Gladysheva-tv (1)

Вариант – 2

1. Стрелок ведет стрельбу по цели с вероятностью попадания при каждом выстреле 0,2. За каждое попадание он получает 5 очков, а в случае промаха очков ему не начисляют. Составить закон распределения случайной величины X – числа очков, полученных стрелком за 3 выстрела. Найти: 1) функцию распределения и построить ее график; 2) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

2. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна 0,002. Случайная величина X – число отказавших элементов за время t. Найти: 1) математическое ожидание MX и дисперсию DX; 2) вероятность того, что за время t откажет хотя бы один элемент.

3. Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения: x1 = -2, x2 и x3 соответственно с вероятностями p1 = 0,5, p2 = 0,3 и p3. Найти закон распределения случайной величины X, если известно, что x1 < x2 < x3, MX = - 0,8, DX = 1,56.

4. Найти закон распределения случайной величины X·Y. Случайные величины X и Y независи-

5. Плотность распределения непрерывной случайной величины задается формулой:

Найти: 1) неизвестный параметр A; 2) функцию распределения F(x); 3) P( X < 0,5) . 6. Известна функция распределения непрерывной случайной величины X:

Найти: 1) неизвестный параметр A; 2) плотность распределения f(x); 3) MX, DX, σ;

4)P(0,5 ≤ X < 2,3) ; 5) Построить графики f(x), F(x).

7.Поезда данного маршрута городского трамвая идут с интервалом 7 минут. Пассажир подходит к трамвайной остановке в некоторый момент времени. Какова вероятность появления пассажира не ранее чем через две минуты после ухода предыдущего поезда, но не позднее, чем за три минуты до отхода следующего поезда? Время ожидания распределено по равномерному закону.

8.Размер шарика для подшипника считается стандартным, если шарик не проходит в отверстие диаметром d1, но проходит через отверстие диаметром d1<d2. В противном случае, шарик бракуется. Известно, что диаметр шарика есть нормально распределенная случайная величина с параметрами:

a = d2 2+ d1 и σ = d2 4−d1 .

Определить вероятность того, что шарик будет забракован.

71

Вариант – 3

1.Экзаменатор задает студенту вопросы, пока тот правильно отвечает. Как только число правильных ответов достигнет 3, либо студент ответит неправильно, экзаменатор прекращает задавать вопросы. Вероятность правильного ответа на один вопрос равна 2/3. Составить закон распределения случайной величины X – числа заданных вопросов. Найти: 1) функцию распределения F(x) и построить ее график; 2) математическое ожидание MX и дисперсию

DX.

2.Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит, равна 0,05. Определить закон распределения случайной величины X – числа абонентов, позвонивших в течение минуты. Найти математическое ожидание MX и дисперсию DX.

3.Известны математическое ожидание и дисперсия случайной величины X: MX = - 1, DX = 5. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = 2X+5.

4.Распределение дискретной случайной величины X определяется формулой P(X = k )= 2Ck , (где k=1,2,…). Найти: 1) константу C; 2) вероятность P(X ≤ 3).

5.При каком значении параметра C функция f(x) является плотностью вероятности некоторой случайной величины X ?

Найти выражение функции распределения F(x) и вероятность того, что случайная величина

Х примет значение на отрезке [2;3].

6.Проверить, что функция может быть функцией распределения.

0, если х ≤ 0,

F (x) = 2x − x2 , если 0 < x <1,1, если x ≥1.

Найти: 1) MX, DX, σ ; 2) вероятность P(0,5 < X <1,5); 3) построить графики f(x).

7.Задана интенсивность простейшего потока λ = 5 . Найти: 1) математическое ожидание и дисперсию; 2) среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины T – времени между появлениями двух последовательных событий потока.

8.Цена некой ценной бумаги нормально распределена. В течение последнего года 30% рабочих дней она была ниже 72 ден.ед., а 50% – выше 78 ден.ед.

Найти: 1) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение цены ценной бумаги; 2) вероятность того, что в день покупки цена будет заключена в пределах от 63 до 90 ден.ед.; 3) с надежностью 0,9 определить максимальное отклонение цены ценной бумаги от среднего (прогнозного) значения (по абсолютной величине).

