книги из ГПНТБ / Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие

сечение пирамиды МКВР

плоскостью FBT : X =

(FB) П (КМ),

У = (ВТ) П (/ИР).

Треугольник

XYB — сечение

пирамиды МКВР

плоскостью FBT.

Получаем

Q = (ЕМ) П (ХК),

Н =

(MD) П (XY).

Рис. 94

Рис. 95

Задача 4. Дано изображение призмы ЛВСДДЛ1Д1С1Д1£'1 (рис. 95).

Точка

К£[ ААХ],

М £[ССХ\.

Построить

сечение

призмы

плос­

костью

КВМ.

плоскость

П,

параллельную

грани

Через

(АА-д . проводим

ВССХВХ.

Получаем

Р = (ED) П П,

Рх = (EXDX) П П,

Р =

(CD) П П,

Fi= (CiDx) П П. Так

как П параллельна

грани ВССХВЪ то

секущая

плоскость КВМ пересекает П по прямой

(КХ) || (ВМ), X£(FFx).

Получаем

О = (PPj) П (XX),

Т =

(MX) П (DDJ, Y = (ЕЕХ) П (ТО).

Пятиугольник

KBMTY — искомое

сечение.

Упражнения

1 .

Точки

М,

К,

Р,

Н — середины

ребер

[AD], [DC], [ВС],

[ДВ] пир

миды

DABC. Принадлежат

ли

точки М, К,

Р, Н одной плоскости?

Опреде­

лить,

как зависит вид четырехугольника МКРН от вида пирамиды DABC.

свойством обладает основание пирамиды? Каково свойство основания

высоты

пирамиды?

[ОА],

[ОВ], [ОС]

не лежат

в одной

плоскости.

Углы

АОВ

6 . Отрезки

и АОС острые и конгруэнтные.

Доказать,

что ортогональная

проекция

[ОА)

на

плоскость ВОС — биссектриса угла

ВОС.

7. Точка М лежит внутри пирамиды DABC. Точки Мг и М2— ортогональные

проекции М на плоскости АВС и

BCD.

Доказать,

что прямые

(MjAK)

и (ВС)

перпендикулярны.

одинаково

удаленных

от

8 . Каким свойством обладает множество точек,

граней данного двугранного угла?

9. Плоские углы при вершине D пирамиды DABC прямые. Доказать, что

основание О высоты [DO] пирамиды совпадает с

точкой

пересечения

высот

треугольника АВС.

так,

чтобы в

сечении получился

10. Можно ли куб пересечь плоскостью

правильный пятиугольник?

проходящие

через

середины ребер

треуголь­

11. Доказать, что плоскости,

ной пирамиды

и

перпендикулярные

им,

пересекаются

в одной

точке.

Каково

свойство этой точки?

0 3, 04 — центры окружностей,

описанных

около

граней

12. Точки

Ох,

0 2,

ABC, BCD, ACD, ABD пирамиды

DABC.

Через

эти

точки

проходят прямые,

перпендикулярные соответствующим

граням

пирамиды.

Доказать,

что

эти

пря­

мые пересекаются в одной точке О.

Чем служит точка О для

пирамиды?

граней

13. Доказать,

что

есть

точка О,

одинаково

удаленная от

всех

треугольной пирамиды.

Каково

свойство

плоскости,

проходящей

через точку О

ется, если отрезки

перемещать в этих плоскостях параллельно самим себе.

21. Доказать,

что биссекторная плоскость двугранного угла АВ

пирамиды

DABC делит ребро в отношении, равном отношению

площадей граней,

образую­

щих этот угол.

ребер [АВ] н [CD]

пира­

2 2 . Плоскость а проходит через середины М и К,

миды DABC. Найти, в каком отношении она делит объем этой пирамиды.

ребро

23. Доказать,

что три плоскости, каждая из которых проходит через

28.

Дано

изображение прямоугольного треугольника ЛВС, катеты

[АС]

и [СВ]

которого относятся как 1 : 2.

Построить изображение биссектрисы

[C/Q

его прямого угла.

