книги из ГПНТБ / Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие

3 = -

17

t

(4)

У +

zt -f-

1

Из уравнения (2)

получаем

37 t

37 у +

371

=

17 или

1 7 - 3 7 у.

(5)

zt + 1

zt +

1

то

Так

как при

1

правая

часть

уравнения (5)

отрицательна,

это

уравнение

может

иметь натуральные решения

только

при

У = 0.

уравнение

Но

т

17

или

t —

--—--:— = 1 7

37 — 172

zt + 1

t

не

имеет целых

корней,

так

как

не

равно целому

числу

при

z =

0, 1, 2.

(3)

не

Аналогичным образом показывается, что и уравнение

имеет натуральных

корней.

Из уравнения

(4) имеем

3у

3/

17 или

17 — 3у —

31

’ 1 7 - 3 0 =

+ zt + 1

z t+

1

1

‘

z +

Очевидно,

что

0 <

< 3

Z +

(г и t — натуральные числа). Поэтому 0 <

17 — Зу <

3.

Отсюда

14

^

17

,

Тогда

— < у < — - т - е- У = 5-

г +

-у- = 2, т. е. г +

= 1 + 4 "-

t

Следовательно, 2 =

1, t

=

2.

3, z =

1,

t — 2, у = 5 .

Окончательно получим х =

Разложение на множители выражений, входящих в уравнение

Пример 3.

Доказать,

что уравнение х3— 5х2 = 13 не имеет реше­

ний в натуральных числах.

Преобразуем данное

уравнение к виду

х-х (х — 5) =

1 • 1 • 13,

(6)

Пример 4.

Найти целые числа х и у такие,

что х > у '> 0 и

+ 1у = У3+ 7*.

(7)

Преобразуем данное уравнение к

виду

х3— г/3 = 7х — 7у или

{х — у)

(х2 + ху + г/2) = 7 (х — у).

Но так как х Ф у, уравнение (7) эквивалентно

уравнению

х2 -Ь у2+ ху — 7 или

(х — у)2 = 7 — Ъху.

Теперь

ясно,

что 7 — Ъху > 0, т. е.

< 7 : 3 .

Но

это возможно только в следующих случаях:

1)

х =

1,

у = 2;

2)

х =

2,

у = 1 .

Окончательно

получим

х = 2 ,

у = 1,

так

как по

условию

задачи х > у.

Упражнения

1.

Доказать,

что уравнение

х2+ у2= 1971 не имеет решений

в

целых

числах.

2.

Решить в целых положительных числах уравнение 36х — 49у =

2.

числах.

3.

Доказать,

что уравнение x3 = 2 + 3i/2 не имеет решений в целых

4. Решить в целых положительных числах уравнение

х4 + 2х7у — х14 — t f = 7.

5.

Найти все целые решения уравнения х2 — 6х//+13(/2 = 100.

6.

Найти целые решения уравнения х2 — 6хг/ +

5(/2 =

121.

7.

Доказать,

что уравнение х2 -f- г/2 -J- г2 = 28 не имеет решений в натураль­

ных числах.

х3 + 5х2— 13 =

а имеет

8.

При каких отрицательных значениях а уравнение

решение в натуральных числах?

§

3.

О п р е д е л е н и е р а ц и о н а л ь н ы х корне й

у р а в н е н и й

Теорема о рациональных корнях уравнения

Теорема. Если несократимая дробь - Р —

является корнем

много­

члена

м п (х) = апхп +

i* " -1 + ... + а гх + а0

(1)

с целыми коэффициентами, то

о0 делится

на р, а ап— на q.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть x0 = p : q — корень

данного много­

члена Л4„ (а). Подставив

в

равенство

(1)

вместо

х число

p :q

и приведя его к общему знаменателю, получим

апрп+ an^ p n~lq +

.. . + '<hpq”- 1+ ад" =

0.

(2)

Отсюда

р (anpn- 1 +

• ■• + а д " - 1) =

— ад"-

Так как числа qn и р взаимно простые,

то а0 делится на р.

Теперь преобразуем уравнение (2) к виду

а„рп = — q (а„_ip,1—1 + . . .

+

а д " '1)-

ных корней целых функций с целыми коэффициентами.

Пример 1.

Определить

рациональные корни

уравнения

а-4 — 5а3 + 8а2 — 7а -f 3 = 0.

Здесь

an = 1,

а0 — 3.

Поэтому

рациональные

корни

данного

уравнения

следует искать среди

чисел

1,

— 1, 3,

— 3.

что

Подстановкой этих чисел в

данное уравнение

убеждаемся,

только числа 1 и 3 являются его корнями.

эти

корни кратными.

