книги из ГПНТБ / Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие

П усть

Xi

и

х2 — корни

уравнения

cosх ---------- = а (я < 0);

cos

л:

и л'з — корни этого уравнения,

если

я > 0.

Из графика ясно, что если:

1) а = 0,

то

0<С л:<0,5я и л и

1,5я <

л: ^ 2 я ;

2)

я <

0,

то

A'i 4

х <

0,5я пли 1,5я <

х

х2;

3)

я >

0,

то

а

А, или

0 < ;л :< 0 ,5 я

или

1,5я <

л: ■... 2я.

Для

определения

(,v*i) п х. (х2)

решаем

уравнение

cos х

1

я (cos .Vф 0):

---------- =

cos х

4

cos2jc— 1 — я cos x = 0,

cos x = 0,5 (я — ]/ я3 + 4),

cos a =7^=0,5

(я -|-

+ 1/я 2 +

4),

так как

при любом я ^ О

J 0,5 (я + ]/ я2 Н- 4) | >

1 .

Отсюда

л-! =

arccos 0,5 (я — } /я г +

4), а 2 =

2я — arccos 0,5 (я — ] / я 2 +

4).

Упражнения

1.

1) Построить график функции у =

(ctg а — tg а ) : (cos 4а +

1)

на

интер­

вале (0; 0,25л);

2)

решить систему неравенств

ctg а — tg а

\

cos 4а +

1

^

’

|

0 < а < 0 ,2 5 я .

J

„

„

,

cos 2а + 1

2 .

Построить график

функции у = ------------------- -— на интервале (0; 0,5л).

c t g - ^ - t g - g -

3.

1)

Построить

график

функции

у =

(sin0 х +

cos6 х)—■

на

интервале

(0; 0,5л); 2) установить,

при

каких значениях Ь уравнение

b (sin0 х +

cos" х) = 2

имеет два

решения.

sin Ах.

4.

Решить уравнение sin Зх -|- sin 5х =

у =

4 cos 2х на интервале

5.

1) Построить графики уравнений у =

sin 2х — 4,

(0; я ) и по графикам определить число

корней

уравнения sin 2х — 4 cos 2.v =

4 на

(0 ; я);

2)

найти приближенные

значения

корней этого уравнения на (0 ; я);

3) решить

уравнение

sin 2х — 4 cos 2х =

4

вычислением;

4) решить

систему

неравенств

sin 2х — 4 cos 2х >

4,

1

0,25я < х <

0,75я.

J

6 .

1) Построить графики функций

у =

sin 2х — 3,

у = — 2 ctg х

на

(0; я).

Построив графики,

вы убедитесь, что уравнение

sin 2 .v — 3 =

— 2 ctg х

на (0; я) имеет решение

х = 0,25л;

2)

доказать,

что

других

решений на

этом

интервале

данное

уравнение

не

имеет; 3)

записать

все

решения

уравнения

sin 2х +

2 ctgx = 3.

функций

у — tg Зх,

//=

tgx,

£/ = 2sin4x;

2)

на

7.

1)

Построить графики

каком из промежутков

Я

1

я

2я

2я

Зя

Зя

4я

4я

5я

1

5я

° > т г

_~6~'

’

. _ 6 _

’

" б

" . >

."Т "

t

~6~.

- g -

.

я

уравнение tg Зх +

tg х =

2 sin 4х

имеет решения?

ctg4 x,

f/2 = cosS2 x + l

на

пром

8 .

[0 ;

1) Построить графики

функций #i =

жутке

я]; 2 ) на основании построенных

графиков

записать

все

решения

уравнения

ctg4 х = cos3 2х + 1 ,

не

выполняя

над

этим

уравнением

никаких

преобразований.

10.

Решить уравнение tg (x +

1) ctg (2x + 3) =

1.

11.

Решить неравенство cos 3x + cos 2,5x <

2.

на [0; я];

12.

1) Построить графики

уравнений у — 3 tg x — 5, у = — 2sin2x

2) решить уравнение 2sin2x +

3 tg x — 5 =

0.

13.

1)

Построить

графики

функций

ух =

(1 +

sin 2х)0,5 — (1— sin2x)0’5,

(/2 = l + c o s x

на

[0 ,

2 я];

2)

найти

решения

уравнения

(1

+ sin 2х)0,5 —

— (1 — sin 2 х)0,5 =

1 +

cos х на

[0 ,

2я ] .

