книги из ГПНТБ / Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие

ства и исследования. Однако может быть использована и двухэтапиая схема, состоящая из анализа и синтеза (построения с доказа­ тельством). В дальнейшем на конкретных примерах раскрывается сущность этих схем, их общность и различие. Теперь же опишем (в общих чертах) этапы каждой из названных схем.

Четырехэтапная схема

Анализ. В этой схеме анализ включает в себя поиск решения конструктивной задачи. Надо наметить и составить план тех после­ довательных конструктивных операций, выполнение которых приве­ дет к построению указанной в условии задачи фигуры. Но в лю­ бом случае сначала допускается, что искомая фигура построена. Делается чертеж — ее набросок. На этом чертеже отмечаются дан­ ные и искомые элементы и устанавливается зависимость между ними. Для того чтобы упростить установление этой зависимости, часто необходимы дополнительные построения. В них, как правило, проявляется метод решения данной задачи. Дополнительные по­ строения должны отвечать двум требованиям: во-первых, они дол­ жны быть такими, чтобы их можно было выполнить по данным элементам фигуры, во-вторых, — чтобы по ним можно было по­ строить искомую фигуру. Чертеж-набросок, выполняемый для ана­ лиза, не должен сводиться к какому-либо частному случаю, а дол­ жен соответствовать наиболее общим требованиям, потому что вы­ воды, верные для частного случая, могут оказаться неверными для более общего случая.

Построение. Оно заключается в том, что указывается последо­ вательность основных построений, которые достаточно выполнить, чтобы получить искомую фигуру. Здесь всегда применяется метод, использованный в анализе.

Доказательство. Необходимо доказать, что построенная фигура является искомой, так как это не всегда очевидно.

Исследование. Задача на построение с конкретными числовыми данными не требует исследования. Решая ее, мы найдем все реше­ ния или придем к выводу, что решений нет. Другое дело, если данные величины обозначены буквами, которые могут принимать различные числовые значения. В зависимости от соотношений меж­

130

При исследовании иногда полезны чертежи, которые в противопо­ ложность чертежу, сделанному для анализа и отражающему общие требования задачи, представляют собой отдельные частные случаи.

По своему содержанию вопрос о числе решений конструктивной задачи и условий ее разрешимости часто сложнее, чем сама задача.

Двухэтапная схема

Анализ. Анализ включает в себя все аспекты, характерные для анализа четырехэтапной схемы решения конструктивной задачи, а

решение. Целесообразно рассмотреть способы решения задачи для каждого из принципиально различных соотношений между данными н искомыми элементами.

Синтез. В процессе синтеза (построения с доказательством) реа­ лизуется способ решения задачи, установленный в анализе, и обо­ сновывается, что построенная фигура отвечает всем требованиям, изложенным в условии задачи.

Анализ и синтез (в двухэтапной схеме) являются двумя состав­ ными частями единого логического процесса. Когда вариантов ана­

анализе много вариантов, то каждый из них проще рассматривать непосредственно перед соответствующим вариантом синтеза.

Таким образом, при двухэтапной схеме решения конструктивной задачи в ней с самого начала выделяются существенно различные частные случаи, а потом для каждого из них отыскивается метод решения и устанавливается число решений.

Задача. Построить окружность, проходящую через данные точки

Аи В и касающуюся данной прямой t.* Решим эту задачу по четырехэтапной схеме.

Анализ. Окружности, проходящие через точки А и В, образуют

множество окружностей, центры которых находятся на прямой — оси симметрии для точек А и В. В задаче требуется выбрать из этого множества окружностей ту, которая касается прямой t. Предполо­ жим, что задача решена и искомая окружность построена (рис. 55). Точку ее касания с прямой t обозначим буквой Т. Проведем секу­ щую АВ. Точку пересечения прямых t и {АВ) обозначим буквой С. Тогда |СА|-|СБ| = 1СГ12. Таким образом, отрезок [СГ] может быть построен.

* Различные решения этой задачи взяты из книги Н. Ф. Четверухнна «Ме­ тоды геометрических построений» (М., 1952) и статьи М. Я. Выгодского и В. Л. Рабиновича «Некоторые принципиальные вопросы, связанные с решением конструктивных задач». («Математика в школе», 1965, № 4.)

