книги из ГПНТБ / Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие

Упраж нения

1.

1)

Построить графики функций уг = 3х,

у» =

4х,

у3 =

5х,

i/4 =

3х +

4х.

Почему

графики у3

и

г/4 пересекаются только в одной

точке?

2)

найти

при

помощи

построенных

графиков

приближенные

значения

корней

уравнений

3-с _|_ 4-v =

2х,

3-v +

4 l = 5 v;

3)

определить

множество

решений

неравенства

2 < 3х + 4х < 25.

2.

Решить

уравнение х^~~х =

У^х-1'.

3.

1) Построить графики

уравнений

у = 3Л+ ',

у = 9х ,

у = 3А“'"1— 2, у =

= З ^ 1— 9х; 2) сколько

решений

имеет

уравнение

З'1"^1— 2 =

9-9

3)

указать

множество значений а,

при

которых уравнение 3х"!'1— а = 9х имеет решение.

4.

Построить график функции

У = — log2 ( — х).

5.

1)

Построить графики

уравнений

у = 0 , 5 х

и

у = 0 , 5

1

Л;

2)

решить

уравнение

0,5х — 0,5 1

^ =

0;

3)

построить график

функции

у

0,5

1

А

1;

4) решить

неравенство

0,5х — 0,5—1—* > 1 .

6.

Решить систему уравнений

л-2* - 1 =

5,

|

ху '~2 =

3.

\

7.

1) Построить график функции у = х- — 2.V +

а

при

некоторых значениях

параметра о; 2)

решить неравенство log05 (х2 — 2х +

а) >

- 3.

8.

1)

Построить

графики

уравнений

у = х -|

1,

у = (х -|- 3)0,~’;

2)

пайтн

область определения

функций

у =

(х +

З)0,5 — х — 1,

у =

Iog3 ( ^ х

+ 3 —

х

-•••

1);

3) определить множество

решений

неравенства

logo ( |Л х -|-3 — х — 1) < 0 .

9.

1)

Построить

график

уравнения

у =

х2 + х

1;

2)

найти

область

опре­

деления функции у =

(х2+ х +

1)х; 3) на каком из четырех множеств ( — оо, — 1),

( — 1; 0,5],

[ — 0,5;

0),

(0, + °°) верно неравенство

(х2+

х +

1)х <

1?

10.

Найти

область

определения функции

у =

log10_ A.2 tg х.

11.

1) Построить графики

уравнений

у = х, у = (2х— 1): (х— 1); 2)

найти

область

определения

функции

У =

l°g.v

3)

решить

уравнение

Iogv (—

---- - ) =

1; 4) определить множество решений неравенства log v (

—)-]>

х

— 1

х — .

12.

1)

Построить графики

уравнений

г/ =

Iog0 5 лг, у = -

;

2)

решить

неравенство

1 : log05x >

1; 3)

1о 2 о .5

*

0 < а < 1 .

решить неравенство l:4oga x > l ,

если

13.

1)

Построить

графики

функции

(/ =

,

log., х

,

если

.

,

Ioga x, у = х

J

а >

1;

2) найти множество значений х,

удовлетворяющих условиям х

а

<

а и а >

1.

14.

Решить систему уравнений

| х |,g

= 4,

ху = 40.

15.

1) Построить графики

уравнений: Ух = х +

3.V

1,

у 2 = .V— Зх

1,

Уз —

- - logo (л -I- 3.V

1), у л = log; (.V— 3.v

1),

у ь =

1log; (.V-|- 3.v

1) |,

(/„ =

| log; (.v —

3 v—1) l; 2) решить уравнение

I ^ 2

(X + 3.V

1) | +

| logo (* — 3.V 1) | =

log;

728

- д - .

16.

Определить

число

действительных корней уравнения 8— х-2А"-|-23—* —

— х = 0.

17.

_

неравенство

Л1о£ л ^ ( я 8— 5*-{-7)

1

Решить

3

18.

Решить неравенство log2(4А' + 4)—log, (2х

— 3)>х.

область опре­

19.

