Gladysheva-tv (1)

Вариант – 12

1.Из 10 телевизоров на выставке 2 оказались фирмы «Сони». Наудачу для осмотра выбрано 3. Составить закон распределения случайной величины X – числа телевизоров фирмы «Сони» среди 3 отобранных. Найти: 1) функцию распределения F(x) и построить ее график; 2) математическое ожидание MX и дисперсию DX.

2.Устройство состоит из 15 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,2. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – числа отказавших элементов в одном опыте.

3.Найти закон распределения случайной величины X, которая может принимать только два значения: x1 с вероятностью p1 = 0,7 и x2 (x1 < x2), если, MX = 3,6, DX = 0,84.

4.Пусть X – выручка фирмы в долларах. Найти распределение выручки в рублях Z = X Y в пересчете по курсу доллара Y, если выручка X не зависит от курса Y, а распределение X и Y имеет вид:

При каком значении параметра C эта функция является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины X ? Найти математическое ожидание MX, дисперсию

DX.

6. Известна функция распределения непрерывной случайной величины X:

Найти: 1) плотность распределения f(x); 2) MX, DX, σ; 3) P(−1 ≤ X < 3) . Построить графики f(x), F(x).

7.Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы показывают время, которое отличается от истинного не более, чем на 15 сек.

8.Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с параметрами a = 16 км σ = 100 м.

Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами: 1) не менее 15,8 км: 2) не более 16,25 км; 3) не менее 15,75 км, но не более 16,3 км.

81

Вариант – 13

1.Среди 15 собранных агрегатов 6 нуждаются в дополнительной смазке. Составить закон распределения случайной величины X – числа агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке, среди 3 наудачу отобранных из общего числа.

Найти: 1) функцию распределения F(x) и построить ее график; 2) математическое ожидание

MX и DX.

2.В лаборатории работают 20 независимых приборов. Вероятность того, что в данный момент прибор работает, равна 0,05. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа работающих в данный момент приборов.

3.Случайная величина X принимает два значения: x1 и x2 = 5. Найти функцию распределения этой случайной величины, если ее математическое ожидание равно 3,9, а дисперсия – 0,96.

4.Даны законы распределения двух независимых случайных величин X и Y:

Найти закон распределения случайной величины X Y и математическое ожиданиеM (X Y ).

Убедиться, что M (X Y )≠ MX MY .

5.Случайная величина X распределена по закону Симпсона (равнобедренного треугольник ) на отрезке [-а; а], т. е. график её плотности имеет вид.

f(x)

-a 0 a x

Записать формулу для плотности распределения f(x). Найти математическое ожидание MX

и дисперсию DX.

6.Известна функция распределения непрерывной случайной величины X:

Найти: 1) неизвестный параметр A; 2) плотность распределения f(x); 3) MX, DX, σ; 4) вероятность P(0,5 ≤ X <1,5) . Построить графики f(x), F(x).

7.Среднее время безотказной работы прибора равно 80 часов. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти: 1) его плотность вероятности и функцию распределения; 2) вероятность того, что в течение 100 часов прибор не выйдет из строя.

8.Рост взрослого мужчины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть ее математическое ожидание равно 170 см, а дисперсия - 36. Найти плотность вероятности и функцию распределения этой случайной величины. Вычислить вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных четырех мужчин будет иметь рост от 168 до

172 см.

82

Вариант – 14

1.В магазине продаются 5 отечественных и 3 импортных телевизора. Составить закон распределения случайной величины X – числа импортных из 4 наудачу выбранных телевизоров. Найти: 1) функцию распределения F(x) и построить её график; 2) математическое ожидание MX и дисперсию DX.

2.Игральную кость бросают до первого появления 4 очков. Определить закон распределения числа сделанных бросков. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

3.Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения: x1=1, x2=3 и x3 соответственно с вероятностями p1 = 0,5; p2 = 0,3 и p3.

Найти x3 и p3, зная, что MX = 3,4.