Нужно

только

выяснить,

не являются

ли

Для этого

разделим левую

часть

уравнения на (а — 1)

(а — 3). По

теореме Безу это можно сделать. Получим

а4— 5а3 + 8а2 — 7а + 3

а2 — а +

1 ;

А =т^=1,

А

3.

(А— 1) (Х

3)

Отсюда

А4— 5А3 -}- 8а2 — 7А -|- 3 = (А — 1) (А — 3) (А2 — А + 1) = 0.

Уравнение

а2 — а +

1

=

0

не

имеет

целых

корней,

и

корни

хг = 1,

а2 = 3

являются

однократными.

Пример 2.

Определить

рациональные корпи уравнения

8а4 + 4а3 — 1 Оа2 — 9а — 2 = 0.

В этом

уравнении ап = 8, а0=

— 2.

Число

8 делится

на

1,

— 1,

2, — 2,

4,

— 4,

8, — 8,

число — 2

делится

на

1,

— 1,

2,

— 2,

поэтому рациональные корни уравнения нужно

искать

среди чисел;

2 ’

2 ’

4 ’

4 ’

8 ’

8 '

Подстановкой

этих чисел

в

данное уравнение

убеждаемся,

что

только

а =

— 0,5

является его корнем.

Гла в а 2.

ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

§ 1. Н е к о т о р ы е с в о й с т в а ф у н к ц и й

Свойства непрерывных функций

В этом параграфе рассматриваются

свойства функций, с помо­

щью которых можно значительно упростить

решения

многих урав­

нений,

неравенств,

доказательство тождеств

и других

задач. Наи­

более

известные

свойства

функций

формулируются

без доказа­

Свойство 3.

Если

функция у = f(x)

определена и непрерывна на

[а, Ь\ и на концах этого промежутка принимает

значения разных

знаков, то существует такая точка хй6 (а, Ь),

что f(x0) = 0.

Пример 1.

у = х3 + х2-, — 5 < х < 5

(рис. 1).

0.

Числа 0 и — 1

у ( — 5) <

0;

у (5) >

0; у (0) =

0

и

у ( — 1) =

принадлежат

интервалу

( — 5,5).

у = f (х)

определена,

непрерывна

Свойство 4.

Если

функция

и монотонна (в строгом смысле слова)

на [а, Ь] и на концах этого

промежутка принимает значения

разных

знаков,

то

существует

такая единственная точка х06 (а, Ь),

что f (х0) — 0.

Пример 2.

у = sin х;

л •< х <

3-

л

(рис. 2).

Функция у = sin х на

л монотонно убывающая, по­

Преобразуем ее к

вщгу

У= х2 (х — 3) +

2;

у (0) =

2 >

0.

При уменьшении

х

от 0

до

— оо функция ух — х2 монотонно

увеличивается

от 0 до

+ со, а

у2 — х — 3 монотонно уменьшается

от — 3 до —

со.

Рис. 1.

Рис. 2.

Поэтому у = х2 {х — 3) + 2

с уменьшением

л;

от

0

до — оо

монотонно изменяется от 2 до

— оо.

х06 ( — оо,

0),

Следовательно, существует единственная точка

которая является корнем данного уравнения.

и

непрерывна

Свойство 5. Пусть функция

у = f (х) определена

в некотором промежутке (замкнутом или нет, конечном

или

бес­

конечном). Если в двух точках

х = а и х = Ь

(а <

6) этого про­

межутка f (х) принимает неравные значения: f (а) =

А

и f (b) = В,

то, каково бы ни было число С £ (А, В), существует

такая точка

с £ (а, Ъ), что f (с) = С.

Пример 4. Доказать, что уравнение

Теперь ясно, что при я -> 0

и х-*- + оо функция £/-> +

оо.

Для доказательства утверждения задачи достаточно

показать,

что на

интервале

(0, + оо)

существует

такая

точка

х0,

что

у (х0) <

10.

что

в качестве

хй можно

взять

х — 1,

так

как

Очевидно,

у (1) = 2 < 10.

Таким образом,

положительные корни данного урав­

нения принадлежат

интервалам

(0,1) и (1, +

оо).

Рис. 3.

График функции у = —

—

(при * > 0 ) показан на рис. 4.

Свойство 6.

Пуешь функция

у =

/ (х)

определена,

непрерывна

и монотонна (в строгом смысле слова) на [а, Ь].

Пусть f (а) =

A, f (Ь) = В.

Каково бы ни было число С 6 [А В],

существует такая

единственная точка с £

[а, Ь],

что f

(с) =

С.

Пример 5.

Решить уравнение

у' х — 1 -|-у / л :+ 14 = 3.

Рассмотрим функции

уг = у гх — 1

и t/3 = угх + 14.

