Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.10.2023

Размер:

7.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2517 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Выясним сначала,	сколько решений имеет		эта	задача. Для
этого через точку О пересечения диагоналей		[ВВ] и [АС] проведем
отрезок [Р0Я 0] II [ВС].	Треугольники OH0D	и	BCD,	F0OA и ВСА

подобны, причем у них один и тот же коэффициент подобия. Поэтому |В0О| = |ОЯ0|. Проведем еще несколько отрезков [FH], параллельных основаниям трапеции. Очевидно, с увеличением рас стояния между (Р0Я 0) и (FH)

равные \FK\ и \МН\ будут уменьшаться от [ОЯ0] до нуля, а отрезок [КН] будет увеличи ваться от нуля до одного из


оснований		трапеции.		Поэтому
существует два положения					от
резка	[FH], при		котором \|В /(\|
= \| КМ \| = \МН \|.			На	рис.	86
этим	положениям		соответству
ют отрезки		[В1Я 1] и		[В2Я 2].

Теперь нетрудно заметить, что отрезок [MXC] является медианой


треугольника K-iH^C. Но		треугольники СК1Н1 и CAD подобны.
Поэтому середина отрезка		[AD] (точка		Е) принадлежит		прямой
(М1С). Теперь	ясно, что (Bi#x) проходит			через точку Мъ в кото
рой пересекаются медиана [СВ]			треугольника		ADC и	диаго
наль [BD].	аналогично,	приходим	к выводу, что отрезок			[В2Я 2]
Рассуждая
проходит через	точку Я2,	в которой	пересекаются		диагональ [DB]

и медиана [АР] треугольника ВАС.

Метод инверсии

Задача 8. Построить окружность со, проходящую через данную точку А и касающуюся двух данных пересекающихся окружностей 0»! и со2 (точка А лежит вне данных кругов).

Примем точку М пересечения окружностей сох и со2 за центр

160

инверсии (рис. 87). Для

упрощения построений в качестве степени

инверсии k возьмем квадрат диаметра окружности со2.

условии

Итак,

k = \MFf,

где

\MF |— диаметр

со.2.

При

этом

инверсия с центром

М переведет окружность со3

в прямую рг, касаю

щуюся <о2 в точке F. Эта же инверсия

преобразует окружность

в прямую ръ перпендикулярную прямой (MOj и проходящую

через

точку

Р',

определяемую

из

равенства

| М Р ' \ ■\ М Р | = | MF |2,

т.

е.

|М Р '

| = \MF |2 : | М Р |. При

этой

же

инверсии

точка

преобра

зуется в точку А',

принадлежащую

лучу

[МА)

определяемую

равенством

\М А ' \ —

\MF\*:

| М А \.

преобразуется

окруж

Искомая

окружность

со

этой инверсией

ность <м',

проходящую

через

А'

касающуюся

прямых

рх и р.2.

Построение окружности

со' сводится к определению

ее

центра —

точки О'. Этот центр лежит

на

биссектрисе I

угла,

образованного

прямыми рх и р.г. Итак,

эта задача свелась к отысканию на прямой

I точки

О', одинаково

удаленной

от

прямой

рх

точки

А'

(см. задачу

6).

Теперь осталось по образу со' построить искомую окружность со. Для этого через М проводим диаметр [В'С] окружности со'. На

прямой

(В'С')

строим

точки

и С, определяемые

равенствами

| МВ | =

| MF |2: | МВ' |, |МС | =

|MF |2: |МС' |.

Середина

(точка

О)

отрезка [SC] является центром искомой окружности.

две

Задача имеет два решения,

потому

что

можно построить

окружности, проходящие через А’ и касающиеся

пересекающихся

прямых рх и р2.

Упражнения

Метод параллельного переноса

Даны две точки А н В

между

ними

две [параллельные

прямые

(МК)

п (PH).

Провести между прямыми

заданном

направлении

отрезок [CD]

так,

чтобы сумма | АС 1+ | CD | +

| BD 1 была

наименьшая.

| АВ \ -f

| CD |

Доказать,

что

если

четырехугольника

ABCD 2| MN | =

(/VI — середина стороны

[AD],

/V — середина

стороны [ВС]), то

этот

четырех

угольник

является

трапецией.

[£>£] данной длины

лежит на

В треугольнике АВС провести отрезок

стороне

[АВ], Е — на [ВС])

так,

чтобы

отношение

| AD | : | СЕ |

было

данное.