72

Вариант – 4

1.Клиенты банка, которые не связаны друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения случайной величины X – числа возвращенных в срок кредитов из 4 выданных. Найти: 1) функцию распределения F(x) и построить ее график; 2) математическое ожидание MX, дисперсию DX и среднее квадратическое отклонение

σ.

2.В магазине имеется 20 телевизоров, из них 7 имеют дефекты. Необходимо: 1) составить закон распределения числа телевизоров с дефектами среди трех выбранных; 2) найти математическое ожидание MX; 3) определить вероятность того, что среди выбранных телевизоров не менее двух с дефектом.

3.Найти дисперсию дискретной случайной величины X – числа появлений события A в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что MX = 0,9.

4.На двух автоматических станках производятся одинаковые изделия. Даны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из них:

Необходимо: 1) составить закон распределения числа производимых в течение смены бракованных изделий обоими станками; 2) проверить, что M (X +Y )= MX +MY .

5. Случайная величина X имеет плотность распределения

Найти: параметр A и функцию распределения F(x).

6. Функция распределения непрерывной случайной величины задается формулой:

0 при x < −1,

F(x) = A(x +1)2 при −1 ≤ x ≤1,

1 при x >1.

Найти: 1) неизвестный параметр A; 2) MX, DX, σ; 3) P( X < 0,25) ; 4) построить графики f(x)

и F(x).

7.Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения – пять минут. Найти: 1) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее трех минут; 2) среднее время ожидания. Время ожидания распределено по равномерному закону.

8.Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 20 г. Найти вероятность того, что: 1) взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10г; 2) ошибка взвешивания будет не более 25г и не менее 5 граммов.

73

Вариант – 5

1.Имеются 4 ключа, из них только один подходит к замку. Составить закон распределения случайной величины X – числа попыток открыть замок, если ключ не используется повторно. Найти: 1) функцию распределения F(x) и построить ее график; 2) математическое ожидание MX и дисперсию DX.

2.Учреждение обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит, равна 0,01. Случайная величина X – число абонентов, позвонивших в течение минуты. Найти математическое ожидание MX, дисперсию DX, среднее квадратическое отклонение σ.

3.Меткий стрелок Семен стреляет по зайцам, попадая с вероятностью 0,3 и имея 4 патрона. Составить закон распределения случайной величины X – числа израсходованных патронов, если Семену достаточно одного зайца. Найти MX и DX.

4.Случайные величины X и Y независимы и имеют один и тот же закон распределения:

Составить закон распределения случайных величин 2X и X+Y. Убедиться в том, что 2X ≠ X +Y

,но M (2X )= M (X +Y ).

5.Плотность распределения непрерывной случайной величины задается формулой:

Найти неизвестный параметр A и функцию распределения F(x).

6. Известна функция распределения непрерывной случайной величины X:

Найти: 1) неизвестный параметр A; 2) плотность распределения f(x); 3) MX, DX, σ; 4) P(−1 ≤ X < 2,5) . Построить графики f(x) и F(x).

7.На шоссе установлен контрольный пункт для проверки технического состояния автомобилей. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины T – времени ожидания очередной машины контролером, если поток машин простейший, и время (в часах) между прохождениями машин через контрольный пункт распределено по показательному закону f (t) =5 e−5t .

8.Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 10 мм и математическим ожиданием a = 0. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 5мм.

74

Вариант – 6

1.В среднем по 10% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составить закон распределения случайной величины X – числа таких договоров среди четырех наудачу выбранных. Найти: 1) функцию распределения F(x) и построить ее график; 2) математическое ожидание MX, дисперсию DX.

2.Монету бросают, пока не выпадет решка. Определить закон распределения случайной величины X – числа выпадений герба. Найти математическое ожидание и дисперсию.

3.В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи 0,8, второй – 0,7, третьей – 0,6. Определить закон распределения случайной величины X – числа правильно решенных задач в билете и вычислить MX.

4.Два стрелка делают по два выстрела в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,6, а для второго – 0,7. Необходимо: 1) составить закон распределения общего числа попаданий; 2) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

5.Плотность распределения непрерывной случайной величины задается формулой:

Найти: 1) неизвестный параметр A; 2) плотность распределения f(x); 3) MX, DX, σ.

7.Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (3;9). Определить вероятность попадания этой случайной величины в интервал (5;8).

