книги из ГПНТБ / Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие

F (х, a) = 0 относительно

параметра

а. Получаем a = f(x). Строим

график функции а = f (х).

По графику определяем множество реше­

ний данного неравенства.

Пример 8. Решить относительно х неравенство

4х2 +

(а — 2) х +

{а — 5) <

0.

(25)

Рассмотрим уравнение

4х2+

(а — 2) л: +

(а — 5) =

0.

(26)

Решив это уравнение относительно а, получаем

— 4л:2 -f- 2л:

5

,

Исследованием функции

а (л:) = • — 4л:2 + 2х + 5

х + 1

мы занимались в связи с решением примера 2 (см. рис. 27).

Графику

Решив

неравенство (25)

относительно а, получаем:

1) а <

— 4л'2 + 2х + 5

(27)

х +

1

если

х +

1 >

0, т. е. если

л: > — 1;

2) а

— 4л:2 +

2л: + 5

(28)

х +

1

если

х + 1 <

0, т. е. если

х < — 1.

точек которой удовлетворяют

Часть

плоскости, координаты (а, х)

значении параметра а, проводят через соответствующую

точку на

оси Оа прямую, параллельную оси Ох. Абсциссы точек

отрезка

этой прямой, ограниченного точками графика функции а (х),

являются

х2 =

(2 — а) — у а2— 20а + 84

8

(2 — а) — У а2— 20а + 84

принадлежат кривым АК и BD.

а >

14, то

Получаем ответ: если а < 6 или

(2 — а) — У а2— 20а + 84 ^

(2 — а) + ] / а 2— 20а + 84

8

< Х <

8

Упражнения

1. Решить системы уравнений:

1) х 3 + 2х 2у

—х у 2 — 2I/3 = 0,

2)

х у

= 6,

|

х 2 А ~У 2 = 8;

уг = 3, 1

хг =

2;

j

3) (x +

i/)2- 2

2 = 4,

j

4)

х +

1/+ г = 4,

(У +

г )2 —

х2 = 2,

1

х2 +

(/2 +

г2 = 14,

(z +

x ) 2 - y

2 = 3;

J

ху + xz — уг = 5;

имеет действительные

решения при любом действительном Ь. Доказать, что а =0.

6 . Решить систему уравнений:

*• + 0 +

г =

3,

|

2ху — 2у — z2 = 4. J

7.

Построить график функции у =

| х2 — .г — 2 | +

1.

Решить

8.

Построить графики

уравнений 2*— 3 | у \ =

1 и |* | \ - 2 у --=4.

систему уравнений (графически и аналитически):

2* — 3 | ;/1=

1,

|дс| +

20 =

4.

9.

Корни уравнения

ах- + 6* +

с =

0 действительны,

Увеличить

меньший

корень и уменьшить

больший

корень

на

единицу.

Составить

повое уравнение,

для которого полученные два

числа являются

корнями.

10.

Построить

в одной и

той же

системе

координат графики

уравнений

* — I У + 1 I = 1.

(а)

х* + у =

10.

(б)

* - ( ( / + 1 1 = 1 ,

х2 + у = а

множество значений а, при

которых эта систе­

ма: 1) имеет одно решение;

2 ) имеет два

реше­

ния; 3) не имеет решений.

= 3,

12.

Построить графики уравнений: * 0

х2+ 0 2 = 4,

* 4 +

0 4 = 16,

хй+

0 ° = 64.

Как

изменяется

форма

фигуры,

ограниченной гра­

фиком

уравнения *" + уп =

2п

с увеличением

п? К

какой линии стремится

этот график,

если п -*■+

со (п — целое положительное число)?

*n + 0 " = 2+

Iй* 0 =3

](,г>2)-

1 * 2 + 0 2

4, 1

*0 = 3

Верно ли неравенство т > к?

( / = | л - + 1 | , у = \ х — 1\, ^ =—! х + 11 + IJC — 1 I-

2)

Указать множество значений а, при которых уравнение

| х + 1 | + | х - 1 | = а

не имеет действительных решений.

16.

Найти все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению х2—

— ху +

5(/ = 121.

17.

1) Построить графики уравнений: у — \ х — 1 | = 0, у = |х + 2 |, у —

ах — 4у = а -f- 1, "1

2х + 2ау — — 1

J

таковы,

что х > 0,

у <

О?

19.

При каких значениях т система уравнений

(т + 1)х — ту — 4, 1

Зх — 5у — т

J

имеет такие решения (х, у),

для которых х — ( /< 2?

рх +

q = 0,

не решая его.

20.

Найти сумму квадратов корней уравнения х2 +

21.

Построить графики уравнений |2x + 3i/| = 5,

\2 х — Зу | =

1. Решить си­

стему этих

уравнений.

уравнений

| х | + | «/1=

5,

ху = — 6. Решить систему

22.

Построить графики

этих уравнений.

