Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.10.2023

Размер:

7.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2512 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Sa — расстояние, которое

прошел

автомобиль

до

встречи

со вто

рым мотоциклом;

прошел

второй

мотоцикл

до

встречи

S„3 — расстояние,

которое

с автомобилем;

автомобиль

прошел

путь Sa (ч);

ta— время,

за

которое

tй — время,

за

которое

автомобиль

прошел

путь

5а;

ta— время,

через

которое встретился

автомобиль

со вторым мото

циклом (при уменьшенной скорости автомобиля на 20 км/ч);

tMl— время,

за

которое

первый мотоцикл

прошел

расстояни

tM2— время,

за

которое

второй

мотоцикл

прошел

расстояние

Из первого

и второго

предложения

задачи узнаем, что:

^а^а>

Smi = V„tM =

VMtа,

Sa+

Sm, =

или

^a^a "T ^м^а =

(1)

Из третьего

предложения

следует,

что

Оа*а +

(*а — ta) = S.

(2)

В четвертом

предложении

говорится,

что

Sa — Sa — -g- S,

т. e.

Vat'a— Vata =

(3)

Из пятого предложения получаем:

(va — 20) • 3 +

vM• 3 =

(4)

(va — 20) t"a+

oM(4 — 3) =

(5)

(ua — 20)£ — (ua — 20)-3 =

30.

(6)

Таким образом,

определение

расстояния

\АВ\

свелось

решению

системы уравнений

(1) — (6).

Исключив

ta из уравнений (5)

и (6),

получаем

S + Зим

Зиа — 30

(7)

Va + V„ — 20

va ~ 20

ПО

Исключив t'a

из уравнений (2) и (3),

имеем

■S+

“д" 5 +

Vja

( 8 )

Уз + Ум

После

исключения

t a из уравнений (1)

и (8)

следует

у * + 2р„ = 11р, + 2ом

у&+ ум

9оа

Преобразовав

уравнение (9),

получаем

Отсюда vM: va=

или vM: va = 1 : 2.

Но так как

по

условию

задачи

ум< Уа> то

Уз = 2vu.

(10)

Из уравнений (7) и (4) находим

2vM+ va — 20

р, — 1 0

п п

Ра+ рм— 20

Ра.— 20

Решив

систему уравнений (10) и (11), получаем:

pMl =

20 км/ч,

( Ум, = 5 км/ч,

' 1 va, = 40 км/ч;

1 иаг =

км/ч.

Очевидно, второе решение не удовлетворяет условию задачи.

ответ:

Подставив

значения va и vM в

уравнение

(4),

получаем

S = 120

км.

Упражнения

Два

мальчика

измеряют

садовую

дорожку

шагами,

начав

двигаться

с противоположных

ее концов.

После

того

как

каждый

из

них

сделал по

10 шагов,

расстояние

между

ними стало

равным

м.

Найти

длину садовой

дорожки,

если

известно,

что

шаг одного мальчика на 20

см

короче шага дру

гого,

и, чтобы пройти всю дорожку, ему надо сделать на

шагов больше, чем

товарищу.

рычажных весах,

уравновешивается

2. Тело, взвешенное на неравноплечих

при взвешивании на одной чашке

грузом а,

при взвешивании на другой — гру

зом Ь.

Каков истинный вес тела?

х и высотой

у. Найти зависи

Задан цилиндр

радиусом основания

мость у от

х и изобразить ее графически,

если известно, что сумма площадей

оснований

на 2 л квадратных

единиц

меньше площади

боковой

поверхности.

4. Из пунктов А и В одновременно

навстречу

друг

другу

выехали два

велосипедиста, которые встретились в 12

км от

пункта

В.

Продолжая свое

движение и доехав до пунктов В и А,

они сразу же повернули

обратно и снова

встретились в 6

км от

А.

Определить

скорость

велосипедистов

расстояние

\АВ \,

если

известно, что второй велосипедист вернулся

в пункт В через 1 ч

после того,

как первый вернулся

в пункт А.

111

5. Поезд должен пройти расстояние

от

до В за

определенное время.

После трехчасового пути он был задержан

на промежуточной станции па 1

ч и,

чтобы прибыть в срок,

оставшуюся

часть

пути

шел со скоростью

на 4

км/ч

большей, чем первоначальная. Если

бы с такой

скоростью

он шел весь путь

АВ, то

он прибыл бы в В на 1

ч 12 мин раньше.