4.Даны законы распределения двух независимых случайных величин X и Y:

Найти вероятности, с которыми случайные величины принимают значение, равное 2. Составить закон распределения случайной величины 2X-3Y и проверить выполнение свойств математического ожидания и дисперсии:

M (2X −3Y )= 2MX −3MY , D(2X −3Y )= 4DX +9DY .

5. Случайная величина X имеет показательное распределение с параметром λ . Найти: 1)

плотность распределения случайной величины Y =1−e−λx ; 2) математическое ожидание MY и дисперсию DY.

6. Известна функция распределения непрерывной случайной величины X:

Найти: 1) неизвестный параметр A; 2) плотность распределения f(x); 3) MX, DX, σ;

4)вероятность P(2 ≤ X < 5) . Построить графики f(x), F(x).

7.Цена деления шкалы амперметра равна 0.1 ампера. Показание округляют до ближайшего целого деления. Ошибка округления – случайная величина равномерно распределена между соседними делениями. Найти вероятность того, что будет сделана ошибка, превышающая 0,02 ампера.

8.Текущая цена акций может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием 15 ден.ед. и средним квадратическим отклонением 0,2 ден.ед.

Найти вероятность того, что цена акций: 1) не выше 15,3 ден.ед; 2) не ниже 15,4 ден.ед; 3)

от 14,9 до 15,3 ден.ед.

83

Вариант – 15

1.Вероятность того, что в библиотеке нужная студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения случайной величины X – числа библиотек, которые посетит студент, если в городе 4 библиотеки. Найти: 1) функцию распределения F(x) и построить ее график; 2) математическое ожидание MX и дисперсию DX.

2.Батарея дала 18 выстрелов по объекту. Вероятность попадания в каждом выстреле равна 0,75. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X – числа попаданий.

3.Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: x1 = -2, x2 = 0, x3 = 1, а также известны математические ожидания этой случайной величины и её квадрата: DX= - 0,8, MX2 = 2,2. Найти вероятности p1, p2, p3, соответствующие возможным значениям x1, x2, x3.

4.Подбросили монету и игральную кость. Случайная величина X – число выпадений герба,

случайная величина Y – число очков, выпавших на кости. Составить закон распределения случайной величины Y-X. Убедиться, что M(Y −X)=MY−MX, D(Y −X )=DX +DY .

5.Плотность распределения непрерывной случайной величины задается формулой:

А(x −2)(4 − x), если x [2;4], f (x) = 0, если x [2;4].

Найти: 1) неизвестный параметр A; 2) функцию распределения F(x); 3) MX, DX, σ. Построить график функции f(x).

6. Известна функция распределения непрерывной случайной величины X:

Найти: 1) неизвестный параметр A; 2) MX, DX, σ; 3) вероятность P(−0,5 ≤ X < 2) . Построить графики f(x), F(x).

7.Время X расформирования состава через горку – случайная величина, подчиненная показательному закону. Определить вероятность того, что время расформирования состава более 20 минут, если λ = 4 – среднее число поездов, которые горка может расформировать за час.

8.Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 540г. Известно, что масса коробок с конфетами имеет нормальное распределение, и 5% коробок имеют массу, меньшую 500г.

Каков процент коробок, масса которых: 1) менее 470 г.; 2) от 500 до 550 г.; 3) более 550г.; 4) отличается от средней, не более чем на 30г. по абсолютной величине?

84

Вариант – 16

1.В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую десятую единицу товара денежный приз размером 1 тыс. руб. Составить закон распределения случайной величины X – размера выигрыша при четырех сделанных покупках. Найти: 1) функцию распределения F(x) и построить ее график; 2) математическое ожидание MX и дисперсию DX.

2.Две игральные кости подбрасывают три раза. Случайная величина X – число появлений любой из шести комбинаций (1;1), (2;2), …, (6;6). Составить ее закон распределения. Найти: 1) математическое ожидание MX и дисперсию DX; 2) вероятность P(0 ≤ X < 2).