Стороны Д АВС равны а, Ь, с. Доказать, что длина его медианы [/1М]

определяется по формуле | AM \ =

0,5 У 2 (6 2 +

с2) — а2.

зная

два

отрезка,

Построить

вписываемый

четырехугольник

ABCD,

соединяющие середины противоположных сторон, угол между диагоналями и угол между диагональю и одной стороной.

6 . Доказать, что если две биссектрисы треугольника конгруэнтны, то треугольник равнобедренный.

7. Построить трапецию, зная диагонали и параллельные стороны.

8 . Построить четырехугольник, зная две противоположные стороны, угол между ними, отношение диагоналей и угол между ними.

9. Построить трапецию, зная диагонали, угол между ними и разность смежных двух сторон.

11 А. Б. Василевский

161

10.	П остроить	треугольник	Л В С ,	зная	угол В н	медианы	А Е	и CD.
		Метод осевой симметрии
И .	Построить треугольник АВС,			зная	сторону	[ВС], высоту		[АН] и бис
сектрису [j4/\ ].		окружность,	касающуюся прямой (АВ)				в данной точке /VI
12.	Построить	окружность,	касающуюся прямой (АВ)				в данной точке /VI

ипересекающую данную окружность О под данным углом.

13.Доказать, что три точки, симметричные точке пересечения высот произ вольного ДЛВС относительно прямых (АВ), (ВС) и (СЛ), принадлежат окруж

ности,	описанной	около этого треугольника.	его стороны, если диагональ
14.	Построить	четырехугольник ABCD, зная	его стороны, если диагональ
АС делит угол пополам.
15.	Доказать,	что если многоугольник имеет	больше двух осей симметрии,

то все они пересекаются в одной точке.

16. Построить треугольник АВС, зная В, | ВС | и разность длим стороны [,4С]

ивысоты [Л£>].

17.Доказать, что сумма расстояний от любой точки, лежащей на основа нии равнобедренного треугольника, до его боковых сторон равна высоте тре

угольника, опущенной на боковую сторону.

18.	Построить треугольник АВС,			зная	А,	длину	медианы	[ВМ] и сумму
длин сторон [ЛС] и [АВ].						прямоугольник с неконгруэнтными
19.	Доказать,	что если в квадрат вписан
сторонами так, что		на каждой стороне квадрата лежит одна						вершина прямо
угольника, то диагонали квадрата являются						осями симметрии		прямоугольника.
20.	Из данных	точек Л и В провести			две прямые		так, чтобы		угол между
ними делился данной прямой (МК) пополам.						треугольников с общим основанием
21.	Доказать, что из всех равновеликих
наименьший периметр			имеет равнобедренный треугольник.
			Метод вращения
22.	Дана точка	Л	и прямые а	и Ь.	Построить		правильный		треугольник

ЛВС, вершины В и С которого лежат на прямых а н Ь.

23.На сторонах произвольного ДЛВС , вне его построены правильные треугольники. Доказать, что центры вращения этих треугольников являются вершинами правильного треугольника.

24.Даны две концентрические окружности и точка Л вне их. Построить равносторонний ДЛВС, вершины В и С которого лежат на окружностях.

25.На сторонах произвольного параллелограмма вне его построены квад раты. Доказать, что их центры вращения являются вершинами квадрата.

26.Вписать в параллелограмм новый параллелограмм с данными отноше ниями сторон и углом между диагоналями.

27.	Доказать, что произведение		четного			числа осевых симметрий есть
вращение около точки или параллельный перенос.
28.	Даны две пересекающиеся	в	/VI	и	К окружности		и на них по точке
Л и В.	Провести окружность через	Л	и	В,	встречающую		данные	окружности
в X и К так, чтобы дуги АХ и BY			данных			окружностей	имели	одинаковое
число градусов.

29. Доказать, что произведение двух центральных симметрий на плоскости есть параллельный перенос или тождественное преобразование.

162

Гомотетия и		подобие
30. Построить треугольник АВС,	зная	угол А,	высоту	[АН]	и	отношение
\| ЛС \| : \| /4В \|.		л
31. Построить треугольник АВС,	зная	л	высоту	[СЯ]	и	отношение
31. Построить треугольник АВС,	зная	угол А,	высоту	[СЯ]	и	отношение
\| ВС \| : \АВ \|.