Найти расстояние | ЛБ| .

6 . Рабочие Иванов и Петров обрабатывают детали

на двух станках-автома

тах. По плану они должны выпускать

вместе 2000

деталей

в неделю. В первую

неделю оба работали

одинаковой

скоростью. Во вторую неделю Петров по

высил скорость

обработки,

но из-за

болезни работал только 27

ч вместо полной

рабочей недели, т. е. 41 ч. В третью

неделю Иванов

ушел в

отпуск,

н вместо

него поставили Новикова. Новиков

потратил

1 ч на

ознакомление со станком,

после чего

начал

работать,

но

до конца

недели работал на малой скорости

п обрабатывал на 6 деталей

в час

меньше,

чем Иванов.

Петров же выздоровел

и всю третью неделю работал с такой

же

скоростью,

как во вторую. Оказа

лось, что в третью неделю было выпущено

на

180

деталей больше, чем во вто

рую, и на 104

детали

меньше,

чем в первую.

Сколько

деталей в час обрабаты

вал каждый

рабочий в каждую неделю? Определите

процент

выполнения

плана

в каждую неделю.

Коров кормили двумя

видами

кормов.

В 1

первого вида

содержится

15 кг белка

и 80 кг углеводов.

второго

вида

содержится

кг

белка

и 30 кг углеводов.

Всего

коровы

получили

углеводов

н 10,5

ц белка.

Найтн общий вес корма, данного коровам.

каждый. На мишени обнаружено

8 .

Два

стрелка сделали

по

выстрелов

40 пробоин. Сколько раз попал каждый, если

известно, что у первого стрелка

на один неудачный

выстрел

приходилось

в 5

раз

больше

удачных

выстрелов,

чем у второго стрелка?

состоящая из 30

человек,

получила на экзамене оценки

Группа студентов,

«2», «3», «4», «5». Сумма полученных оценок

равна 93, причем «троек»

было

больше, чем «пятерок»,

и меньше,

чем «четверок».

Кроме того, число «четве

рок» делилось на 10,

число

«пятерок»

было

четным.

Определить,

сколько

каких оценок получила группа.

10.

У школьника

есть

руб.

монетами достоинством

до

10 коп.

включи

тельно.

Известно, что если отобрать

по одной монете

каждого типа,

имеюще

гося у школьника,

то

в сумме

получится

коп.

Сколько

монет каждого до

стоинства имеется,

если монет самого

большого достоинства

больше числа всех

прочих

монет на 4?

положительного

числа

/(,

увеличенный

на

девять,

11.

Квадрат

целого

делится

без остатка

на

неполное

частное

от

деления

числа

К на три и

дает

в частном 130. Найдите К-

12.

Три

тракторные

бригады

вместе

вспахивают

поле

за

4 дня.

Первая

и вторая бригады вместе вспахали

бы это

поле за 6

дней, а

первая

п третья —

за 8 дней. Во

сколько

раз

вторая

бригада

вспахивает за

день больше, чем

третья?

13.Двое рабочих получили одинаковые задания: изготовить определенное число деталей за определенный срок. Первый выполнил задание в срок, а вто рой выполнил в срок только 90% задания, не додав столько деталей, сколько первый делал за 40 мин. Если бы второй рабочий делал в час на три детали больше, он выполнил бы задание на 95%. Сколько деталей должен был изго товить каждый рабочий?

14.В реку впадает приток. На притоке на некотором расстоянии от его устья расположен пункт А. На реке на таком же расстоянии от устья притока расположен пункт В. Время, которое требуется моторной лодке, чтобы доплыть от пункта А до устья притока и обратно, относится ко времени, которое

требуется ей, чтобы доплыть от пункта	В до	устья	притока и обратно, как
32:35. Если бы скорость моторной лодки	была	на 2	км/ч больше, то это от

112

ношение было бы равно 15: 16,	а если бы скорость	моторной лодки	была на
2 км/ч меньше, то отношение	было бы равно 7: 8.	Найти скорость	течения
реки. Расстояния измеряются вдоль притока и реки соответственно.
15. Поезд, следующий из пункта А в В, делает		по пути некоторое число
остановок. На первой остановке в поезд садится 5		пассажиров, а на	каждой