решений

уравнения

на

[0;

я]:

14.

Определить

число

действительных

(1) sin8 х +

cos8 х =

tg х; 2)

....+ со$4л.

= s i n x .

15.

Решить

уравнение

sin я y^T + 'sin я / =

0.

ctgx,

уг =

3 +

cos 4х

на

16.

1)

Построить

графики функций

ух = tg х +

0 ; я); 2) решить неравенство tgx + ctgx — co s4 x > 3 ,

если 0 < х < я .

17.

Решить уравнение ctg4х =

cos2 2х +

1.

на

[0;

2я];

2)

решить

18.

1)

Построить график

функции у =

| sin х + cosх |

неравенство | sin х + cos х | >

1 .

у = cosxcos2x

на

[0;

2я];

2)

решить

19.

1)

Построить

график

функции

уравнение cosх cos 2 х =

0,25.

20.

Найти

значение параметра a B-ypaBneHHH_coset‘x +'sine х — cos2 2х — а = 0,

условиям: cos 13х = cos х, cos 2х + sin 5х =

1,

| х | <

3.

единственное решение?

51.

При каких а уравнение 1 +

sin2 ах =

cos х

имеет

52.

Решить относительно х уравнение

а+ sin х

а+ cos х

acos х+ 1

—

asin х+

1 ’

53. При каких значениях х

функция

у —sec2 х+

ctg2 х -|- 1 достигает

наименьшего значения? Найти это значение.

уравнение 2 arcsin х = а имеет решение?

_

60.

1) Построить график уравнения |(/| =

3 arcsin У х;

2)

решить уравнение

3 arcsin У х— я = 0.

61.

Решить уравнение cos (2 arcsin х) = cos (arccos 2х).

2) решить уравне-

62.

1; Построить график функции у = arcsin2х+ arcsinх;

я

ние arcsin 2х+ arcsin х = - д - .

63.

Решить уравнение arccosхУ 3 + arccosх =

0,5я.

64.

Решить неравенство

1) arcsin х— 2 arccos х

я

> -д-; 2) arcsin*—arcctgx>0.

65.

1)

Построить

графики

функций

г/j =

arcsin (1— *),

у2 = 2 arcsin*,

у —Ух— у2, 2) решить уравнение arcsin(I— *) — 2 arcsin * = 0,5я.

66.

Решить уравнение

Зх

Ах

arcsin—д— + arcsin—д—= arcsin*.

67.

1)

Построить

графики

уравнений

Ух = arcsin*,

уг —arccos У 1 — *2;

2)

решить уравнение arcsin * = arccos У 1 — х2.

у —arccos (cos*);

2)

68.

1)

Построить

графики

уравнений

у —arcsin (sin *),

решить уравнение arcsin (sin х) = arccos (cos *).

я

69.

Решить неравенства:

2)

arcsin (sin х) > х2;

1) arcsin (х2 — 2* — 2) >

3) arctg У * < arccos (1— *);

4)

arctg2* +

arctg 3* •< 0,75я;

5)

arcsin0,6* +

1) sin x cos у

— 0,5,

1

2) 5 sin x — sin!/=0,

|

cos x sin у — 0,5;

j

3cosx +

cosi/ — 2 =

0 ;

J

3 ) t g x t g i / — 1 = 0 ,

[

4) sin (3x -|- 2y) = 0,25 sin x,

1

sin x cos tj + ctg x tg

tj — 0,5 =

0 ;

J

sin у = 4 sin (2 x +

3y) . J

71.

Решить

уравнение 1°g(e ,

1— sin2x

+ log(tg л- _

~

1 — cos2x

+

~ , + cos 2x

sin2x-----

+ l°gtg .V“ =

3 •

72.

Определить

все

решения

неравенства

Kcos х — sinx — sin x +

0,5 >

0,

принадлежащие отрезку [0; л].

Y • +

73.

Определить все значения а, при которых уравнение cosx +

a sinx —

,

л f

2 cos 2х

~

0>5 <°>

°i>2 tg X У

1+COSX

принадлежащие отрезку [0; 2л].

76. Определить число решении системы уравнении

„

20 t

=

4 (х +

у -

2), .

I ^2х - ,р -

х- + У~ = а

при различных значениях параметра а(| а| ф 2п+

1;

п=

0, 1,

2, ...).

