
- •12.5. Проблемы моделей предоставления прав
- •12.6. Информационные модели
- •12.6.1. Модель невмешательства
- •12.6.2. Модель невыводимости
- •12.7. Вероятностные модели
- •12.7.1. Игровая модель
- •12.7.2.Модель системы безопасности с полным перекрытием
- •12.8 .Модели контроля целостности
- •12.8.1. Модель Биба
- •12.8.2. Модель Кларка-Вилсона
- •12.9. Механизмы защиты от угрозы отказа в обслуживании
- •12.9.1. Основные понятия ово
- •12.9.2. Мандатная модель ово
- •12.9.3. Модель Миллена распределения ресурсов (мрр)
- •12.10. Выводы
- •12.11. Вопросы для самоконтроля
- •13. Обзор и сравнительный анализстандартов информационной безопасности
- •13.1. Основные понятия и определения
- •13.2. Критерии безопасности компьютерных систем министерства обороны сша ("Оранжевая книга")
- •13.2.1. Таксономия требований и критериев "Оранжевой книги"
- •13.2.2. Классы безопасности компьютерных систем
- •13.2.3. Интерпретация и развитие "Оранжевой книги"
- •13.3. Европейские критерии безопасности информационных технологий
- •13.3.1. Основные понятия
- •13.3.2. Функциональные критерии
- •13.3.3. Критерии адекватности
- •13.4. Руководящие документы Гостехкомиссии России
- •13.4.1. Основные положения
- •13.4.2. Концепция защиты свт и ас от нсд к информации
- •13.4.3. Показатели защищенности средств вычислительной техники от нсд
- •13.4.4. Показатели защищенности автоматизированных систем от нсд
- •13.5. Федеральные критерии безопасности информационных технологий
- •13.5.1. Цель разработки
- •13.5.2. Основные положения
- •13.5.3. Профиль защиты
- •13.5.4. Этапы разработки Профиля защиты
- •13.5.5. Функциональные требования к ит–продукту
- •13.5.6. Таксономия функциональных требований
- •13.5.7. Ранжирование функциональных требований
- •13.5.8. Требования к технологии разработки ит–продукта
- •13.5.9. Требования к процессу квалификационного анализа ит-продукта
- •13.6. Единые критерии безопасности информационных технологий
- •13.6.1. Цель разработки
- •13.6.2. Основные положения
- •13.6.3. Профиль защиты
- •13.6.4. Проект защиты
- •13.6.5. Требования безопасности
- •13.6.6. Функциональные требования
- •13.6.7. Требования адекватности
- •13.7. Анализ стандартов информационной безопасности
- •13.8. Выводы
- •13.9. Вопросы для самоконтроля
- •Список литературы
- •420111, Г. Казань, ул. К.Маркса, 10
5.2. Простые числа и их свойства
Определение 5.2. Натуральное число n>1 называется простым, если оно имеет в точности два различных натуральных делителя – 1 и n, в противном случае n называется составным.
Пример 5.4 Числа 2,3,7 являются простыми. Числа 4,6,8 – составными, так как их делителем является число 2.
Свойства простых чисел:
Если p1 и p2 – простые и , тоp1 не делится на p2.
Пусть p – простое число, а n – натуральное, тогда n делится на p или наибольший общий делитель чисел n и p равен 1.
Если делится на простое число, тоm делится на p или n делится на p.
Если делится на простое число, то существует, которое делится на.
Известна следующая теорема:
Теорема 5.1. Любое натуральное число n>1 либо просто, либо раскладывается в произведение простых чисел и притом единственным образом с точностью до порядка следования сомножителей: , где. Данное разложение называют канонической формой числаn.
Задача представления числа n в канонической форме называется задачей факторизации числа n.
Существенный с точки зрения криптографии факт состоит в том, что в арифметике не известно эффективного алгоритма факторизации числа n. Никаких эффективных методов неизвестно даже в таком простом случае, когда необходимо найти два простых числа p и q, таких, что .
Известен ряд подходов, позволяющих выполнить проверку простоты целого числа n – решето Эратосфена, критерий Вильсона, тестирование на основе малой теоремы Ферма, тест Соловея-Штрассена, тест Рабина-Миллера и др.
Наибольшим общим делителем целых чисел a и b, обозначаемым как НОД(a,b) или просто (a,b), называют наибольшее целое, делящее одновременно числа a и b. Если (a,b)=1, то a и b называют взаимно простыми.
5.3. Числовые функции
В теории чисел и в криптографии большое значение имеют следующие числовые функции [8, 20].
- определяет количество простых чисел от 2 до n. Точной формулы для вычисления данной функции не известно. Грубой оценкой данной функции является следующая: .
- определяет количество всех делителей числа n.
Пусть канонической формой числа n является . Тогда.
- определяет сумму всех делителей числа n,
- функция Эйлера, определяет количество чисел меньших n и взаимнопростых с n,
(5.1) |
Пример 5.5
Для числа n=720 найдем ,,.
Представим число 720 в канонической форме - .
Тогда
5.4. Выводы
Сравнимость по модулю, понятие простых, взаимно простых чисел, а также числовые функции имеют очень большое значение для криптографии, в частности при построении асимметричных шифров.
5.5. Вопросы для самоконтроля
Дайте определение сравнимости по модулю.
Приведите примеры чисел, сравнимых с 5 по модулю 7.
Что называют полным набором вычетов по модулю?
Перечислите основные свойства сравнений.
Дайте определение простого и составного числа. Приведите примеры.
Что называют канонической формой числа n.
В чем заключается задача факторизации числа n.
Факторизуйте следующие числа: 200, 143, 89.
Дайте определение наибольшего общего делителя чисел a и b.
Найдите наибольший общий делитель следующих чисел – 10 и 4, 20 и 21, 3 и 90.
Какие числа называют взаимно простыми? Приведите примеры взаимно простых чисел.
Найти ,,.