следующей — на 10 пассажиров больше, чем на предыдущей. На каждой остановке


50 пассажиров выходит нз				поезда.		Возможен ли случай,		когда в В прибывает
менее 12 пассажиров, если				из А их выезжает 462?			составляющие 31 тыс. руб.
16. Некоторое		предприятие приносит убытки,
в год. Для превращения его					в рентабельное было предложено увеличить ассор
тимент продукции.		Подсчеты			показали, что дополнительные доходы, приходя
щиеся на каждый новый			вид		продукции, составят		25 тыс. руб.		в год, а до
полнительные расходы окажутся равными 5 тыс. руб. в								год при освоении од
ного нового вида, но освоение каждого последующего потребует на									10 тыс. руб.
в год больше расходов,			чем освоение предыдущего.				Можно ли указанным спо
собом сделать предприятие				рентабельным?
§ 2 . З а д а ч и на в о с с т а н о в л е н и е ч и с е л
	Пример задачи на восстановление чисел
Задачи	на восстановление					чисел носят ярко выраженный комби
наторный	характер.
При решении таких				задач		используется	ряд	свойств натураль

ных чисел: произведение четных чисел есть четное число; произве

дение нечетных чисел	есть		нечетное		число; условия при которых
при умножении /г-значного			числа	на	однозначное число получаем
k- или (/е + 1)-значмое	число; признаки делимости натуральных
чисел и т. п.		числа («х» обозначают цифры от 0 до 9):
Пример. Восстановить		числа («х» обозначают цифры от 0 до 9):
(	1)	xxlххххххх			xxxxlx
(	2)	хххххх		:	хх7хх
(	3)	ххххх7х
(	4)	ххххххх
(	5)	xlxxxx
(	6)	xlxxxx
(	7)	ххххххх
(	8)	xxxxlxx
(	9)		хххххх
(10)			хххххх
			“ 0

Для упрощения рассуждений пронумеруем строчки, в которых записаны числа, получаемые в процессе деления, цифрами от 1

до 10.

8 А. Б. Василевский

113


Делитель — шестизначное		число.	Третья цифра			частного — 7.
При умножении шестизначного числа на				7 получили		шестизначное
число (6-я строчка).	Но это	возможно		только	в том	случае, если
делитель начинается	цифрой	1. Итак,	делитель		имеет вид

\xxx7x.

Для упрощения рассуждений делитель и частное запишем в виде:

ХАБВ7Г, ДЕ7ЖК.

Далее, шестизначные числа			записаны		во	2-, 6-,10-й, семизнач
ные числа—в 4- и 8-й строчках. Поэтому
Е =	8 или Е = 9,	Ж =	8 или Ж = 9,			1 < А <		4.
Если при	умножении	числа	ХАБВ7Г		на	8 или	9	получается
семизначное число, то оно обязательно				начинается			цифрой 1. По
этому числа в 4-й и 8-й строчке начинаются цифрой 1.								начиналось
Допустим,	что А = 4.	Тогда	число	из 6-й		строчки
бы цифрой 9. Но этого не может быть,				так как при вычитании из
шестизначного числа (строчка			5) шестизначного числа (строчка 6)
получаем шестизначное число (строчка				7).	Итак, А ф 4.
По этой же причине А Ф 3.
Следовательно,
	А = 1 или А =			2.

Допустим, что А = 1. Тогда на основании 6-й строчки получаем, что Б = 1 {Б не может быть равно нулю в силу 4-й и 8-й строчек;

Бне может быть больше 1 в силу 6-й строчки). Итак, допустим, что делитель имеет вид

11 \В7Г.

В силу	4-й и	8-й строчек В ф 0.			С	другой	стороны, В < 4
(в силу 6-й строчки).			вид
Если делитель		имеет	вид
		11117Г, 11127Г или 11137Г,
то при любом значении			Г в 8-й	строчке		третья	цифра справа не
будет равна 7.		А Ф 1	и В > 3.
Следовательно,		А Ф 1	и В > 3.
Итак, делитель имеет вид
			Х2БВ7Г.
Все до	сих пор	установленное		внесем	в данный		пример:

114

	хх7ххххххх	ПБВ7Г
	хххххх	ДЕ7ЖК
	хххххТх	ДЕ7ЖК
	хххххТх
	1хххххх
	х7хххх
	87хххх
	ххххххх
	\xxx7xx
	хххххх
	хххххх
	о
	Теперь понятно, что первой	цифрой 5-й строчки является 9,
	а 7-я и 8-я строчки начинаются	цифрами 1 и 0:
	хх7ххххххх	12БВ7Г
	хххххх	ДЕ7ЖК
	хххххТх
	1хххххх
	97хххх
	87хххх
	1Оххххх
	\0xx7xx
	хххххх
	хххххх
	~0
	Так как

120-9 =1080, 121-9 = 1089, 122-9 =1098, 123- 9= 1107,

то в силу 8-й строчки третья цифра этой строчки не может быть больше 2, если Ж = 9. Но

120-7 = 840, 121-7 = 847, 122-7 = 854.