32.Даны окружность и две прямые (АВ) и (CD). Перпендикулярно к (CD) провести новую прямую так, чтобы ее отрезок между (АВ) и окружностью делился прямой (CD) в данном отношении.

33.Доказать, что середины сторон ДЛВС являются вершинами Д Л 1В1С1,

гомотетичного / \ А В С с коэффициентом гомотетии — 0,5 и центром гомотетии

вточке пересечения медиан.

34.Даны две окружности и точка А. Провести к окружностям параллель

ные касательные так, чтобы отношение их расстояний до точки А было данное.

35.Доказать, что отрезок, соединяющий основания двух высот остро угольного треугольника, отсекает от него подобный треугольник.

36.Через данную точку провести прямую, отрезки которой в двух данных окружностях пропорциональны радиусам.

37.Через точки А и В провести окружность, касательную к данной

окружности.

38. Окружность ш касается двух неконгруэнтных окружностей сох и о>2. Доказать, что прямая, проходящая через точки касания, проходит через один из центров гомотетии окружностей coj и со2.

Метод инверсии

39.Через две данные точки провести окружность, пересекающую данную окружность под данным углом.

40.Через данную точку провести окружность, пересекающую данные две

окружности под данными углами.

41. Три данные окружности пересекаются в одной точке. Провести окруж ность, пересекающую их под данными углами.

§ 2. Ме т о д п е р е с е ч е н и я фигур

Построение общего элемента точечных множеств

Этот метод часто называют методом геометрических мест точек. Сущность его в следующем. Устанавливается множество точек, удовлетворяющих только одному из условий задачи. Строится множество точек, отвечающих только второму условию задачи. Пересечение этих двух точечных множеств определяет искомую

геометрическую фигуру.	что	основания	Аъ	Въ Сг	высот [ААг],
Задача 1. Доказать,
[ВВх], [ССХ] треугольника АВС являются			вершинами		треугольника
A-lBiC-l, для которого высоты		треугольника		АВС есть биссектрисы
внутренних углов (рис.	88).

Считаем для определенности данный треугольник АВС остро угольным. Пусть М =(Л Л Х) П {ССХ) П (BBj). Углы АСгМ и АВгМ

И *	163

прямые.

Поэтому точки

Сх н Вх

принадлежат

окружности, диа-

метром которой является отрезок [АМ].

Углы

СХАА4 и СХВХВ

равны,

потому

что

они

вписаны

одну

и ту

же

окружность

и опираются на дугу МСХ.

Углы

СВХМ и САХМ прямые. Поэтому точки Вх и Ах лежат на

окружности,

построенной

на

[МС],

как

на

диаметре.

Очевидно,

L ВВХАХШ L ВССХ.

треугольников

АВАХ и

СВСХ следует, что

Из прямоугольных

ВААХ= ВССХ— 90° — АВС.

Таким

образом

B B XC XS 2 д ВВХАХ.

В_______ Рг_

Рис.

Отсюда ясно, что луч [ВХВ)

является

биссектрисой

угла

СХВХАХ.

Аналогичным образом доказывается,

что

(ААХ] делит пополам

угол СХАХВХ и [СХС)

является

биссектрисой угла

ВХСХАХ.

| АВ \ =

Задача 2.

Построить

АВС, зная

длину

его

стороны

= с, высоты | ВН | =

и медианы | АМ | =

т.

можно утверждать,

Зная длину высоты

| ВН \ искомого

АВС,

что его вершина В принадлежит прямой

р2,

параллельной

прямой

рх и отстоящей

от

нее

на

/г (рис. 89).

Отмечаем

на

прямой рх

произвольную точку

А.

Так как |Л Б |

= с, то вершина

принад

лежит также окружности

с центром в точке А

и радиусом с.

Таким

образом, точка В определяется как пересечение двух точечных

множеств — прямой р2	и окружности А {с). Попутно заметим,	что
пересечение этих двух	множеств будет непустым, если с > /г.	Нам

осталось определить положение вершины С на прямой рх. Очевидно,

она будет определена, если	установим,	пересечением	каких
множеств является середина стороны [ВС], т. е. точка М.			Длина
медианы \АМ\ = т. Поэтому М	принадлежит	окружности	А (иг).

С другой стороны, точка М одинаково удалена от прямых рх и р.г. Поэтому М принадлежит прямой р, параллельной рх и р2 и одина ково от них отстоящей.