3.Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: x1 = -1, x2 = 0, x3 = 1,

= 0,9. Найти вероятности p1, p2, p3, соответствующие возможным значениям.

4.Даны законы распределения двух независимых случайных величин X и Y:

Найти вероятности p3 и q2. Составить закон распределения случайной величины 3X-2Y и проверить выполнение свойств математического ожидания и дисперсии.

5. Плотность распределения непрерывной случайной величины задается формулой:

Найти: 1) неизвестный параметр A; 2) плотность распределения f(x); 3) MX, DX, σ; 4) вероятность P(0,5 ≤ X <2,5). Построить графики f(x), F(x).

7.Ребро куба x измерено приближенно, причем 3 ≤ õ ≤ 6 . Рассматривая длину ребра куба как случайную величину X, распределенную равномерно в интервале (3;6), найти математическое ожидание и дисперсию объёма куба.

8.Контролируемая длина детали распределена по нормальному закону и имеет математическое ожидание 25 см. Вероятность того, что длина изготовленной детали окажется в пределах (10;18), равна 0,1. Найти вероятность того, что длина изготовленной детали окажется в пределах (32;40), считая σ = 4 см.

85

Вариант – 17

1.Торговый агент имеет 5 телефонных номеров потенциальных покупателей и звонит им до получения заказа или пока всех не обзвонит. Вероятность того, что потенциальный покупатель сделает заказ, равна 0,4. Составить закон распределения случайной величины X – числа телефонных разговоров, которые предстоит провести агенту. Найти: 1) функцию распределения F(x) и построить ее график; 2) математическое ожидание MX и дисперсию DX.

2.Станок автомат штампует детали. Вероятность того, что деталь окажется бракованной – 0,02. Определить закон распределения случайной величины X – числа бракованных деталей среди 200 отобранных. Найти математическое ожидание MX и дисперсию DX.

3.Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1 < x2. Вероятность того, что X примет значение x1, равна 0,6. Найти закон распределения случайной величины X, если математическое ожидание и дисперсия известны: MX = 3,8, DX

= 0,96.

4.Случайные величины X и Y независимы. Закон распределения Y задан таблицей:

Случайная величина Y имеет биномиальное распределение с параметрами n = 2, p = 0,3. Составить закон распределения случайной величины 2X+Y. Убедиться, что

M(2X+Y)=2MX+MY.

5. Случайная величина X имеет плотность распределения f (x) = A | x | e−x2 .

Найти: 1) неизвестную константу A; 2) функцию распределения F(x) этой случайной величины и вероятность того, что данная случайная величина примет значение из интервала (- 1;1).

6. Известна функция распределения непрерывной случайной величины X:

Найти: 1) неизвестный параметр A; 2) плотность распределения f(x); 3) MX, DX, σ; 4) вероятность P(1 ≤ X < 3) . Построить графики f(x), F(x).

7. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [-1;1]. Найти: 1) плотность распределения случайной величины Y = −ln( X + 2) ; 2) математическое ожидание MY и дисперсию DY.

8.Полагая, что рост женщин определенной возрастной группы есть нормально распределенная случайная величина X с параметрами распределения a = 164 и σ2 = 25, найти: 1) плотность распределения f(x) и функцию распределения F(x); 2) долю костюмов второго (158164 см) и третьего (164-170 см) роста, которые нужно предусмотреть в общем объеме производства для данной возрастной группы.

86

Вариант – 18

1.Каждый поступающий в институт должен сдать 3 экзамена. Для некоторого абитуриента вероятность успешной сдачи первого экзамена – 0,9, второго – 0,8, третьего – 0,7. Следующий экзамен абитуриент сдает только в случае успешной сдачи предыдущего. Составить закон распределения случайной величины X – числа экзаменов, сдаваемых абитуриентом. Найти: 1) функцию распределения F(x) и построить ее график; 2) математическое ожидание MX и дисперсию DX.