29.

Дано

изображение квадрата

ABCD. Через точку М диагонали [/1C]

про­

30.

Дано изображение

прямоугольного треугольника АВС, катеты

[АС]

н [СВ]

которого относятся

как 1:3. Построить изображение его высоты

[СН],

проведенной к гипотенузе.

[ЛВ] которого в 2 раза больше основания

[ЛС].

Построить изображение

его

высот [ВН] и [Л /\].

[ЛВ | : | В С | : ] СЛ|

=

33. Дано изображение треугольника ЛВС, у которого

= 2 : 4 : 5 . Построить изображение его высоты

[ВН],

проведенной к стороне [ЛС].

34. Дано изображение равнобедренного

треугольника

АВС { \ А С \ — основа­

ние).

Стороны его относятся как 5: 12. Построить изображение центра О вписан­

ного

в него круга.

42.

Дано

изображение куба ADj_. Построить точку Х = (Л1С ) П ПЛ- (DBBt).

43.

Дано

изображение куба

ADlt М — середина [DyB], К делит [ЛЛХ]

в отношении

1:3. Построить X =

(МК) П пл. (ЛВС).

точка Р — на грани Д С С А -

Построить прямую

пересечения

плоскостей

МКР

и АВС.

Дан

куб ADt .

На прямой

А Д )

и плоскости АВС построить точки X

47.

и Y, симметричные относительно точки Сх.

48.

Через середину М ребра [ЛВ] куба AD1 проходит

прямая р,

параллель­

ная прямой (ДА).

Построить

вторую

точку

пересечения прямой

р

с

поверх­

ностью куба.

правильная пирамида MABCD.

Через середины К и Р ребер

[AD]

49.

Дана

и [DC]

проходит плоскость, параллельная (ВМ).

Построить точку X,

в которой

ребро [МД] пересекает плоскость КРХ.

пирамиды

MABCD.

Через середину К

50.

Дано

изображение правильной

апофемы [МЕ\ боковой грани ЛДМ проходит прямая р,

параллельная

плоскости

СДМ и пересекающая прямую

(СЛ).

Построить

точку

X

пересечения р с плос­

костью СДМ.

так,

чтобы он был

параллелен

51.

Дан

куб ЛДХ. Построить отрезок [ХК]

прямой

(С/С)

(К — середина [B A D -

конгруэнтен

половине

[С/С]

и

чтобы его

концы лежали на прямой (ЛВХ) и плоскости ЛВС.

Через

середину /С

ребра

52.

Дан

куб

ЛДХ.

Точка

М — середина

[ЛЛХ].

[ЛА ]

провести прямую р, пересекающую прямые (МС)

и (ДВj).

лежат

53.

Дан

куб

ЛДХ.

Построить

отрезок

А Х ],

концы

которого

в точке Bj

и на

прямой А Д )

и

который

плоскостью

ADXK

( К — середина

[В А ])

делится пополам.

прямую

р,

пересекающую прямые

(Л А )

54.

Дан

куб

ADX.

Построить

и А Д )

и параллельную прямой (B/Q (К — середина

[CCj]).

55.

Дано изображение правильной пирамиды DABC. Через точку Е ребра АВ

в плоскости

ЛВМ (М — середина

[СД])

проходит

прямая р _L (АВ).

Построить

точку X пересечения р с боковой

поверхностью пирамиды.

[ЛХ]

на

пря­

56.

Дан куб ЛД!.

Из вершины

Л

опустить

перпендикуляр

мую А Д ). Построить сечение куба плоскостью,

проходящей через Л

и

перпен­

дикулярной к прямой (ВХД).

через Л провести прямую р,

перпендикулярную (AM).

грани ЛВД.

60. Дан

правильный тетраэдр DABC.

Точка М

лежит внутри

Опустить перпендикуляр [МН] на плоскость BCD.