Построение. Для построения отрезка [СТ] воспользуемся свой­ ством радикальной оси — прямой, перпендикулярной к линии цент­ ров данных окружностей, — которая является множеством точек плоскости, имеющих одну и ту же степень относительно этих ок­ ружностей. Строим произвольную окружность О', проходящую че­ рез точки А и В. Тогда прямая (/15) является радикальной осью окружностей О и О’. Поэтому степень точки С относительно обеих окружностей одинакова, и отрезок касательной СТ к окружности О

равен отрезку [СГ'] касательной к окружности О'. Проводим ка­ сательную СТ' и из точки С описываем окружность радиусом СТ'. Точки пересечения ее с прямой t обозначим буквами Т1 и Т2. Ис­ комая окружность определяется точками А, В и Тх или А, В и Т2. Ее нетрудно построить (рис. 56).

Доказательство. Обе построенные окружности А В Т1 и А В Т2

прямые (СТЛ) и (СТ2) должны касаться соответствующих окруж­ ностей. Следовательно, построенные окружности удовлетворяют ус­

132

Теперь решим эту задачу по двухэтапной схеме.

Анализ. 1. Предположим, что искомая окружность существует. Пусть Т (рис. 59) — точка касания. Из двух точек А и б по меньшей мере одна не совпадает с Т (и, следовательно, не лежит на каса­ тельной t). Присвоим ей обозначение А. Центр О искомой окруж­ ности лежит на перпендикуляре (MN) к отрезку [АТ], проведенном через его середину, а также на прямой (ТК), перпендикулярной к прямой t. Следовательно, задача будет решена, если мы найдем точку Т.

2.Точка В может лежать на прямой t. Тогда точка Т совпа­ дает с В.

3.В общем случае, когда точка В не лежит на прямой t, она

расположена по ту же сторону от нее, что и точка А (так как окружность О лежит по одну сторону от касательной t).

4. Предположим, что прямые (АВ) и t не параллельны, и обо­ значим через С точку их пересечения. По известной теореме |СТ|2 =

=|СЛ|-|СВ|. Следовательно, точку Т можно построить.

5.Если прямые (АВ) и t параллельны (рис. 60), то точка Т ле­

S

133

школьных программах. В частности, геометрическим преобразова­ ниям, как специфическим функциям, отводятся особое место и роль в школьном курсе геометрии. Этим самым расширяются функци­ ональные представления учащихся, получаемые ими на уроках ариф­ метики и алгебры.

Развитию функциональных представлений учащихся способству­ ет и решение задач, содержанием которых является установление правила (закона), по которому изменя­ ется форма фигуры (взаимное располо­ жение ее элементов) с изменением ве­ личины некоторых ее элементов и на­ оборот.

Приведем пример такой задачи (для повторения школьного курса планиметрии).

Задача 1. На плоскости даны окруж­ ность О (50 мм) и точка А (|(М| = ' = 5 0 )/з мм). Угол ВОС равен 60°, В £ £ [ОА) (рис. 61). Хорда ВС вращается во­ круг точки О (в плоскости чертежа) против хода часовой стрелки.

1.Будет ли при этом изменяться мера угла САВ?

2.Указать на окружности те положения точки В, при которых

I_САВ становится наименьшим и наибольшим.

3.Отметить те дуги окружности, при движении по которым I'_САВ уменьшается или увеличивается.

4.Сколько существует таких положений точки В на окруж­

ется мера (величина) угла САВ с изменением положения хордьпВС на данной окружности.

Традиционно все школьные геометрические задачи делятся на задачи на вычисление, доказательство и построение. Очевидно, сфор­ мулированная задача не относится ни к одному из этих видов, так как при ее решении приходится заниматься не только построением,

вычислением и доказательством, но и обнаружением и обосновани-

л

135

струированме динамических моделей дело сложное. Поэтому скорее

л

всего ученик получит первое представление об изменении ВАС в результате выполнения с помощью инструментов аккуратных по­

строений различных положений хорды ВС на окружности и измере-

д

ния транспортиром ВАС. Для ускорения работы учитель может раз­ делить класс на группы. Каждая группа учащихся выполняет соот­ ветствующие построения и измерения (транспортиром) для указан­

ных ей учителем положений точки В па окружности. Например, всю окружность точками Bv = В, Въ В3, ..., В24 можно разделить на 24 конгруэнтные части. Каждая группа учащихся выполняет

136

12) не существует такого положения В, при котором ВАС — 90°. Этим заканчивается первый этап работы над задачей (получение

правдоподобных гипотез).

Но, подчеркиваем еще раз, все двенадцать сформулированных положений являются пока только гипотезами, полученными самими учениками на основании фактических построений и измерений. Эти утверждения им предстоит доказать или отвергнуть. Не каждое из них сумеют обосновать все ученики восьмого класса без предвари­ тельной подготовки.

137

лл

4.Как измеряется угол, вершина "которого находится вне ок­ ружности?

5.Хорды АВ и АгВх окружности, изображенной на рис. 65,

139