2.На станции обслуживания заявки поступают в соответствии с законом Пуассона с λ = 2 . Мощность станции позволяет обслуживать не более двух заявок в единицу времени. Найти вероятность того, что в течение данной единицы времени: 1) станция не справится с потоком заказов, и образуется очередь; 2) станция обслуживания будет простаивать или будет работать не на полную мощность; 3) на станции обслуживания очередь не образуется.

3.Дискретная случайная величина X принимает только два возможных значения: x1 и x2, причем x1 < x2. Найти закон распределения величины X, зная, что p(x= x1)=0,5, математическое ожидание MX = 1, а среднее квадратическое отклонение σ = 2.

4.Потребление электроэнергии предприятиями №1 и №2 в течение суток характеризуются

следующими данными:

предприятие № 1

Требуется: 1) составить закон распределения количества электроэнергии, потребляемой предприятиями вместе; 2) найти математическое ожидание и дисперсию рассмотренной случайной величины и проверить, что M(X+Y)=MX+MY, D(X+Y)=DX+DY.

5. Плотность распределения вероятностей случайной величины X определяется формулой

Найти: C, MX, DX, и σ .

6. Известна функция распределения непрерывной случайной величины X:

Найти: 1) неизвестный параметр A; 2) плотность распределения f(x); 3) MX, DX, σ; 4) вероятность P(1 ≤ X < 4) . Построить графики f(x), F(x).

7.Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [1;3]. Найти: 1) плотность распределения случайной величины Y = X2+1; 2) математическое ожидание MY.

8.Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 450 г. Известно, что масса коробок с конфетами имеет нормальное распределение, и вес 5% коробок меньше 400г. Каков процент коробок, масса которых: 1) менее 470 г; 2) отличается от средней не более чем на 30 г по абсолютной величине? Определить квантиль уровня 0,6 и 10%- ную точку случайной величины X.

87

Вариант – 19

1.Выполнено два выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,8, вторым – 0,7. Составить закон распределения случайной величины X – суммарного числа попаданий в мишень. Найти: 1) функцию распределения F(x) и построить ее график; 2) математическое ожидание MX, дисперсию DX и среднее квадратическое отклонение σ. (Каждый стрелок делает по одному выстрелу.)

2.Всхожесть семян данного сорта растений – 95%. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X – числа взошедших семян из 500 посеянных.

3.Дискретная случайная величина X имеет только три возможных значения: x1 = 1, x2 и x3, причем x1 < x2 < x3. Вероятности того, что X примет значения x2 и x3, соответственно, равны 0,3 и 0,2. Найти закон распределения случайной величины X, зная её математическое ожидание MX = 2,2 и дисперсию DX = 0,76.

4.На двух автоматических станках производятся одинаковые детали. Даны законы распределения числа бракованных деталей, производимых в течение смены на каждом из них:

Необходимо: 1) составить закон распределения числа производимых в течение смены бракованных изделий обоими станками; 2) убедиться, что M ( X +Y ) = MX + MY .

Найти: 1) неизвестный параметр A; 2) плотность распределения f (x) ; 3) математическое ожидание MX ; 4) вероятность P(1 ≤ X < 3) . Построить график F (x) .

7.Сторона квадрата x измерена приближенно, причем 4 ≤ õ ≤ 7 . Рассматривая длину стороны квадрата как случайную величину X, распределенную равномерно в интервале (4;7), найти математическое ожидание и дисперсию площади квадрата.

8.Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 30мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 20 и не более 40мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: 1) больше 34мм; 2) меньше 24мм.

Указание. Из равенства P(20 < X < 40) =1 предварительно найти σ.

88

Вариант – 20

1.Из поступивших в ремонт 6 часов 2 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чистке, рассматривает их по очереди и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Составить закон распределения случайной величины X – числа просмотренных часов. Найти: 1) функцию распределения F(x) и построить ее график; 2) математическое ожидание MX и дисперсию DX.