что если функция у — ах2

Ь х с

принимает целые значения

23.

Доказать,

при всех целых х,

то 2а, 26,

с — целые числа.

24.

Определить, между какими двумя наиболее близкими друг к другу целыми

числами

расположены коэффициенты р и q

уравнения

х2 +

рх + q = 0, если его

корни

и х2 удовлетворяют неравенствам —

г =

— 4,

2 < х 2< 3 .

25.

Найти х4 +

(/1 +

г'1,

зная, что х + ( / +

0 и х2 +

У2+ г2 = а .

26.

Составить уравнение второй степени, один из корней которого был бы

равен сумме, а другой произведению корней уравнения ах2 + Ьх +

с = 0.

27.

При каких

значениях а

неравенство х2— (8а — 2 )х + 1 5 а 2 — 2а — 7 > 0

выполняется: 1) при всех действительных

значениях х; 2) при всех действитель­

ных значениях х, кроме одного?

х

28.

Решить относительно х неравенство 2х +

3 (ах — 8) +

-д- < 4 (х+ 0 ,5 ) — 5.

29.

Построить

графики

функций:

у = — | х | ,

г/ = 2 [ а: + 6 | ,

i / = | x — 6 [,

1/ = 2 | х +

6| — | х | + | х — 6|

и

с их

помощью:

1)

найти

множество решений

уравнения

2 [х + 6| — |х | +

|х — 6 | = а ,

если а =

18 и а =

6;

2) определить число решений уравнения

2 ] хг Н- 6 | — | х 1+ I х — 6 | = а,

если а < 6 ,

6 < а < 1 8 ,

а > 1 8 ,

и решить неравенство

6 < 2 | х +

6 | - | х |

+ Jх — 6 1<

18;

3) решить графически систему уравнений

у — \х — 6 | = 0,

|

| .V+ 61 = 0 ,5(/

J

// — |х — 6 | > 0 ,

|

I ■* + 6 | > 0,5у.

|

функция

принимает в одной из тех точек, в которых одно из слагаемых |2 — х |,

| 3 — х I,

| 7 — х | обращается в нуль?

x + ( / + a = 0,

1

Общий вид уравнения относительно

х с двумя

параметрами а и b

F(x, а, Ь) =

0.

(1)

1 Материал

для

этого пункта заимствован из

статьи А. Я. Маргулиса,

А. Г. Мордковича,

Б. А. Радунского «Еще раз об

уравнениях с параметрами»

(«Квант», 1970,

№

12).

2а + b

2а — b

2а

п

(4)

а + х

■х

=

0.

Построим прямоугольную систему ко­

ординат аОЬ (рис. 32). На

этой

плоскос­

ти будем

постепенно отмечать те ее точки,

координаты (а,

b)

которых

не

являются

Рис. 32

допустимыми значениями параметров дан­

ного уравнения (2).

Очевидно,

при b — 0 уравнение (2) не имеет смысла, т. е. для

дальнейшего рассмотрения исключаются все точки,

расположенные

на оси Оа.

Пусть

6=5^0 и

(3)

В этом случае

после освобождения от

знаменателей

и

приведения

подобных

членов

уравнение (2) приводится к виду

а (х2— 2Ьх +

Ь2— а2) = 0.

(4)

Теперь

ясно,

что если а = 0,

то решением уравнения

(4) в силу

условия (3) является любое значение х, отличное от нуля.

Итак,

для

всякой пары чисел (0,

Ь), кроме 6 =

0,

решениями

уравнения

(2)

являются любые числа,

кроме х = 0.

Если а Ф 0,

b Ф 0, х ф ±г а, то уравнение (4) эквивалентно такому:

х2— 2Ьх + Ь2— а2 = 0.

Его решения: хг = b + а, х2 = b — а.

Эти решения получены в предположении,

что x ^ z !z a . Поэтому

рассмотрим случаи,

когда хх =

i t а или

х2 =

— а.

Если хг = а или

х2 = — а,

то

Ь — 0.

Но

Ь Ф 0. Следовательно,

хг Ф а и х2ф — а.

то 6 = —2а. Но тогда х2= —За.

Если хх = —а, т. е. Ьфа = —а,

5 А. Б. Василевский

65

Таким

образом,

если

6 =

— 2а,

то уравнение

(2)

имеет единст­

венное решение

х =

— За

(рис.

32).

Если

х2 =

а,

т. е.

6—а =

а,

то Ь — 2а. Но в этом случае хх = 3а.

Поэтому

если

6 =

2а,

то

уравнение

(2) имеет единственное решение

л: = За (рис. 32).

Итак:

а — любое

1)

если

6 =

0,

вещественное число,

то

уравнение (2)

решений

не имеет;

а — 0 ,

то

решениями уравнения (2) являются все

2)

если

6 Ф 0 ,

вещественные числа, не равные кулю;

3) если

6 = — 2а,

ЬфО,

то

х =

— За;

4)

если

6 =

2а,

6 Ф 0,

то

х = За;

х2 = 6 — а.