Построим графики

функций

ух = 1 — Ах,

уг =

xi

(рис. 49). Из

рис. 49 видно, что данное уравнение

имеет

два

действительных

корня хг и х2, причем — 2 < х у < — 1 и 0 < х2 <

0,25.

Уточним значения этих корней методом проб:

X

— 2

— 1

—1,4

—1,5

—1 ,8

- 1 ,7

- 1 ,6

—1,65 —1 ,6 8 —1 ,6 6 —1,67

[(X)

> 0

< 0

< 0

< 0

> 0

> 0

< 0

< 0

> 0

< 0

> 0

X

—1,665

—1,663

—1,664

—1,6635

/ м

> 0

< 0

> 0

я

— 1,6635

X

0

0,25

0,24

0,2495

0,2493

0,2491

0,2490

0,24905

/ м

< о

> 0

< 0

> 0

> 0

> 0

< 0

х2 ~ 0,24905

Итак,

получаем

— 1,6635;

х2^

0,24905.

Вычисляем приближенные значения

суммы

и произведения хх

и х2:

хх + х2^ — 1,4145;

хг -х2^ — 0,41429.

Теперь нетрудно заметить, число

1,4145

есть

приближенное значе­

ние у 2,

а — 0 ,4 1 4 2 9 ^ 1 — 1/2:

Итак, получаем гипотезу:

х1+ х2 = — У 2, х1-х2= 1 — У 2.

Решив

систему уравнений

хг + х2=

— У 2,

|

х1 -х2=

1 — ]/2 ,

I

получаем

xi -

— Y 2"— V 4 ]/ 2 — 2

— ] / Т + V i У 2 — 2

2

*

*2 “

2

‘

Пример

1.

Решить относительно х неравенство

У 2ах — а2 > х — ]/"х2— a2.

(1)

Исследуем функции

у1= ]/ 2ах — а2,

г/2 =

х — У х 2— а2.

(2)

Очевидно,

2ах — а2

0,

если:

1)

а = 0,

х — любое

действи­

тельное

число;

2)

а <

О,

Л'<. 0,5а;

3)

а > 0,

л:> 0,5а.

Далее,

х2— а2

0,

если:

1)

а =

0,

х — любое

действительное

число;

2) а < 0 ,

х < а ; 3) а > 0 ,

х ^ а .

то

решением данного

неравенства

Таким

образом,

если

а = 0,

является любое отрицательное число.

на (— оо;

0,5а],

а

г/2

Если

а <

0,

то

функция уг

определена

определена

на

[— сю;

а].

Очевидно,

(— оо;

а] П (— со;

0,5а] =

=

(— со;

а].

Но

на (— со;

а] (а < 0)

функция у1> а,

а

функция

г/2 < 0.

Поэтому

если а <

0,

то

решением

неравенства

(1)

является

(— со;

а].

0,

то

функция

уу

определена

на

[0,5а;

+

со),

а

у2

Если а >

определена на [а,

+

оо)

и [0,5а; + оо )П [а;

+ со) = [а;

+

со).

На

[а;

+ со)

функция уг ~^-а.

изменяется функция у2 на

[а;

+

оо),

Для выяснения того, как

преобразуем

уравнение (2) следующим

образом:

у2 — х •— у х 2— а2

(х — У х2— а2) (х + У х2— а2)

х ■ | х2— а2

а2

х +

)/ х2— а2

Теперь

ясно,

что на

[а;

Н-со) функция

г/2~<а. Поэтому

если

а > 0, то решением неравенства является

[а;

+

со).

Пример 2.

Решить неравенство

х2— Зх +

11

>

1.

(3 )

1*2- И

Исследуем функцию

У =

\х2— Зх -f- 11

1*а - Ч

и

Она

определена

и

непрерывна

па

(— оо; — 1),

(— 1;

1)

(Р

+

со).

Для

определения

нулей

этой

функции

решаем

уравнения:

х2— Зл: +

1

(4)

то автомобиль

встретился

бы с первым

мотоциклом через 3 ч

после их выезда и расстояние между пунктами

встреч

было бы

равно 30 км.

Определить

расстояние от

А до В,

если

скорости

S = |AB| — расстояние между пунктами А и В (км);

va— скорость

автомобиля

(км/ч);

vM— скорость

мотоцикла;

прошел

автомобиль до встречи

с первым

Sa — расстояние, которое

мотоциклом;

прошел

первый мотоцикл до

встречи

SMl — расстояние, которое

с автомобилем;