книги из ГПНТБ / Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие

Ш у/

Рис. 123

Ри с. 129

3G. На рис. 123 дано изображение куба (часть его поверхности заштрихо­ вана). Построить развертку этого куба н заштриховать те ее части, которые заштрихованы на изображении куба.

Рис. 130

38.Построить развертку фигуры, показанной на рис. 124.

39.Даны две части развертки куба (рис. 125). Построить на его изобра­ жении отрезки, разрезав по которым поверхность, мы сможем развернуть ее в данные фигуры.

40. На рис. 126 дана развертка куба. Построить изображение этого куба

изаштриховать те части его поверхности, которые заштрихованы на развертке.

41.Дана развертка многогранника (рис. 127). Построить на его изображении отрезки, по которым следует разрезать поверхность, чтобы ее можно было раз­ вернуть в данную развертку.

42.Дана развертка многогранника (рис. 128). Построить его изображение.

43.На рис. 129 даны изображение куба и его развертки. Заштриховать те части этих разверток, которые заштрихованы на изображении куба.

202

44. На рис. 130 даны изображения четырех одинаковых кубов (их грани частично заштрихованы). Найти среди этих четырех кубов три с одинаково за­ штрихованными гранями и построить их развертку.

45. На рис. 131 показан один и тот же куб (на рисунке видны только три его грани). Построить развертку этого куба и на ней изображенные на его гра­ нях фигуры.

«Нестандартные» задачи*

46. а) Доказать, что к конечному множеству точек на плоскости, обладаю­ щему тем свойством, что любые три точки из этого множества являются вершина­ ми невырожденного тупоугольного треугольника, всегда можно добавить еще одну точку, что это свойство сохранится, б) Справедливо ли аналогичное утвер­ ждение для бесконечного множества точек на плоскости?

47. Лист клетчатой бумаги размером п Х п клеток раскрасили в п цветов (каждую клетку закрасили в один из цветов или не закрасили вообще). Правиль­ ной называется раскраска, при которой в каждой строке и в каждом столбце нет двух клеток одного цвета. Всегда ли можно «докрасить» весь лист правильно, если первоначально правильно была закрашена п2— 1 клетка?

48.Доказать, что из любого выпуклого равностороннего (но не обязательно правильного) пятиугольника можно вырезать правильный треугольник, одна из сторон которого совпадает со стороной пятиугольника.

49.Доказать, что ие существует многогранника, у которого к каждой вершине

ик каждой грани примыкает не менее чем по четыре ребра.

* Эти задачи и решении к ним рзяты из журнала «Квант»,

50. На доске была начерчена трапеция; в ней проведена средняя линия [EF] и опущен перпендикуляр [0/<] из точки О пересечения диагоналей на большее основание. Затем трапецию стерли. Как восстановить чертеж по сохранившимся отрезкам [EF] н [О/С]?

51.Множество на плоскости, состоящее из конечного числа точек, обладает следующим свойством: для любых двух точек А и В множества найдется точка С множества такая, что треугольник АВС равносторонний. Сколько точек может со­ держать такое множество?

52.Можно лп из 18 плиток размером 1X2 выложить квадрат так, чтобы при этом не было ни одного прямого «шва», соединяющего противоположные стороны квадрата и идущего по краям плиток?

53.На бесконечном листе клетчатой бумаги N клеток выкрашено в черный цвет. Доказать, что из листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполнены два условия: 1) все черные клетки будут лежать в вырезанных

54.На плоскости даны две точки Л и В и прямая I, проходящая через точку А. Через точки А и В проводится произвольная окружность. Пусть О — ее центр, С— точка ее пересечения с прямой /, отличная от А. Найти множество середин отрез­ ков [ОС], если Вф1.

55.Можно ли разбить правильный треугольник на миллион выпуклых много­ угольников так, чтобы любая прямая пересекала не более сорока нз этих много­ угольников? (Мы говорим, что прямая пересекает многоугольник, если она имеет

сним хотя бы одну общую точку.)

56.Какую наименьшую длину должен иметь кусок проволоки, чтобы из него можно было согнуть каркас куба /IBCD/liBiCiDi с ребром 10 см? (Проволока мо­ жет проходить по одному ребру дважды, загибаться на 90° и 180°, но ломать ее нельзя.)

57.Два равных прямоугольника расположены так, что их контуры пересе­ каются в восьми точках. Доказать, что площадь общей части этих прямоугольни­ ков больше половины площади каждого из них.

58.Каждая нз девяти прямых разбивает квадрат на два четырехугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Доказать, что по крайней мере три нз этих девяти прямых проходят через одну точку.

59.Доказать, что N точек плоскости всегда можно покрыть несколькими иепересекающимпся кругами, сумма длин диаметров которых меньше N и расстоя­ ние между любыми двумя из которых больше единицы. (Под расстоянием между двумя кругами понимается расстояние между их ближайшими точками.)

60.Каждая сторона правильного треугольника разбита на п конгруэнтных частей. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. В ре­ зультате этого треугольник разбился на п2 маленьких треугольников. Назовем «цепочкой» последовательность треугольников, в которой ни один не появляется дважды и каждый последующий имеет общую сторону с предыдущим. Каково

наибольшее число треугольников в цепочке?

61.Около сферы радиуса 10 описан некоторый девятнадцатиграииик. Дока­ зать, что на его поверхности найдутся две точки, расстояние между которыми больше 2 1 .

62.Доказать, что на плоскости нельзя расположить семь прямых и семь то­ чек так, чтобы через каждую из точек проходили три прямые и на каждой прямой лежали три точки.

63.В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд. Доказать, что если каждый диаметр пересекает не более k хорд, то сумма длин хорд меньше лк,

204

207

32. а > 3. Решить данное уравнение относительно а и исследовать а как функ­ цию от х. 34. Выразить х3 из первого уравнения и подставить его значение во второе уравнение. 35. 1. Графики функций ylt г/2 касаются в точке, абсцисса которой является корнем данного уравнения, поэтому касательные к этим гра­ фикам в этой точке совпадают.

208

Рис. 138

0,5

-7

О 7

-0,5

Рис. 141