Gladysheva-tv (1)
.pdfВариант – 21
1.В лотерее «Спортлото» случайным образом отбирается 5 видов спорта из возможных 36 и называются выигрышными. Участник лотереи также выбирает 5 видов спорта. Какова вероятность, что он угадает: а) все выигрышные виды спорта; б) 3 из 6; в) не менее трёх?
2.Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,2, второй – 0,3, третий – 0,4. События, состоящие в том, что каждый вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент: а) не услышит вызов; б) услышит только со второго вызова; в) услышит вызов.
3.В первой урне 2 белых и 2 чёрных шаров, во второй – 3 белых и 1 чёрных, в третьей – 4 белых и 2 чёрных шаров. Из наугад выбранной урны наудачу вынимают шар. Какова вероятность, что он белый?
4.Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадает к первому товароведу, равна 0,62, ко второму – 0,38. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,95, вторым – 0,83. Найти вероятность, что стандартное изделие проверено вторым товароведом.
5.Предполагается, что только 40% открывающихся новых малых предприятий продолжают свою деятельность после первого года работы. Какова вероятность, что из 8 малых предприятий прекратят свою деятельность в течение года: а) ровно 3; б) не более 3?
6.Среднее число заказов на такси, поступающих на диспетчерский пункт в одну минуту, равно 3. Найти вероятность того, что за две минуты поступит: а) 4 заказа; б) хотя бы один заказ; в) ни одного заказа (поток заявок простейший).
7.Вероятность того, что курс доллара будет падать в конкретный день, равна 0,85. Найти наивероятнейшее число дней, в которые курс доллара будет падать за период с 4 марта по 6 апреля включительно.
8.Известно, что в среднем 78 % всего числа изготовленных заводом телефонных аппаратов является продукцией высшего сорта. Чему равна вероятность того, что в партии из 250 телефонов окажется: а) 132 аппаратов высшего сорта; б) не менее 117 и не более 152 аппаратов высшего сорта?
41
Вариант – 22
1.Для уборки зерновых в хозяйстве сформировано 10 звеньев, из них случайным образом формируются две бригады по 5 звеньев в каждой. Среди звеньев имеются два сильных звена. Найти вероятности событий: а) оба сильных звена попадут в одну и ту же бригаду; б) сильные звенья попадут в разные бригады.
2.При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью 0,7. Вычислить вероятность того, что двигатель начнет работать: а) с первого включения зажигания; б) при втором включении зажигания; в) потребуется не более двух включений зажигания.
3.В портфеле 5 инвестиционных проектов, из которых 4 относятся к краткосрочным. Вероятность получения прибыли в первый год работы для краткосрочных проектов равна 0,95, а для прочих – 0,85. Найти вероятность того, что прибыль будет получена в первый год работы, если проект выбирается наугад.
4.Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадает к первому товароведу, равна 0,52, ко второму – 0,48. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,88, вторым – 0,96. Найти вероятность, что стандартное изделие проверено вторым товароведом.
5.Предполагается, что 9% открывающихся новых малых предприятий прекращает свою деятельность в течение года. Какова вероятность, что из 5 малых предприятий прекратят свою деятельность в течение года: а) ровно 4; б) не более 2?
6.Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит: а) 3 разбитых бутылки; б) менее трёх разбитых бутылок; в) по крайней мере, 998 целых бутылок.
7.Вероятность того, что курс доллара будет падать в конкретный день, равна 0,58. Найти наивероятнейшее число дней, в которые курс доллара будет падать за период с 7 марта по 4 апреля включительно.
8.Известно, что в среднем 79 % всего числа изготовленных заводом телефонных аппаратов является продукцией высшего сорта. Чему равна вероятность того, что в партии из 250 телефонов окажется: а) 130 аппаратов высшего сорта; б) не менее 115 и не более 150 аппаратов высшего сорта?
42
Вариант – 23
1.На склад поступило 10 одинаковых по форме бочек ГСМ, из них четыре бочки с трансмиссионным маслом. Найти вероятность того, что в трёх наугад открытых бочках окажется: а) трансмиссионное масло; б) только в одной окажется масло; в) хотя бы в одной окажется масло.
2.В работающем комбайне возможны три неисправности: поломка мотовила, копнителя и режущего аппарата. Их вероятности соответственно равны 0,4; 0,2 и 0,8. Найти вероятность того, что произойдёт только одна неисправность; не более двух неисправностей; по крайней мере, одна неисправность.
3.В первой урне 3 белых и 2 чёрных шаров, во второй – 2 белых и 1 чёрных, в третьей – 5 белых и 2 чёрных шаров. Из наугад выбранной урны наудачу вынимают шар. Какова вероятность, что он белый?