164


Строим прямую р. Находим М =						А (т) f\| р. Точка С =			(ВМ)		П Pi-
Очевидно, что М	будет		существовать				только в том случае,				если
т О 0,5/г.	числа		решений		задачи предоставляем				читателю.
Исследование
Задача 3. Через		данную		точку		А провести окружность, пере
секающую две данные окружности В (Ь) и С (с) под								прямым		углом
(взаимное расположение точки А						и	окружностей	показано			на
рис. 90).		окружности			пересекаются под			прямым		углом,
По определению
если касательные	к	ним в		точке		пересечения образуют				прямой

угол. Очевидно, две окружности пересекаются под прямым углом, если их радиусы, соединяющие точку пересечения с центрами, взаимно перпендикулярны.

Установим сначала, что представляет собой множество центров окружностей, проходящих через А и пересекающих под прямым

углом окружность В (b). Для этого			отметим		на окружности		В (b)
несколько	точек и проведем	через	них	касательные к		окружности
В (b). При	помощи циркуля	(методом		проб)	найдем на	этих	каса

тельных центры М-у, М2, М3, М4, . . . окружностей, проходящих через А и через отмеченные точки на окружности В (b) Нетрудно заметить, что точки Мх, М2, М3, М4, ... принадлежат некоторой прямой р. Выясним, каковы свойства этой прямой и как доказать, что этой прямой принадлежат центры всех окружностей, про ходящих через А и ортогональных окружности В (b).

165

Во-первых, очевидно, прямая р проходит через середину М отрезка касательной [АК] к окружности В (b). Далее, построив отрезок [АВ], нетрудно обнаружить, что р _L(AB).

Таким образом, в результате проведенных построений и измере ний у нас появилась гипотеза:

центры окружностей, проходящих через А и ортогональных окружности В (b), принадлежат прямой р, проходящей через середину катета [АК] прямоугольного треугольника АКВ и перпен дикулярной его гипотенузе [ЛВ]. Докажем эту гипотезу.

Обозначим \АВ\ =

т.

Пусть М — середина

[АК]

и р

проходит

через М и перпендикулярна (ЛВ).

Обозначим

Н — (АВ)(]р. Тре

угольники

АНМ

АКВ

подобны.

Поэтому

|В Л ]:|Л /И | =

= \КА | : [ЛЯ |.

Отсюда

| АН | = | АМ\-\КА | : | ВА |.

Но

\АМ\ =

= 0,51АК. |. Поэтому

| АН | =

| КА |2: 2 1ВА \ = ( | ВА |а — | ВК |2): 2 | ВА | =

(1)

(т2— b2):2m.

Пусть

F — произвольная

точка р

и [ДД] — отрезок касательной

к окружности В (b). Докажем, что |РД | =

| ДЛ|,

т.

е.

докажем, что

окружность F (ДЛ) ортогональна окружности В (b).

Из

прямоугольного треугольника

FHA и равенства (1)

| ДЛ |2 =

| FH |2 + | НА |2 = | FH |2 +

(2)

Из

прямоугольных

треугольников

FPB и FHB следует

|Д Д |2 = |Д В |2 — \ВР |2 = (1ДЯ |2 + |Я В |2) — Ь- =

|Д Я |2

+ |ЛВ |

Л Я |)2 — Ь~ = |ДЯ|2 Л

т ■

о го \ 2

— Ь2 =

тш— о- \

т2 + Ь2

2т

пг

Ъ2

= | FH I2 +

— Ь2= IДЯ I2 +

(3)

2т

Из равенств

(2)

(3)

ясно,

что

|ДЛ | =

|ДД|.

Гипотеза

доказана.

На основании выполненного исследования строим центр искомой окружности X. Проводим касательную через Л к С (с). Через


середину Е ее отрезка			[ЛЯ] проводим прямую ръ перпендикулярную
отрезку [ЛС]. Прямой			рх принадлежат		центры всех	окружностей,
проходящих через Л и ортогональных окружности						С (с). Поэтому
центр О искомой окружности есть точка					пересечения	прямых р и рг.
			Упражнения		л
1.	Построить треугольник АВС,					и медиану [АМ\.
				зная угол В, высоту [АН]
2.	Построить ромб	так, чтобы		две его	противоположные вершины были
в двух данных точках,		а третья — на данной окружности.

166

3. Даны

трн

окружности.

Две

из

них — концентрические.