1) Построить графики функций у

= 2 + х,

у =

х 2; 2) найти

деления функции у =

logtj (2+

А');

3)

определить

корни

уравнения х 2 = 2 + х;

4) на каком из

множеств

(— 2, — 1),

( — 1,0),

(0,1),

(1,2),

(2,

+со)

верно

неравенство logv, (2 + .v) <

1?

20.

1) Построить

графики

функций

//, = 3А+0,5 +

3А—13,5

и

у 2 = 4А'+0-5 —

_ 22л-1;

2) на основе построенных

графиков

определить число

решений уравне­

ния Ух =

у 2, 3)

решить уравнение у 1 = у 2,

4)

решить неравенство (/;>!/;.

21.

Найти множество значений

а,

при которых

уравнение

log,. (х— а) = 2

log, (2а —х)

+

log0 .у

1

•

log ,- 2

loga 2 _

Iogfl.—,2

25. 1) Построить графики функций Ух— х — а

и у2=

log, (х — а) при неко­

торых (одних и тех

же для f/, и

(/,)

значениях параметра

а; 2)

решить нера­

венство log,, (х — а)

> 2 .

26. 1) Построить график функции

у = а-\-2х — х2 при

некоторых положи­

тельных значениях параметра а; 2) решить неравенство log^ —(а +

2х — х2) < 2 .

27. Решить системы уравнений:

1)')'х-\-7у = 3,

2) хг = Г

3) у*1-За—4 -

1 ,

(2х -|- 14у) 2х = 72;

log2 х =

у;

У~ = х 3

,

ад " + ад "-1 +

. . . + ап =

0,

(1)

где у — одна

из шести тригонометрических функций

sin^x, cos kx,

tgkx, ctgkx,

seckx, cosec kx.

уравнения сводится

Решение

всякого

тригонометрического

к определению корней уравнения

вида

sin kx = т, cos kx = т, tg kx — m.

Способы решения тригонометрических уравнений:

1) преобразование данного уравнения к виду (1);

/ 2 — тригономе­

2) сведение к виду

(kxx) f2 (k*x) — 0, где /д и

трические функции;

дующего примера.

Пример 1.

Решить уравнение

4 sin 2х + 3 cos 2х = 5.

(2)

Преобразуем

его к виду

4 sin 2х = 5 — 3 cos 2х.

(3)

Решив это уравнение, найдем у1= 0,6

и у2 = 0,6.

Итак, cos 2х — 0,6. Отсюда

2х — z t arccos

0,6 -f 2 kn (k = 0,

± 1, ztz2, ...)

и

x =

z t 0,5 arccos 0,6 +

kn.

х = 0,5 arccos 0,6 + kn (k — 0, z t l , ± :2,

...).

Сведение

тригонометрического уравнения к виду

f i (k xx ) / 2 ( k 2x ) = 0

При

помощи

тождественных

преобразований

тригонометри­

ческое уравнение f (kx) = 0 приводится к

виду

fi fax)

f2 fax) = 0.

Если

тригонометрические функции /у fax) и f2 fax) определены

на множестве М, то на этом

множестве

данное уравнение равно­

сильно дизъюнкции уравнений

(^х) = 0 ,

/2 fax) =

0 .

Пример 2, Решить уравнение

l

+ tg;t = ( l — tgx)

( l +si n2x) .

(4)

1 + tg х = 1 +

sin x

cosx -f- sinx

cos x

cos x

Теперь

уравнение (4)

принимает вид

s in

х Т c o s Л'

= (1

— lg X)

(sill X + COS A')",

cos х /

„

-----------------

О

COS А'

или

sin а- -|- cos х

(cos х —

sin A') (sin х +

cos а)2.

Отсюда

(cos х — sin x) (sin x +

cos A')2 — (sin x

-f cos x) = 0

и

(sin A' + cos a) [(cos a — sin a) (sin x + cos a) — 1 ] =

0

или

(sin x +

cos a ) (cos2 x — sin2 a — 1) =

0,

(sin a +

cos a ) (cos 2 a — 1) =

0.

(5)

Уравнение (5) распадается на два уравнения

sin а

+ cos а = 0 ,

cos 2 а — 1 =

0 ,

которые сводятся к простейшим:

t g

А =

1,

( 6 )

cos 2а = 1.

(7)

Решения

уравнения

(6)

лу = — 0,25я -\- пт (т = 0, ±:1,

i t

2,

...).