Функция

уг

определена

на

[1,

+ оо),

функция

уг — на

[ — 14, +

оо). Поэтому областью определения функции

y = yi + y%

является

[1,

+

оо).

и

корни четвертой степени). Поэтому на основании свойства

1

функция

У х — 1 -)- у х + 14 = 3.

Нетрудно заметить, что х — 2.

определена,

монотонно воз­

Свойство 7.

Если функция у = f (х)

растает (убывает) и непрерывна на [а, Ь], то

на [/ (a),

f (b)]

существует обратная функция

у = ср (х),

также

монотонно воз­

растающая (убывающая) и непрерывная.

П р и м е ч а н и е .

В этой теореме

имеется

в виду

монотонная функция f (х

в строгом смысле слова.

Свойство 8. Пусть функция f (х) определена

на

некотором про­

межутке и во внутренней точке х0 этого

промежутка принимает

наибольшее (наименьшее) значение. Если существует

двусторонняя

конечная производная f (х0), то необходимо f'

(х0)

= 0.

Свойство 9. Функция f (х) удовлетворяет следующим требова­

ниям: а) определена и непрерывна на

[а, Ь]; б) существует конеч­

ная производная /' (х), по крайней мере на (а,

Ь); в)

f (а) — f (Ь).

Тогда существует такая точка х0( (а, Ь), что f

(х0) = 0.

Свойство 10. Функция f (х)

определена

и

непрерывна на [а, Ь]

и имеет конечную производную на (а, Ь). Для

того чтобы f (х)

была

на, [а,

Ь]

постоянной,

необходимо

и

достаточно,

чтобы

Г (х) = 0, если х £ (а, Ь).

Пример 6. Доказать, что

(

х

i

______

я

arccos х + arccos I

— |- - у

у 3 — Зх2

З- ’

если

0,5 -< х <

1.

Рассмотрим функцию

/ (я) = arccos х + arccos

/

X

1

Г______

I - у +

у 3 — Зх2

? А. Б. Василевский

!

С'нЗяиотека

|

3H3Ell?inj

В силу свойства 10

тождество доказано.

Пример 7. Доказать

тождество

2 (sin6х + cos6х) — 3 (sin4х + cos4х) + 1 =

0.

Рассмотрим функцию

у = 2 (sin6х +

cos6х) — 3 (sin4х + cos4х) +

1 .

Она определена на (— оо,

+ со). Кроме того, у (0) =

0.

у' =

12 sin6х cos х — 12 cos8х sin х — 1 2 sin3xcosx +

+

1 2 cos3xsinx = 1 2 sinxcosx (sin4x — cos4x —

— sin2x + cos2x) = 0.

Свойство- l l . Функция f (х)

определена и

непрерывна на [а, Ь]

и имеет конечную производную

/' (х) на (а,

Ь), Для того чтобы

ком

смысле,

необходимо

и

достаточно,

чтобы /'

(х) >

0 (< 1 0)

на (а, Ь).

12. Функция f

(х) определена

и

непрерывна

на [а, Ь]

и

Свойство

имеет конечную производную f

(х)

на (а,

Ь).

Для того чтобы

f

(х)

была монотонно возрастающей (убывающей)

в строгом смысле,

необходимо

и

достаточно,

чтобы

f (х)^-О (-^.0)

для

х £( а, Ь)

и р (х) не равнялась тождественно нулю ни в каком

промежутке,

составляющем часть [а, Ь].

0,

то

имеет место неравенство

Пример 8.

Доказать, что если а

ая +

За2 + 15 >

13а.

Рассмотрим функцию

у = / (а) = а3 + За2 — 1 За + 15

‘,1

=

-

1 +

Т Г

; “!

У з

второй корень — отрицательный. (На рис.

5 по-

,

казан график функции ср (а) для а > 0.)

^ Via)

Теперь ясно,

что

'

а

ср (а) = /' (а)

0,

если

0 <

а -< — 1 +

^

УТ

’

] /3

ср (а) > 0,

если

— 1

4

+

со.

---- -С а <

У 3

-73

На

основании

свойства

12 можно утверж-

дать,

что

f

а)

монотонно

убывает

на

4

и

монотонно

возрастает

на

0, -

1 + - /^3Г

- 1

+ •

+ о о ) .

Рис. Е

У з

Теперь для

доказательства неравенства

а3 + 3а2 + 15 > 13а ( а > 0 )

достаточно показать,

что оно верно

при а0 = — 1 +

_ .

У з

Так как

1 <

— 1 -)---- 4=- < 1,4,

то а3+

За2 + 15 >

19, a 13а <

За3 + 763>>9аЬ2, если а^> 0,

0.

2* .

19