Построить

окружность,

которая касается всех трех

окружностей.

треугольник

АСВ,

В окружность с центром О вписать

прямоугольный

если известны острый угол А и точка К,

через которую

проходит

один

катет.

В ДЛВС

сторона | АС | — наибольшая.

Доказать,

что для любой точки

М плоскости

| AM | +

I СМ | >

| ВМ \. В каких случаях

возможно равенство?

6 .

Построить треугольник АВС,

если

известны

угол

высота

[АН]

и ме

А,

диана [ВМ].

что из любых

трех

из

них

можно

составить

Пять отрезков таковы,

треугольник. Доказать, что хотя

бы один из них остроугольный.

8 .

Построить

ромб,

две

стороны

которого

нахо

дятся

на

данных двух

параллельных

прямых

(АВ)

(CD),

другие

две

проходят

через

данные

точки

К и М.

окружность,

ее

диаметр

| АВ |

точка

----------------------------

Дана

Cf[ AB) .

Построить

на

окружности

такие

точки

Y, что К =

S(4B) (X)

и (КС) 1

(ХА).

10.

Построить квадрат ABCD, стороны которого

---------

проходят через данные точки М,

К,

Р,

Н.

[ВС]

11.

В Л, АВС через середину

стороны

L _ _ _ J

центр

О вписанной в него окружности

проведена

пря-

мая (МО), которая пересекает высоту [АН]

в точке Е.

Рис.

Доказать,

что | Л £ | =

г.

построить

хорду

данной

12.

В данной окружности

длины так, чтобы

она делилась пополам данной прямой.

Д/<ДС, как

13.

Окружность, построенная на высоте

[AD]

прямоугольного

на диаметре, пересекает катет

[АВ]

точке

К,

катет

[АС] — в

точке М.

Отрезок [КМ] пересекает высоту

[AD]

точке

Известно,

что

| AL |2 =

=| АК\ -\.АМ\. Найти острые углы ДЛВС.

14.Через данную точку А провести к данной окружности секущую, кото

рая определила бы хорду данной длины.		касательную	к данной пря
15. Данным радиусом г провести	окружность,
мой (МК) и пересекающую данную	окружность	О (R) по	хорде данной

длины а.

16.

На рис. 91 изображен многоугольник, состоящий из пяти конгруэнтных

квадратов. Разделить его на

три многоугольника,

из

которых

можно сложить

прямоугольник с отношением сторон 1 ; 2 .

внутри

него произвольная

точка /VI.

17.

На плоскости дан отрезок [АВ] и

На отрезках

[AM] и [МВ] как на сторонах построены квадраты AMCD и MBEF,

лежащие по одну и

ту

же

сторону

от (АВ).

Окружности,

описанные около

квадратов с центрами Р и Q,

пересекаются,

кроме точки М, еще в

точке Н.

Показать, что прямые (AF) и (ВС) проходят через Н.

Доказать, что

при любом

положении М прямая (МН) проходит через одну

и ту же

точку К. Найти

множество середин отрезков [PQ], если М перемещается по отрезку [АВ].

18.

Дан

куб

ABCDA1BlC1D1.

Установить

множество середин

отрезков

[XY],

X — любая точка

отрезка [АС] и Y — любая точка отрезка [ Д ^ ] . Уста

новить множество точек

М отрезка

[XY],

которые

удовлетворяют

соотноше

нию | MY | =

2 | ХМ |.

19. Дан куб ABCDAlBlC1D1. Точка X движется с постоянной скоростью по сторонам квадрата ABCD в направлении ABCDA, и точка Y движется с той же скоростью по сторонам квадрата ВуОуСВ в направлении В1С1СВВ1. Точки X и У начинают двигаться в один и тот же момент из исходных положений

Аи Вг соответственно. Найти н построить множество середин [XY],

20.Дан прямоугольный треугольник АВС, катеты которого [CS] и [СЛ]

167

удовлетворяют соотношению

| СВ | ]> | СА | .

Найти множество

всех

точек X

треугольника АВС, для

которых

одновременно выполнены

следующие соотно

шения:

\ Х А \ > \ Х В \ > . \ Х С \ ,

A'j »

Л'2 > А'з,

где

лу, .y.,,

,y3 — расстояния

от

точки X до сторон [ВС], [С<4], [АВ] треугольника АВС соответственно.

21.

Даны две одинаковые окружности /гх и /г2,

которые пересекаются в двух

разных точках Р н Q.