5)

если

а Ф 0,

6=^0, Ь ф ± 2 а ,

то хх — 6 + а,

Решение неравенств с параметрами

При решении неравенств,

содержащих параметры,

используются

в основном метод

интервалов и графический метод (см. § 3 гл. 3).

Пример 2.

Решить

относительно х неравенство

+

ах > 1.

(5)

Очевидно, относительно х неравенство (5) является неравенством

второй

степени,

относительно а — первой степени. Исходя из этого,

С п о с о б

1.

Преобразуем

неравенство (5)

к виду

ах2 — х +

1

( 6)

х

Найдем корни квадратного

уравнения

ах" — х +

1

= 0 :

(7)

Х г =

1 -I- V 1 — 4а

Х 2

1 — У 1 — 4а

--------------------р :---------------------- ,

= ---------------------рг---------------------- .

1

2а

2

2а

Теперь ясно,

что если а > 0,25,

то уравнение (7) не имеет дей­

ствительных

корней. В этом

случае

ах2— х + 1 > 0 при всех дей­

ствительных значениях х, и поэтому

неравенство (6) имеет решение

х > 0.

0,25

хг = х2 =

2

и неравенство

имеет решения

При а =

0

<

х <

2,

х > 2.

Q (Х '^l) (Х ^з)

Q

^

Если 0 <

а <

0,25, то

неравенство (8)

эквивалентно

неравенству

(х — x j jx — х8) у о

0|

> о, х' > 0.

х

Отсюда

х >

хь

0 < х <

х2.

Если а <

0,

то неравенство

(8)

эквивалентно

неравенству

< 0 . , 1<01

Отсюда

х < хг, 0 < х < х2.

При а = 0 неравенство (6) имеет вид

1

_

,

х

Отсюда 0 <

х < 1.

Окончательно

получим:

1)

если

а <

0,

то

х <

1 _1_ ] / 1 _ 4 а

или 0 <

х

1 — V 1 — 4а .

--------^ --------

2а

2)

если

а = 0,

то

0 <

х < 1;

3)

если

0 < а < 0,25,

то

х >

1 + ]/1

— 4а

или

1 — V 1 — 4а

^

2а

2а

>

> х >

0;

0,25,

то

0 <

х <

2

или х >

2;

4)

если а =

5)

если

а >

0,25, то х > 0.

(5) к

виду

С п о с о б

2.

Преобразуем неравенство

1

>

— ах.

(9)

------- 1

х

Обозначим

/ М =

4

“ —

!-

Ф(*) =

— fl*-

5 1

67

Построим

графики функций f(x) и ср (лг) (при а = 0; —1- —2-

—3; 0,2; 1)

(рис. 33).

---- 1 = — ах или 1 — х + ах2 = 0

(10)

D — 1 — 4а — 0, т.

е. а = а0=

0,25.

Отсюда ясно, что при а =

0,25

график функции ср (х)

касается

графика функции f(x).

функций f(x) и ср(х),

получаем:

если 0<!

«Прочитав»

графики

< а < 0,25, то

график

функции

/ (х) расположен выше

графика

функции <р(х) на (0,хх)

и (х2,

оо), где хх и

хг — корни уравне-

ляются точки,

принадлежащие

(0,

х4)

и (х,,

+ со).

Если

а = 0,

то 0 <

х <

1.

или х <

х4 (х3

и х4 — корни

уравне­

Если

а <

0,

то

0 <

х <

х3

ния (10). Причем ясно, что х4

<

0, 0 <

х3 < 1).

Если

а >

0,25,

то х > 0.

х <

х0

или

х > х0 (х„ — действительный

Если

а =

0,25,

то

0 <

корень уравнения (10); х0 =

2).

к

следующему виду:

С п о с о б

3.

Преобразуем неравенство (5)

1 — L

1

а >

X

если

х

0;

(П)

а <

х

х — 1

если

х <

0.

( 12)

Построим

график функции

а = а{х) =

х — 1

П т

а(х) = 0,

П т

а(х) = 0, П та(х ) = — со, а(1) =

0.

X

С£>

X-*-- с»

х-0

Находим экстремальные точки:

а ( х) —

х (2 — х)

- - г - - -

а' (2) = 0,

а (2) = 0,25.

Теперь ясно, что при х =

2 функ­

ция а (х) достигает наибольшего

значения.

свойств

функции

Установленных

а (х) достаточно для построения тако­

го ее графика (рис.

34), по которому

можно провести исследование реше­

Рис. 34

ний неравенства

(5).

«Прочитав» график функции а (х),

с учетом

условий (11) и (12)

получаем уже найденные решения, не­

равенства

(5).

Сравнивая все три решения неравенства (5), можно заметить, что

последнее решение

является

наиболее изящным, так как

исследо­

вание функции и построение

ее графика дает возможность наиболее