8.Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение её контролируемого размера от проектного не превышает 10мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 5 мм и математическим ожиданием a = 0. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?

75

Вариант – 7

1.В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй – 0,8, третьей – 0,7. Составить закон распределения случайной величины X – числа правильно решенных задач в билете. Найти: 1) функцию распределения F(x) и построить ее график; 2) математическое ожидание MX, дисперсию DX.

2.Вероятность попадания в цель равна 0,7. Случайная величина X – число промахов при 25 выстрелах. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

3.Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1

< x2. Вероятность того, что X примет значение x1, равна 0,7.

Найти закон распределения величины X, если математическое ожидание MX = 0,5 и диспер-

сия DX = 5,25.

4.Случайные величины X и Y независимы и имеют один и тот же закон распределения:

X 2 ≠ X Y . Проверить равенство (MX )2 = M (X Y ).

5.Плотность распределения непрерывной случайной величины задается формулой:

6.Известна функция распределения непрерывной случайной величины X:

Найти: 1) неизвестный параметр A; 2) плотность распределения f(x); 3) MX, DX, σ; 4) построить графики f(x) и F(x).

7.Время безотказной работы ЭВМ распределено по показательному закону с параметром

λ= 0,05 (отказа в час), т.е. имеет функцию распределения

Решение определённой задачи требует безотказной работы машины в течение 15 минут. Если за время решения задачи произойдёт сбой, то ошибка обнаруживается только по окончании решения, и задача решается заново. Найти: 1) вероятность того, что за время решения задачи не произойдёт ни одного сбоя; 2) среднее время, за которое будет решена задача.

8.Масса яблока, средняя величина которого равна 150г, является нормально распределенной случайной величиной со средним квадратическим отклонением 20г. Найти вероятность того, что масса наугад взятого яблока будет заключена в пределах от 130 г. до 180 г.

76

Вариант – 8

1.Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8 и уменьшается с каждым выстрелом на 0,1. Составить закон распределения случайной величины X – числа попаданий в цель, если сделано три выстрела. Найти: 1) функцию распределения F(x) и построить ее график; 2) математическое ожидание MX и дисперсию DX.

2.Из 28 костей домино случайно отбирается одна. Найти закон распределения суммы очков на половинках этой кости. Кость домино имеет форму прямоугольника и разделена на две

части. Каждая из частей помечена одной из цифр: 0,1,2,3,4,5,6. Все 28 пар полученных комбинаций [i, j], 0 ≤ i ≤ j ≤ 6 , составляют набор костей домино. Найти математическое ожидание MX и DX.

3.Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1 < x2. Вероятность того, что X примет значение x1, равна 0,2. Найти закон распределения величины X, зная математическое ожидание MX = 2 и среднее квадратическое отклонение σ = 2.

4.Случайные величины X и Y независимы и одинаково распределены:

Составить закон распределения случайных величин 2 X и X +Y . Убедиться в том, что 2X ≠ X +Y , но M (2X )= M (X +Y ).

5.Случайная величина распределена по закону Лапласа: f (x) = Ae−λ x .

Найти: 1) неизвестный коэффициент A; 2) функцию распределения F(x); 3) MX, DX, σ. Построить графики f(x), F(x).

6.Известна функция распределения непрерывной случайной величины X:

Найти: 1) неизвестный параметр A; 2) плотность распределения f(x); 3) математическое ожидание MX и дисперсию DX; 4) вероятность P(1,5 ≤ X < 3) . Построить графики f(x), F(x).

7.Время X расформирования состава через горку – случайная величина, подчиненная показательному закону с параметром λ = 6 (среднее число поездов, которые горка может расформировать за час). Определить вероятность того, что время расформирования состава более 15 минут, но менее 24 минут.

8.Мастерская изготавливает стержни, длина которых представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с параметрами a = 25 см и σ = 0,1 см. Найти вероятность того, что отклонение длины стержня в ту или другую сторону от математического ожидания не превзойдет 0,25 см.

77

Вариант – 9

1.Охотник, имеющий четыре патрона, стреляет по дичи до первого попадания или до израсходования всех патронов. Вероятность попадания при первом выстреле – 0,6, при каждом последующем – уменьшается на 0,1. Необходимо: 1) составить закон распределения числа патронов, израсходованных охотником; 2) найти математическое ожидание MX, дисперсию

DX.