Через

точку

проведена

прямая,

пересекающая

обе

окружности

еще в двух

точках X

взаимно

отделенных

друг

от друга

точкой

Р.

Установить

множество середин сторон

треугольника

Q XY . Найти,

какую

фигуру заполнят центры окружностей,

описанных

около

треуголь

ника QXY.

М сумма-

длин

всех

2 2 .

Доказать, что во всяком выпуклом многограннике

ребер больше утроенного диаметра.

(Диаметром многогранника

называется

наи

большая из длин всевозможных отрезков с концами

в вершинах многогранника.)

§ 3 . З а д а ч и на и з о б р а ж е н и е п р о с т р а н с т в е н н ы х ф и г у р

Метод следов построения сечений многогранника плоскостью

Метод следов построения сечений пирамид и призм заключается в следующем. Строится прямая (след) пересечения секущей плос кости с плоскостью основания пирамиды или призмы. Находятся

Рис. 92

Рис. 93

точки встречи следа с плоскостями боковых граней и диагональных сечений этих многогранников. Эти точки вместе с данными точ ками секущей плоскости определяют прямые, которым принадлежат стороны (диагонали) искомого сечения.

Задача 1. Дано изображение четырехугольной пирамиды MABCD (рис. 92). Точка Р £[АМ], Е £[MD], К^[М.В]. Построить сечение пирамиды плоскостью РКЕ.

168


Для	построения следа		р пересечения секущей плоскости РКЕ
с плоскостью основания ABCD пирамиды необходимо найти две
точки,	принадлежащие		плоскостям РКЕ и	АВС. Строим Y =
= (РЕ) П (AD),		X = (РК) [)(АВ). Прямая (XY )		является	следом р,
так как	X и Y	принадлежат плоскостям АВС и РКЕ. Для			построе

ния точки встречи секущей плоскости с ребром [СМ] (или его

продолжением)	найдем	точку Н	пересечения	следа с плос
костью ACM.	Очевидно,	Н — р{\(АС). Строим		F = (PH) (] (МС).
Четырехугольник PEFK — искомое			сечение.

Метод деления « угольной пирамиды (призмы) на треугольные пирамиды (призмы)

Из данной «-угольной призмы (пирамиды) выделяется та тре угольная призма (пирамида) П, на боковых ребрах которой лежат точки, определяющие искомое сечение. Строится сечение этой призмы (пирамиды), а затем — сечения тех треугольных призм (пирамид), которые имеют общие части с фигурой П.


Задача	2.	Дано		изображение		призмы		ABCDEAyByCyDyEy
(рис. 93).	Точка		Р £[ААу],		И £[ЕЕу],		Т £[ВВу]. Построить		сече
ние призмы плоскостью РИТ.							АВЕАуВуЕу. С этой		приз
Треугольник		РИТ — сечение призмы
мой имеют	общие части призмы АВСАуВуСу, ADEAyDyEy.								Пусть
М = (АС)[\(ВЕ),			K = (AD)(\(BE),			М1= ( А 1С1)[\(В1Е1),			Ку =
= (AyDy) ^(ВуЕу).			Отрезок		[ММу]— пересечение			боковых	граней
АССуАх и	ВЕЕуВу			призм	АВСАуВуСу		и АВЕАуВуЕу. Поэтому

существует точка Q = (ТН) П (ММу).

Треугольник PTY (К = (PQ) П (СС^)) является сечением призмы АВСАуВуСу плоскостью РИТ. На основании аналогичных рассуж дений получаем: F =(ТИ) П (ККу), X = (PF) f) (DDy).

Треугольник РНХ — сечение призмы ADEAyDyEy плоскостью РТИ. Пятиугольник PTYXH — искомое сечение.

Метод дополнения «-угольной пирамиды (призмы) до треугольной пирамиды (призмы)

Данная призма достраивается до треугольной призмы. Строится ее сечение. Искомое сечение получается как часть сечения треуголь ной призмы.

Задача 3. Дано изображение пирамиды MABCDE (рис. 94).

ТочЕга F £[АМ\,		Т £[МС].	Построить сечение	пирамиды	плос
костью FBT.			К = (АВ) Q (DE). Соединив отрезками
Строим	Р = (ВС) П (DE),
точки М и	К,	Р и М, получаем треугольную		пирамиду	МКВР,

169

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2517 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