Решения уравнения

(7)

а 2 — тт (п — 0 , i t 1, i t 2 , . . . ) .

При

всех

значениях а

и з

этих

серий t g x

определен.

Поэтому

полученные формулы и дают решения уравнения (4).

при помощи

следующих

формул:

2 cos2 а = 1 +

cos 2а;

2 sin2 а =

= 1 — cos 2а;

2 sin а cos а =

sin 2а;

cos2 а — sin2 а =

cos 2а;

3si na —

— 4 sin3 а = sin За; 4 cos3 а — 3 cos а = cos За;

8 cos4 а — 8 cos2 а -)-

-[- 1 = cos 4а;

8 cos3 a sin а — 4 cos a sin а = sin 4а.

Пример 3.

Решить уравнение

coseA + sin6x = 4 sin2 2а.

(8)

Отсюда cos 4а =

11

,

Н

2 n k ,

x =

-jg-;

4а = ±

arccos у-д-

= r t 0,25 arccos

11

■ 0,5n k

(k = 0, z t l ,

± 2 ,

...).

19

1

•

. . о 0 . а +

р

а — р

;

1.

sin а + sin р = 2 sin —

cos —

зуются свойства непрерывных монотонных функций,

рассмотренные

в § 1 гл. 2.

Найти все решения неравенства

Пример 6.

Y 3 cos 2х >

]/~2 cos х,

удовлетворяющие условию | х |< я .

Рассмотрим функции

ух =

[/3 cos 2х,

У-2 = у Г 2 cos х.

Согласно

условию задачи

функция уг определена на

( — я,

я).

Функция

ух

определена

на

той

части

интервала

( — я, я),

где

cos 2_r

0,

т.

е. на

[ — 0,25я;

0,25я].

определены

на

сегменте

Следовательно,

данные

функции

[— 0,25я;

0,25л].

0]

функция

ух

монотонно

возрастает

от

0

до

На

[ — 0,25я;

]/3 ,

функция

у2

на

этом

сегменте

монотонно

возрастает от

1

до

]/2 .

Следовательно,

на

[— 0,25я;

0] есть

одна точка,

в которой

ух — у2- Нетрудно заметить, что ух

-----) =

у2

В силу

четности

функций ух и у2, ух

j =

Теперь

ясно,

что

решением

данного

неравенства

является

интервал

/

я

я

I -----g-, -g-

Пример 7.

Решить уравнение

sin [0,2 arccos х] = 1.

Функция у = arccos х

монотонно изменяется от 0

до я. Функция

у =

0,2 arccos х

изменяется

от

0

до

0,2я.

Поэтому

функция

у = sin (0,2 arccos х)

изменяется от 0

зт

< 1.

Отсюда

ясно,

до sin - g -

Построим

графики функций

Ух — — 0,522 +

0,5z,

уг — а

(при некоторых значениях а).

[ — 1,

1], получаем:

Прочитав графики этих функций на отрезке

1)

при

а =

данное уравнение

имеет одно

решение: cosx1 =

=

0,5;

2)

при 0 < а <

имеем два

решения: cosxj = т (0 < т <

<

0,5)

и cos х2 = п (0,5 <

п < 1); 3)

если а =

0,

то

имеем

также

два решения: cosxx = 0 и cosx2 =

1;

4)

если — 1 <

а < 0, то

урав­

нение имеет одно решение: cos % =

k ( — 1 < k < 0);

5) при а = — 1

уравнение имеет одно решение: cosXi =

— 1.

Пример 9.

Решить относительно х неравенство

cos х -----------а,

если 0 < х ^

2л.

cos х

Функция у — cos х —

рассматриваемая

на [0,

2л], не опре­

делена

в точках

х — 0,5я

и х — 1,5л;,

потому

что

в

этих точках

cos х — 0.

На

[0; 0,5я) функция

убывает от 0

до — оо.

На

(0,5я;

я)

функция

у убывает от

+ о о д о 0.

На

[я; 1,5я)

она возрастает от 0 до

+

оо.

На

(1,5я;

2я]

функция у возрастает от

—со до 0. График функ­

ции у

показан на рис. 48.

Т

99