перпендикуляр

[ДА ] на

61. Дан

куб ЛД!. Из

вершины D1

опустить

65. Дан куб ЛДХ. Через

середину

М ребра [ЛД]

и точку К (К делит

ребро [АВ] в отношении 3:1,

считая от

Л) проходит

плоскость П, которая

образует с гранью ABCD двугранный угол 60°.

Построить

на изображении

куба

точку X пересечения плоскости П с отрезком

[Лу4х] .

в

2 раза меньше

6 6 . Сторона

основания правильной

пирамиды

MABCD

бокового ребра. Через сторону

\АВ] основания ABCD

пирамиды

проходит

плоскость П,

перпендикулярная

грани

CDM.

Построить

отрезок

[XY] =

пл.

П П грань CDM.

[ЛX]

на

плоскость

BDO (О —

67.

Дан

куб ADX. Опустить перпендикуляр

центр грани ВССХВ{).

6 8 . Дан

куб ADX. Прямая р,

перпендикулярная плоскости BDM (М — сере­

дина ребра [ЛЛ!]),

проходит через середину Е отрезка [SZ?].

Построить точку X,

в которой р пересекает боковую поверхность куба.

К делит [ЛВ]

в

отношении

69.

Дан куб ADX. Точка М — середина

[ЛЛД

3:1, считая

от Л. Опустить перпендикуляр

из А на плоскость DMK.

70. Боковое ребро правильной пирамиды MABCD конгруэнтно стороне

основания.

Построить

общий

перпендикуляр

[ХК]

к

прямым

(ВС)

и

(DM) (X £ (ВС),

Y £ (DM)).

71.

Дан

куб ADX. Построить

общий

перпендикуляр

к

прямым

(AD,)

и

(ВМ) (.'VI — середина ребра

[ССД]).

общий

перпендикуляр

к

прямым

(АХС)

72.

Дан

куб

ADX.

Построить

и (АЕ)

(Е — середина ребра [ВС[).

73. Дан куб ADX. На плоскости

АВС

построить

прямую

р,

которая

про­

ходит через середину М ребра [CD]

и образует

угол 45°

с прямой (BXD).

является

прямоугольный

треугольник АВС. Длина его катетов:

| АС | = Ь,

| СВ | = а(Ь <

а).

Некоторая плоскость

пересекает все

боковые

ребра призмы

в

точках А, В0, С0 так,

что в сечении

нальными проекциями отрезков [ЛС0] и [Л50]

на

плоскость АВС.

Но | АВ | = ]

я2 + Ь2 > Ь. Поэтому

х >

у > 0.

Из

прямоугольных

треугольников

АСС0, АВВ0 и трапеции

BCCQBQнаходим:

|ЛС0|2 =

62 +

л:2,

(1)

|ЛВ0|2 =

я2 +

62 -|-г/2,

(2)

IС0В012 =

я2 +

(х — у)2.

(3)

(1) — (3) получаем

систему уравнений для

определения х и у:

а2 + b2 + if = я2 + (х — у)~,

а- +

Ь2 + У 2 = b2 + х2.

После очевидных преобразований эта сис­

тема

уравнений принимает вид:

х2 — 2ху — b2,

(4)

х2— у2.

(5)

Выразив у из уравнения (4) и подста­

вив

его значение

в уравнение (5),

имеем

я2 = 0,75х2 +

0,5Ь2— 0,2564: х2

или

I

CfA) ]2 =

х2 = я2 -f- ( | СС01— | ВВ01)2.

(8)

Из равенств (6)—(8) следует

х2 - я2 +

[У х2 — Ь2 — у х2 — я2 — Ь2]2.

Это иррациональное

относительно

х2 уравнение

преобразуется

к такому:

Зх4 — 4х2 (я2 + Ь2) +

4а2Ь2 = 0.

(9)

Решив его относительно х2, находим

-V2

=

[а2 + Ъ2i t Уа* — а*Ь* + Ь*].

Так

как подкоренное

выражение положительно при всех а и b

и оно

меньше,

чем а2 + Ь2, то уравнение (9) имеет два

положи­

тельных решения.

Но и по

условию задачи х2> а 2 -(- Ь2.