4.Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадает к первому товароведу, равна 0,35, ко второму – 0,65. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,91, вторым – 0,83. Найти вероятность, что стандартное изделие проверено вторым товароведом.
5.Предполагается, что 10% открывающихся новых малых предприятий прекращает свою деятельность в течение года. Какова вероятность, что из 7 малых предприятий продолжат свою деятельность после года работы: а) ровно 3; б) не более 2?
6.Найти среднее число λ бракованных изделий в партии, если вероятность того, что в этой партии хотя бы одно бракованное изделие, равна 0,9502. Предполагается, что среднее число бракованных изделий в рассматриваемой партии распределено по закону Пуассона. Какова вероятность, что в партии 2 бракованных изделия?
7.Вероятность того, что курс доллара будет падать в конкретный день, равна 0,65. Найти наивероятнейшее число дней, в которые курс доллара будет падать за период с 4 марта по 5 апреля включительно.
8.Известно, что в среднем 81 % всего числа изготовленных заводом телефонных аппаратов является продукцией высшего сорта. Чему равна вероятность того, что в партии из 300 телефонов окажется: а) 135 аппаратов высшего сорта; б) не менее 120 и не более 155 аппаратов высшего сорта?
43
Вариант – 24
1.Разбирая восьмицилиндровый двигатель с пятью неисправными поршнями, механик демонтировал три поршня. Найти вероятность того, что: а) все они неисправны; б) только два неисправны; в) по крайней мере, два неисправны.
2.Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятность отказа первого элемента 0,05. Вероятность отказа всего устройства 0,126. Для отказа всего устройства достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент Найти вероятность отказа: а) второго элемента, б) только одного элемента.
3.В портфеле 7 инвестиционных проектов, из которых 1 относятся к краткосрочным. Вероятность получения прибыли в первый год работы для краткосрочных проектов равна 0,9, а для прочих – 0,8. Найти вероятность того, что прибыль будет получена в первый год работы, если проект выбирается наугад.
4.Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадает к первому товароведу, равна 0,49, ко второму – 0,51. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,78, вторым – 0,86. Найти вероятность, что стандартное изделие проверено вторым товароведом.
5.Предполагается, что 15% открывающихся новых малых предприятий прекращает свою деятельность в течение года. Какова вероятность, что из 5 малых предприятий прекратят свою деятельность в течение года: а) ровно 3; б) не более 2?
6.Устройство состоит из 900 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна 0,001. Определить вероятность того, что за время t: а) откажет 1 элемент; б) откажут хотя бы 2 элемента; в) будут безотказно работать, по меньшей мере, 898 элементов.
7.Вероятность того, что курс доллара будет падать в конкретный день, равна 0,49. Найти наивероятнейшее число дней, в которые курс доллара будет падать за период с 6 марта по 5 апреля включительно.
8.Известно, что в среднем 80 % всего числа изготовленных заводом телефонных аппаратов является продукцией высшего сорта. Чему равна вероятность того, что в партии из 200 телефонов окажется: а) 115 аппаратов высшего сорта; б) не менее 135 и не более 170 аппаратов высшего сорта?
44
Вариант – 25
1.Брошены 3 игральных кости. Найти вероятность того, что: а) на двух костях появилось одно очко, а на третьей грани– другое число очков; б) хотя бы на одной кости выпало одно очко; в) на всех гранях выпало одинаковое число очков.
2.В мешочке содержится 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекают по одному 3 кубика. Найти вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1, 2, 3, если кубики извлекаются: а) без возвращения; б) с возвращением (извлечённый кубик возвращается в мешочек).
3.В первой урне 4 белых и 2 чёрных шаров, во второй – 4 белых и 1 чёрных, в третьей – 2 белых и 2 чёрных шаров. Из наугад выбранной урны наудачу вынимают шар. Какова вероятность, что он белый?
4.Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадает к первому товароведу, равна 0,41, ко второму – 0,59. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,84, вторым – 0,92. Найти вероятность, что стандартное изделие проверено вторым товароведом.
5.Предполагается, что 14% открывающихся новых малых предприятий прекращает свою деятельность в течение года. Какова вероятность, что из 9 малых предприятий продолжат свою деятельность после года работы: а) ровно 4; б) не более 3?
6.В банк было отправлено 5000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,0001. Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено: а) 2 ошибочно укомплектованных пакета; б) не более двух ошибочно укомплектованных пакетов; в) 4998 пакетов будет укомплектовано правильно.
7.Вероятность того, что курс доллара будет падать в конкретный день, равна 0,35. Найти наивероятнейшее число дней, в которые курс доллара будет падать за период с 5 марта по 4 апреля включительно.