2.Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 30 билетов, причем, вероятность выигрыша по одному билету равна 0,01.

3.Дискретная случайная величина X имеет только три возможных значения: x1 = -1, x2 и x3, причем x1< x2< x3. Вероятности того, что X примет значения x1 и x2 соответственно равны 0,3 и 0,2. Найти закон распределения и функцию распределения случайной величины X, зная её математическое ожидание MX = 0,9 и дисперсию DX = 1,69. Построить график функции распределения F(x).

4.Случайные величины X и Y независимы и одинаково распределены:

Составить закон распределения случайных величин 2Y и X+Y. Убедиться в том, что 2Y ≠ X +Y ,

но M (2Y ) = M ( X +Y ) .

5. Плотность распределения непрерывной случайной величины задается формулой:

Найти: 1) неизвестный параметр A; 2) функцию распределения F(x). Построить графики функций f(x), F(x).

6. Известна функция распределения непрерывной случайной величины X:

Найти: 1) неизвестный параметр A; 2) плотность распределения f(x); 3) MX, DX, σ; 4) вероятность P(0,5 ≤ X < 2) . Построить графики f(x), F(x).

7.Случайная величина распределена по закону Коши: f (x) = 1+Ax2 .

Найти: 1) коэффициент A; 2) функцию распределения F(x); 3) вероятность P(−1 ≤ X <1) .

8.Станок-автомат изготавливает валики, причем контролируется их диаметр X. Считая, что X

– нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием a = 10 мм и средним квадратическим отклонением σ = 0,1 мм, найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностью 0.9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков?

78

Вариант – 10

1.Найти закон распределения числа трех пакетов акций, по которым владельцем будет получен доход, если вероятность получения дохода по каждому из пакетов равна соответственно 0,5, 0,6, 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины. Определить моду.

2.Автоматическая линия при нормальной настройке может выпускать качественные изделия с вероятностью 0,7. Переналадка линии производится после первого же бракованного изделия. Построить ряд распределения случайной величины X – числа всех изделий, изготовленных между двумя переналадками. Найти математическое ожидание MX и дисперсию

DX.

3.Найти функцию распределения для случайной величины, принимающей два значения: x1 и x2, (x1 < x2) и соответствующие им вероятности p1 и p2, если p1 = 0,5, MX=3, DX=1. Построить график функции распределения F(x).

4.Одна из двух независимых случайных величин X задана законом распределения:

Другая случайная величина Y имеет биномиальный закон распределения с параметрами n = 2, p = 0,4. Составить закон распределения случайной величины X·Y. Убедиться, что

M (X Y )= MX MY .

5. Плотность распределения непрерывной случайной величины задается формулой:

Найти: 1) неизвестный параметр A; 2) функцию распределения F(x); 3) MX, DX, σ. Построить график функции F(x).

6.В экономических исследованиях применяется закон распределения Парето. Величина X распределена по закону Парето с параметрами a > 0, x0 > 0, если функция распределения вероятностей определяется по формуле

При каких значениях a у данного распределения существуют математическое ожидание MX

и дисперсия DX ? Вычислить их.

7.Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [0;1]. Найти: 1) плотность рас-

пределения случайной величины Y = −ln(1− X ) ; 2) математическое ожидание MY и дисперсию DY.

8.Известно, что квантиль уровня 0,15 нормально распределённой случайной величины X равен 12, а квантиль уровня 0,6 равен 16. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

79

Найти: 1) параметр A; 2) плотность распределения f(x).

7.Диаметр круга x измерен приближенно, причем 6 ≤ x ≤ 8 . Рассматривая диаметр как случайную величину X, распределенную равномерно в интервале (6;8), найти математическое ожидание и дисперсию площади круга.

8.Цена некой ценной бумаги нормально распределена. В течение последнего года 20% рабочих дней она была ниже 88 ден.ед., а 75% - выше 90 ден.ед.

Найти: 1) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение цены ценной бумаги; 2) вероятность того, что в день покупки цена будет заключена в пределах от 83 до 96 ден.ед.; 3) с надежностью 0,95 определить максимальное отклонение цены ценной бумаги от среднего (прогнозного) значения (по абсолютной величине).

80