Поэтому в силу 6-й строчки Ж ф 9.					Итак, Ж =			8.
Далее,
123-7 = 861,		124-7	= 868,	125-7	= 875,		126-7 =		882.
Отсюда	и в силу	6-й	строчки	следует,		что	Б =	4	или	Б = 5.
Но Б ф 4 ,	так как 1249-8		= 9992 (см. 8-ю строчку). Следовательно,
Б = 5.				получаем, что 3-я				строчка		начи
Сравнивая 3-ю и 4-ю строчки,				получаем, что 3-я				строчка		начи
нается с 1	(больше	единицы первая цифра				3-й строчки не может
быть еще и потому,		что первая цифра делителя					1).

115

Кроме того,

125- 8= 1000, 126- 8= 1008.

Поэтому третья цифра 8-й строчки 0. Теперь имеем такую

картину:

хх7ххххххх

12557Г

хххххх

ДЕ78К

1xxxxlx

Iхххххх

97хххх

87хххх

1Оххххх

100л:7хлг

хххххх

Далее,

1251-7 = 8757,

1252-7=8764, 1253-7=8771,1254-7=8778,

1255-7 =

8785, 1256-7 =

8792,

1257-7 =

8799, 1258-7 = 8806.

Поэтому (см. 6-ю строчку)

1 < В <

значении Г) на 8

При

умножении

числа

125575

(при

любом

третья

цифра справа

(в 8-й

строчке) будет

равна

только

в том

случае, если произведение В -8 оканчивается

цифрой 2 (8В — число

четное). Но это возможно, если 5

= 4

или

5 =

Но 1 < 5

Итак, 5 = 4.

т. е. Г < 4 .

Так как 7-8 = 56, то Г -8 < 40,

Далее,

125470-7 = 878290 и 125474-7 = 878318.

Поэтому третья цифра слева в 6-й строчке

третья цифра

слева в 5-й строчке

9, тогда

хх7ххххххх

12547Г

хххххх

ДЕ78К

\xxxx7x

1хххххх

979ххх

878ххх

101хххх

100x7хх

1ххххх

хххххх

“ 0

Из

9-й строчки следует,

что

116

Так как

125471-8 = 1003768, 125474-8 = 1003792,

то при Г 4 четвертая цифра слева в 8-й строчке 3 и, следова тельно, четвертая цифра слева в 7-й строчке 6 (6, а не 5, потому что 7 + 5 = 12).

Теперь получаем

	хх7ххххххх	12547Г
	хххххх	ДЕ78\
	\xxxx7x	ДЕ78\
	\xxxx7x
	1хххххх
	979ххх
	878ххх
	1016ххх
	10037xv
	12547л;
	12547л:

		0
Сравнивая 5-, 6- и 7-ю строчки,				получаем,		что четвертая			цифра
слева в 6-й строчке не должна			быть больше			3. А	это возможно,
если 2 < Г	4.	цифра	слева		может	быть	равна	2	или 3.
В 7-й строчке пятая
Но так как
125472-8 =	1003776,	125473-8 =			1003784,	125474-8 =		1003792,
то пятая цифра слева		в 7-й строчке			может быть		только	3	и чет
вертая цифра в 6-й строчке 3.
С учетом этого получаем следующую ситуацию:
	хх7ххххххх			12547Г

хххххх ДЕ78\ \xxxx7x

1хххххх

9799л:х

8783л;л:

10163л:л;

10037л:л:

12547л:

Сравнивая 3-, 4- и 5-ю строчки, получаем, что в 4-й строчке вторая цифра справа может быть 8 или 7. Но

12547-9=112923 и 1 8 < 9 Г < 4 0 .