8.Известно, что в среднем 75 % всего числа изготовленных заводом телефонных аппаратов является продукцией высшего сорта. Чему равна вероятность того, что в партии из 250 телефонов окажется: а) 120 аппаратов высшего сорта; б) не менее 105 и не более 140 аппаратов высшего сорта?
45
3 Случайные величины
Пусть Ω – пространство элементарных событий некоторого эксперимента.
Случайной величиной X (сл.в. X далее) называется любая действительная функция
,Ω, определённая на пространстве элементарных событий.
Законом распределения сл.в. X называется всякое соотношение, устанавливающее связь между её возможными значениями и соответствующими им вероятностями.
Функцией распределения вероятностей сл.в. |
называется функция |
, выражающая для |
||||||||||
каждого действительного числа вероятность того, что сл.в. |
|
|
примет значение, меньшее, чем |
|||||||||
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.1) |
Основные свойства функции распределения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
0 |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция распределения есть неубывающая функция на всей числовой оси: |
|||||||||||
|
|
если |
слева, т.е. lim |
( |
|
) = |
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
функция распределения непрерывна |
, то |
x→a−0 F |
|
x |
; |
F |
|
a |
|
; |
|
4. |
lim |
F(x) =1, lim F(x) = 0. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
если |
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.2) |
|
Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что сл.в. примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки x.
3.1 Дискретные случайные величины
Случайная величина, принимающая конечное или счётное множество значений, называется
дискретной.
Функция распределения дискретной случайной величины определяется посредством равен- |
||||||||||||||||||||||
ства F(x) = ∑i |
pi , где суммирование распространяется на все индексы, для которых |
. |
||||||||||||||||||||
Рядом распределения дискретной сл.в. X называется таблица, в которой перечислены её |
||||||||||||||||||||||
возможные |
значения |
|
|
|
|
и соответствующие им вероятности |
. |
|||||||||||||||
|
|
|
, , … , |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Σ, , |
|
… , |
,… |
||
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑pn =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
Пример 3.1. Ряд распределения случайной величины X задан таблицей: |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Записать функцию распределения |
|
|
случайной величины и построить её график. |
|
||||||||||||||||||
Решение. Функция распределения имеет вид:
0 |
при x ≤ x1, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
при x1 < x ≤ x2 , |
|
|
|
|
||||||
p1 |
|
|
|
|
||||||||
F(x) = |
p |
+ p |
|
при x |
|
< x ≤ x |
|
, |
|
|
||
|
2 |
2 |
3 |
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
p |
+ p |
2 |
+ p |
3 |
=1 |
при x > x |
3 |
. |
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
46 |
|
|
|
|
|
|
|
|
График функции распределения
|
|
|
|
|
|
|
|
F ( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 + p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
x3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 3.1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример 3.2. Дискретная случайная величина X задана законом распределения: |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
6 |
8 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
p |
|
0,2 |
0,1 |
|
|
p3 |
0,3 |
|
|
|
||||
3) |
Найти: |
1) неизвестную |
вероятность |
|
и функцию |
распределения |
; 2) |
|||||||||||
|
1,5 |
8 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Сумма вероятностей равна |
единице, поэтому |
неизвестная |
вероятность |
|||||||||||||
P( X = 6) =1 − 0,2 − 0,1 − 0,3 = 0,4 . Функция распределения имеет вид |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
при x ≤1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
при 1 < x ≤3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
+ 0,1 = 0,3 |
при 3 < x ≤ 6, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
F(X ) = 0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0,3 |
+ 0,4 = 0,7 при 6 < x ≤8, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 0,3 =1 |
при x >8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Значение x =π ( 3; 6 ] , поэтому |
|
|
|
Найдём вероятность P(1,5 ≤ X <8) . По свойст- |
|||||||||||||
ву 5 функции распределения искомая |
вероятность равна |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
0,3. |
1,5 |
0,7 |
0,2 |
0,5. |
|
|
||||||||||
|
|
|
1,5 |
8 |
|
|
8 |
|
|
|||||||||
3.2 Числовые характеристики случайной величины
Характеристикой среднего значения сл. в. X служит математическое ожидание.
Математическим ожиданием дискретной сл. в. X называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности.
(3.3)
Если дискретная случайная величина принимает счётное множество возможных значений,
то
∞
M X = ∑xi pi ,
i=1
∞
при условии, что ряд сходится абсолютно, т.е. ∑xn pn < ∞ .
n=1
Cвойства математического ожидания
1.Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:
,.
2.Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
47
, .