2.Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре равна 100. Берется две пробы воздуха объемом по одному кубическому дециметру каждая, составить закон распределения случайной величины X – числа проб, содержащих микробов. Найти математическое ожидание MX и дисперсию DX.

3.Найти функцию распределения случайной величины, принимающей два значения x1 и x2, (x1< x2) с вероятностями p1 = 0,7 и p2 соответственно, если MX = 0,2, DX = 3,36.

4.Бомбардировщик, пролетевший вдоль моста, длина которого 20м и ширина 6м, сбросил бомбы. Случайные величины X и Y (расстояние от вертикальной и горизонтальной осей симметрии моста до места падения бомбы) независимы и распределены нормально с параметрами aX = 0, σX = 4 и aY = 0, σY = 3 соответственно. Найти: 1) вероятность попадания в мост одной сброшенной бомбы; 2) вероятность разрушения моста, если сброшены две бомбы, причем известно, что для разрушения моста достаточно одного попадания.

5.Длительность T времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение

F (t) =1 −e−0,02 t , t ≥ 0 . Найти: 1) плотность распределения f(t); 2) математическое ожидание MT и дисперсию DT; 3) вероятность того, что за время t=24 ч элемент: а) откажет; б) не откажет.

6. Плотность распределения непрерывной случайной величины задается формулой:

Найти: 1) параметр A; 2) функцию распределения F(x); 3) MX, DX, σ. Построить графики функций f(x), F(x).

7.Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,5. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Полагая, что при отсчете ошибка измерения распределена по равномерному закону, найти: 1) математическое ожидание и дисперсию случайной величины; 2) вероятность того, что ошибка округления: 1) менее 0,01; 2) более 0,02.

8.Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределены по нормальному закону с параметрами a = 5см, σ2 = 0,81см. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали: 1) от 4 до 7 см; 2) отличается от математического ожидания не более чем на 2 см.

89

Вариант – 21

1.Тест состоит из трех вопросов. На каждый вопрос приведено 4 ответа, один из них правильный. Составить закон распределения числа правильных ответов при простом угадывании. Найти: 1) функцию распределения F(x) и построить ее график; 2) математическое ожидание MX и дисперсию DX.

2.Пусть вероятность изготовления нестандартного изделия при некотором технологическом процессе равна 0,06. Из партии берут изделие и сразу проверяют его качество. Если оно оказывается нестандартным, дальнейшее испытание прекращается, а партию задерживают. Если же изделие оказывается стандартным, берут следующее и т.д., но всегда проверяют не более 4 изделий. Найти математическое ожидание MX случайной величины X – числа проверенных изделий в партии.

3.Найти закон распределения случайной величины X, которая может принимать только два значения: x1 с вероятностью p1 = 0,2 и x2, (x1 < x2), если известно, что MX = 3,6, DX = 0,64.

4.Даны законы распределения независимых случайных величин X и Y:

Найти распределение случайной величины 2X −Y . Убедиться, что M (2X −Y ) = 2MX − MY

, D(2X −Y ) = 4DX + DY .

Найти: 1) параметр A; 2) функцию распределения F(x); 3) MX, DX, σ. Построить графики функций f(x), F(x).

6. Известна функция распределения непрерывной случайной величины X:

Найти: 1) неизвестный параметр A; 2) плотность распределения f(x); 3) MX, DX, σ; 4) веро-

7.Среднее время безотказной работы компьютера равно 100 час. Полагая, что время безотказной работы компьютера имеет показательный закон распределения, найти: 1) выражение его плотности вероятности и функции распределения; 2) вероятность того, что в течение 100 час. прибор не выйдет из строя.

8.Деталь, изготовленная на станке, считается годной, если отклонение её контролируемого размера от проектного не превышает 8 мм. Случайные отклонения распределены по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю и средним квадратическим отклонением, равным 4 мм. Какой процент годных деталей изготавливается на станке? Найти квантиль уровня 0,8 и 40%-ную точку этой случайной величины.

90