117

Поэтому Ё ф 9 ,			т. е. Ё = 8. Но
		12547-8 =		100376	и 1 6 < 8 Г < 3 2 .
Поэтому Г = 2 или Г =				3, и,	следовательно,		получил!
			хх7ххххххх		12547Г
			хххххх		Д8781
			110177л:		Д8781
			110177л:
			10037лл
			9799лл
			8783лл
			101бЗлл
			10037лл
			12547л
			12547л
				0
Из первых трех			строчек	ясно,	что в 3-й строчке третья цифра
слева 6 или 7.		Непосредственной			проверкой	убеждаемся,		что это
будет только в том случае, если					Д — 3 или	Д = 5 соответственно.
Легко	проверить, что Д ф З . Итак, Д =					5.
Теперь	очевидно,		что Г = 3.
Окончательно находим: при делении числа 7375428413								на 125473
получаем 58781.
				Упражнения
1. Восстановить цифры делимого, делителя и частного:
	1)	хх ххх ххх			2 ) _хххххх		ххх
			ххх	х7ххх	ххх		х8х
			ххх		ххх
			ххх		ххх
			хххх		хххх
			ххх		хххх
			хххх			о
			хххх
			~0

2. В задаче каждая буква и каждый знак «л-» обозначают цифры от 0 до 9

(АФ 0).

АТОМ ■АТОМ

ххххх

ххххАТОМ

Различные буквы соответствуют различным цифрам. Замените буквы и «л» цифрами.

118

§ 3. М е т о д ы р е ш е н и я л о г и ч е с к и х з а д а ч *

Матричный метод

Рассмотрим матрицу из п строк

и п

столбцов. Любое

из на

правлений

по строкам

или

столбцам

назовем входом.

Для

назван

ной матрицы

есть

четыре

входа: сверху, снизу, слева, справа.

Будем называть элемент матрицы

совместным, если к нему можно

подойти по любому входу.

Если

этого

сделать нельзя, такой эле

мент назовем несовместным.

Применение матричного метода

покажем

на примере. Несовместные

элементы

на рисунках

будут заштрихо

ваны.

В купе

одного

из

вагонов

Москва — Одесса

ехали:

Пример

москвич, ленинградец, туляк,

киевлянин,

харьковчанин,

одессит.

Их фамилии начинались буквами

А, Б, В, Г, Д, Е. В дороге вы

яснилось,

что:

1) А и москвич — врачи, Д и ленинградец — учителя,

а туляк

и В — инженеры; 2) киевлянин,

Б и Е — участники

Отече

ственной войны, а туляк

армии

не

служил;

харьковчанин

старше А,

одессит

старше

В,

а Е — самый молодой;

4) Б

и моск

вич сошли

в Киеве,

В и харьковчанин — в Виннице.

Определить начальную букву фамилии и профессию каждого

пассажира.

матрицу с двумя

входами,

по одному входу

распо

Составляем

лагаем

местожительство,

по

второму — фамилии

пассажиров

(рис. 50). Элементы

AM, ДЛ,

ТВ,

АЛ, АТ, ДМ,

ДТ,

ВЛ,

ВМ не

совместны (по первому условию задачи). По второму условию за

дачи

несовместны элементы

БТ

ЕТ.

На

входе

по столбцу

остался только один элемент.

Поэтому

по строке Г все элементы,

кроме ГТ,

несовместны.

По

третьему

условию несовместны эле

менты

АХ,

ВО, EX, ЕО.

По

четвертому

условию

задачи несов

местны элементы БМ, ВХ,

БХ.

Теперь

ясно, что несовместны все

элементы из строки Е, за исключением

ЕМ.

Несовместны также:

все элементы из строки

Д,

кроме

ДХ\

все

элементы строки

Б,

кроме БЛ\ все элементы из строки А, за исключением АО. Таким образом, получаем ответ (рис. 51).

Пример 2. В пионерском лагере в одной палатке жили Алексей, Борис, Валерий и Григорий. При знакомстве оказалось, что они


учатся в разных классах	начальной			школы; каждый				из них зани
мается в одном из кружков:		шахматном,			юннатском,			конструктор
ском, фотокружке. Известно		также,		что:		1)	А и	второклассник
* Материал для этого параграфа заимствован						из	статей	Г. Н. Щеглова
«О матричном методе решения логических			задач»		(«Математика в школе», 1966,
№ 1); Л. Л. Цинман «Логические		задачи	и алгебра высказываний» («Квант»,
1971, № 4); Л. 10. Березиной	«Графы помогают					решать логические задачи»
(«Математика в школе», 1972,	№ 2).

119

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2512 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