3.Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий:
4.Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
Отметим, что случайные величины |
|
называются· |
независимыми, если распределение |
|
одной из них не зависит от того, какое |
значение приняла другая. |
|||
|
и |
|
|
|
5. Математическое ожидание отклонения |
случайной величины от её математического |
|||
ожидания равно нулю: |
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
Упражнение. Докажите свойства 1, 2 и 5.
Другой важной характеристикой случайной величины является её дисперсия.
Дисперсией DX сл. в. X называется математическое ожидание квадрата отклонения данной случайной величины от её математического ожидания:
. |
(3.4) |
Дисперсия служит мерой рассеяния значений случайной величины вокруг её математического ожидания.
Свойства дисперсии
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
0, .
2.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:
3. |
Если |
и – независимые случайные величины, то. |
|
|
|
|
||||
4. |
Дисперсия случайной величины |
равна математическому. |
ожиданию квадрата случай- |
|||||||
|
ной величины минус квадрат её математического ожидания (формула для вычисления |
|||||||||
|
дисперсии): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
(3.5) |
|
определяется как сумма произведений квадратов всех возможных значений случайной |
|||||||||
величины |
на соответствующие вероятности: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
M X 2 = x2 |
p + x2 |
p |
2 |
+... + x2 |
p |
n |
. |
(3.6) |
|
|
1 |
1 2 |
|
n |
|
|
|
||
Корень квадратный из дисперсии называют средним квадратическим отклонением:
σ = DX . |
(3.7) |
Пример 3.3. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной сл. в. , заданной законом распределения:
|
– 4 |
6 |
10 |
p |
0,2 |
0,3 |
0,5 |
Решение. Математическое ожидание равно сумме произведений возможных значений сл. в. X на их вероятности:
4·0,2 6·0,3 10·0,5 6.
48
Дисперсию вычислим по формулам (3.5), (3.6).
|
|
|
|
|
|
M X 2 = (−4)2 0,2 + 62 0,3 +102 0,5 = 64 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Тогда DX = M X 2 − (M X )2 = 64 − 62 = 28 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Найдём среднее квадратическое отклонение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
, |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ = |
|
|
|
DX = |
28 ≈5,3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Пример 3.4. Найти математическое ожидание случайной величины |
|
если извест- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
Решение3,. |
|
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
но, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Используя свойства 2 и 3 математического ожидания, получим: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Пример 3.5. |
2 |
3 |
2 |
|
|
3 |
2 |
|
|
|
3 |
2·3 |
3·5 |
|
4. |
|
|
|
|||||||||||
|
Решение. |
Случайные величины |
|
и |
независимы. Найти дисперсию случайной величи- |
|||||||||||||||||||||||||
ны |
2, |
5 |
2 |
|
|
35. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4·2 |
9 |
|
|
|
35, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Используя свойства 2 и 3 дисперсии, получим: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
3 |
2 |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Пример 3.6. Дискретная сл.в. X9имеет |
только два значения |
|
|
|
причём |
|
|
Найти |
|||||||||||||||||||||
|
27, |
|
|
|
3. |
|
|
|
и |
, |
|
|
|
|
|
. . |
|
|||||||||||||
закон распределения сл.в. X, если известно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Решение. Сумма вероятностей всех |
возможных значений случайной величины равна |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1,4, |
|
|
0,24, |
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|||||||||||||||
единице, поэтому |
распределения X в виде таблицы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Запишем закон |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
0,6 |
|
0,4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что |
1,4, |
|
|
0,24 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
: |
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, составим уравнения для отыскания |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6x |
+ 0,4x |
|
=1,4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
0,6 x 2 |
+ 0,4 x 2 |
− (1,4)2 = 0,24 |
или 0,6 x 2 |
+ 0,4 x 2 |
= 2,2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решив систему уравнений, найдём два решения: |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
По ус- |
|||||||||||||||||
ловию |
|
поэтому нам подходит только первое |
решение. Закон распределения имеет вид |
|||||||||||||||||||||||||||
, |
1, |
|
|
2 |
|
|
|
|
1,8, |
|
0,8. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Х |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3. Функции от случайных величин
Пример 3.7. Даны две независимые случайные величины: X – число появлений герба при двух подбрасываниях монеты и Y – число очков, выпавших при подбрасывании игральной кости. Найти: а) закон распределения разности этих двух случайных величин ; б) математические ожидания и дисперсии случайных величин X, Y, Z и проверить, что
и |
|
|
|
|
|
|
|
При двух подбрасываниях. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение, |
. а) |
|
герб может не появиться ни разу |
|
|
или |
||||||||||||||||||||||||||||||||
появиться один раз |
|
1 |
или, наконец, появиться два раза |
|
|
2 . |
Считая, что |
вероятность |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||||||||||||||||
выпадения герба при одном подбрасывании |
равна |
0,5 (монета |
симметричная), |
получим: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
P(X =0) = |
1 |
|
1 |
= |
1 |
|
, |
P(X =1) = |
1 |
|
1 |
+ |
|
1 |
|
|
1 |
= |
1 |
|
, P( X = 2) = |
1 |
|
|
1 |
= |
1 |
. Тогда закон распределе- |
||||||||||
2 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||
ния величины X имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
1/4 |
|
|
1/2 |
|
1/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
MX = 0 14 +1 12 + 2 14 =1,
DX = M X 2 −(M X )2 =02 14 +12 12 + 22 14 −12 =0,5.
