Математическая модель
Рассмотрим подводную лодку как материальную точку, которая движется по вертикали на некоторой глубине, с некоторой постоянной скоростью. Лодка удифферентована, то есть силы, которые действуют на лодку по вертикали, как показано на рис.1, (сила тяжести и выталкивающая сила Архимеда) равны по модулю.
По вертикали, на лодку действует сила сопротивления, модуль которой примем в виде:
Где степень и коффициент пропорциональности это некоторые числа, характерные для данной среды, и зависящие от факторов среды, таких как: плотность
Рис. 1 воды, её температура, и величины скорости.[4]
Сила Архимеда, действующая на лодку, зависит от размеров лодки, а именно от её объема, и плотности воды.
В этой формуле – это плотность жидкости, –объем тела, погруженного в жидкость, = 9.81 м / c2 – ускорение свободного падения.
Пусть в некоторый момент времени выключены двигатели и сбрасывается балласт. Двигаясь по инерции, а также под действием силы Архимеда, она начнет всплывать по некоторой траектории (рис.2). [2]
Рис. 2
Силу сопротивления мы можем записать так:
,
так как вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории движения, а сила сопротивления имеет противоположное направление.
По второму закону Ньютона:
,
где вектор - это вектор силы тяжести, действующей на лодку. - некоторая функция зависящая от времени. [5]
Запишем это векторное уравнение в проекциях на оси.
В проекции на ось :
где масса - функция зависящая от времени. Решая эту систему для произвольного значения , и заданных начальных условий, мы получим уравнение траектории движения подводной лодки.
Пусть масса лодки изменится мгновенно. - некоторый момент времени, в который вся вода из цистерн вытеснена. Как показано на рис.3, в некоторый момент времени mводы будет равняться 0, и мы получим , то – есть, вся вода из цистерн будет вытеснена.
В результате выше написанного мы можем привести математическую модель к общему виду для того, что бы решить ее на ЭВМ.
V=V0+at y=y0+V0t+at2/2
F=ma F=-mg+Fa-R
a=F/m R=kVy2
Компьютерная модель
Для моделирования выберем среду электронной таблицы. В этой среде информационная и математическая модель объединяются в таблицу, которая содержит три области:
- исходные данные;
- промежуточные расчеты;
- результаты.
1. Заполните область исходных данных.
2. Заполните расчетные столбцы A, B, C и D, в которых вычисляются параметры всплытия подводной лодки:
- время;
- скорость;
- масса;
- ускорение.
3. Введите формулы в расчетные ячейки.
Ячейка |
Формула |
D2 |
=B1*D4*D1 |
В9 |
=B8+C8*$D$3+(D8*$D$3^2)/2 |
С9 |
=C8+D8*$D$3 |
D9 |
=E9/$B$2 |
E9 |
=-$B$2*$D$4+$D$2-$B$4*C9^2 |