Поэтому

задача

может иметь только

одно решение:

-V=

у

[а2 + Ь2+ Уа*-а*Ь* + Ь*].

/г2 > х2 — Ь2 = - ^ - [ а 2 +

К а4 — а2й2 + 64] — 4т--

о

о

На основании свойства биссектрисы внутреннего угла

треуголь­

ника и по теореме синусов имеем

| АН | = | АВ | • | НО | : | ВО | = а (]/1Г— 1) =

a sin

: sin ^

+

- | -

Аналогичным образом из треугольника АВМ получаем

| ВМ | = а : У~Ъ = a sin

: sin

+

Уj •

Таким образом, для определения углов х, у

получена

система

уравнений

sin \ ^ ~ + Уj = V

3 sin

( 10)

( ) / 3"— 1) sin (х +

j

' sin —^—

Выразив у из первого уравнения, получаем

Ух = arcsin(y~3"sin^-)—

или у2 = п — arcsin ( ] / 3sin-^-

2 ‘

Из

второго уравнения находим

х3 — arcsm | — ; =1------ sin-

~

] — J L

или

У 3 — 1

2

I

2

х4 = я — arcsin

—=

1

•

У

У

------ sin-^-

2

•

1

2

Так

как х и у — углы

треугольника, то

0 <

У 3 s i n - ^ - < l ,

т.

е. 0 < л г < 2

arcsm

1

,__

0,39л.

у

т

0 <

1

т. е.

0 < у <

2 arcsin (]/" 3 — 1 )^ 0 ,53л.

s i n - |- < ; l ,

у

3 — 1

Очевидно, функция уг — монотонно

убывающая

на (0; 0,39л).

При помощи производной легко устанавливается,

что на (0; 0,39л)

функция уг монотонно возрастающая. Их графики

показаны на

рис. 97, б.

Рассмотрим функции у3 и yit обратные функциям х3 и х4:

12 А. Б. Василевский

177

Применив

к

определению площадей треугольников

ACD, DCB

и АСВ формулу

S =

0,5 ab sin

л

С, получаем (рис. 98):

Sacd =

0,51CD | b sin a; SDCB=

0,51CD \ a sin a;

S a c b

=

0,5 sin 2a.

Ho S a c d -h S Dcb = S

a c b -

Поэтому

С

0,51CD | b sin a +

0,51CD | a sin a = 0,5 ba sin 2a.

Отсюда

I CD[\ =

2 abcos a

a -f b

Упражнения

Применив различные формулы площадей треуголь­

ника

Л

Л

Л

a”sin В sin С

S = 0,5a/in;

S =

0,5ab sin С;

S =

Л

2 sin А

S = рп S = У р (р — а) (р — Ь) (р — с),

решить задачи 1—4.

зная

его стороны.

1. Определить одну из медиан треугольника,

2.

„ '

что

в

„

1

1

1

,

1

— .

Доказать,

любом треугольнике —

= —;— -\-

"b

3.

Площадь

треугольника

АВС

Г

"a

'^с

равна 16,

длина

медианы | Л М | = 6 ,

медианы \ВК \ =

А.

Доказать,

что эти медианы перпендикулярны.

проходящей через вершины А, В,

центр грани ACD и середину ребра [ВС].

6 . В окружность вписан треугольник АВС.

Расстояния

от

точек А и С до

прямой,

касающейся окружности

в точке

В,

равны

а и

с

соответственно.

Определить высоту треугольника АВС,

проведенную из вершины В.

7.

В

остроугольном

треугольнике

две

высоты

равны

соответственно 3

и 2^

2 , а точка их пересечения делит третью высоту

в отношении 5:1, считая

от вершины треугольника.

Определить площадь треугольника.

равна диагонали

8 .

В правильной четырехугольной пирамиде MABCD высота

основания ABCD. Через вершину

А параллельно прямой (BD)

проведена

плос­

кость,

касающаяся вписанного в

пирамиду

шара. Определить

отношение

пло­

щади сечения к площади основания пирамиды.

12*

179