|
Закон распределения величины Y имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Y |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
6 |
||
|
|
q |
|
1/6 |
|
|
|
|
1/6 |
|
|
|
1/6 |
|
|
1/6 |
|
|
1/6 |
|
1/6 |
|||||||
|
|
|
|
MY =1 |
1 |
+ 2 |
1 |
+3 1 |
+ 4 1 |
|
+5 |
1 + 6 |
1 |
=3,5 , |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
6 |
|
6 |
|
6 |
|
|
|
|
6 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
DY =1 |
6 + |
2 |
|
|
6 |
+3 |
|
|
6 + |
4 |
|
6 |
+5 |
|
|
6 |
+ 6 |
|
|
6 |
−3,5 |
|
= 2,917 . |
|||
|
Чтобы получить распределение |
|
|
|
|
, составим таблицу, в каждой клетке которой за- |
||||||||||||||||||||||
пишем значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
независимы: |
|
||||||
ножения независимых событий. Т.к. случайные величины |
|
|
, то по теореме ум- |
|||||||||||||||||||||||||
|
X |
Y |
1 |
1/6 |
2 |
|
|
1/6 |
|
|
3 |
1/6 |
4 |
, |
1/6 |
5 |
|
1/6 |
|
6 |
1/6 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
1/4 |
–1 |
1/24 |
–2 |
1/24 |
|
–3 |
1/24 |
–4 |
|
1/24 |
–5 |
1/24 |
|
–6 |
1/24 |
|||||||||||
|
1 |
0 |
–1 |
|
–2 |
–3 |
|
–4 |
|
–5 |
||||||||||||||||||
|
1/2 |
1/12 |
1/12 |
|
1/12 |
|
1/12 |
1/12 |
|
1/12 |
||||||||||||||||||
|
2 |
1 |
0 |
|
|
–1 |
–2 |
|
–3 |
|
–4 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1/4 |
|
1/24 |
|
|
|
1/24 |
|
|
1/24 |
|
|
1/24 |
|
|
1/24 |
|
|
1/24 |
||||||||
|
В таблице некоторые значения сл.в. встречаются несколько раз с разными вероятностя- |
|||||||||||||||||||||||||||
ми. |
Так, |
4 есть с вероятностями |
|
p04 =1/ 24 , |
p15 =1/12 , |
|
p26 =1/ 24 . Пользуясь теоремой |
|||||||||||||||||||||
сложения вероятностей, объединяем такие значения в одно и записываем распределение случайной величины Z в новую таблицу:
|
Z |
–6 |
–5 |
|
|
–4 |
|
–3 |
|
|
–2 |
|
|
|
–1 |
|
0 |
1 |
|
||||||
|
p |
1/24 |
1/8 |
|
|
1/6 |
|
|
1/6 |
|
|
1/6 |
|
|
1/6 |
|
1/8 |
1/24 |
|
||||||
б) Найдём математическое ожидание разности |
|
|
|
|
случайных величин, используя |
||||||||||||||||||||
последнюю таблицу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (X −Y ) = −6 |
1 |
−5 |
1 |
− 4 |
1 |
−3 |
1 |
− 2 |
1 |
−1 |
|
1 |
+ 0 |
1 |
+1 |
1 |
= −2,5 . |
||||||||
24 |
|
|
6 |
|
6 |
8 |
24 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
8 |
6 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Проверим свойство 3 математического ожидания, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Свойство выполняется: |
2,5 |
1 |
3,5. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Найдём дисперсию: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
=(−6)2 241 + (−5)2 18 + (−4)2 16 + (−3)2 16 + (−2)2 16 + (−1)2 16 + + 02 18 +12 241 − (−2,5)2 =9 23 − 6 14 =3,417 .
Видим, что свойство 3 дисперсии также выполняется: 3,417 2,917 0,5.
50