Задача 65.

Вероятность появления события А в каждом из 625 испытаний равна 0,64. Какова вероятность того, что событие А в этих испытаниях появится ровно 415 раз.

Решение:

Если число испытаний п велико, то применение формулы Бернулли приводит к громоздким вычислениям. Использование этой формулы становится практически невозможным. В таких случаях применяют приближенную формулу, которая выражает суть локальной теоремы Лапласа.

Если вероятность наступления события А в каждом из независимых испытаний постоянна и равна р (р отлично от нуля и единицы), а число п достаточно велико, то вероятность Р_п(т) того, что в этих испытаниях событие А наступит т раз (безразлично, в какой последовательности) вычисляется приближенно по формуле

(2)

Имеются готовые таблицы значений функции (см. табл. 1 Приложения). Для х>5 считают, что

Так как функция φ(х)–четная, то φ(-х)=φ(х). По условию задачи n=625, m=415, р=0,64. Находим q=1–0,64=0,36. Определяем значение x:

По таблице 1 находим, что φ(1,25)=0,1826. Подставив это значение в (2), получим

Задача 37.

Среди семян ржи 0,04 % сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5000 семян обнаружить 5 семян сорняков?

Решение:

Применение асимптотической формулы (2) для случая, когда вероятность р близка к нулю, приводит к значительному отклонению от точного значения Р_п(т). При малых значениях р (и при малых значениях q) применяют асимптотическую формулу Пуассона.

Если вероятность появления события А в каждом из n независимых испытаний мала, а число испытаний п достаточно велико, то вероятность того, что событие А наступит ровно m раз, вычисляется приближенно по формуле

(3)

Формулу (3) применяют в тех случаях, когда

При этом чем больше число п и меньше число р, тем точнее результат по этой формуле. По условию задачи n = 5000, m = 5, р = 0,0004. Тогда λ = 5000·0,0004 = 2. Применяя (3), получим

Задача 38.

Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле равна 0,6. Какова вероятность того, что число попаданий при 600 выстрелах будет заключено в пределах от 330 до 375.

Решение:

Формулы Бернулли, Пуассона, асимптотическая формула (2), выражающая суть локальной теоремы Лапласа, позволяют найти вероятность появления события А ровно m раз при п независимых испытаниях. На практике часто требуется определить вероятность того, что событие А наступит не менее т₁ раз и не более т₂ раз, т. е. число т определено неравенствами В таких случаях применяют интегральную теорему Лапласа.

Если вероятность наступления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р (р отлична от нуля и единицы), а число п достаточно велико, то вероятность того, что событие А в таких испытаниях наступит не менее т₁ раз и не более т₂ раз, вычисляется приближенно по формуле

(4)

Функция Ф(х) являйся монотонно возрастающей. При неограниченном возрастании х функция Ф(х) стремится к 0,5. Если воспользоваться готовыми значениями функции Лапласа, то формулу (4) можно записать так:

(5)

Имеются таблицы значений функции (см.табл. 2 Приложения). Функция Φ(х) называется функцией Лапласа. Эта функция является нечетной, т.е. Ф(–х)=–Ф(х). Поэтому таблица значений дается только для положительных чисел. По условию n = 600, p=0,6, m₁= 330, m₂=375. Находим

По таб. 2 находим Ф( 1,25) = 0,3944; Ф(–2,5) = –Ф(2,5)= = – 0,4938. Подставив эти значения в (5), получим искомую вероятность:

Задача 39.

Задан закон распределения случайной величины X (в первой строке таблицы даны возможные значения величины X, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений).

Вычислить: 1) математическое ожидание; 2); 3) среднее квадратическое отклонение.

Решение:

1) Математическое ожиданиевычислим по формуле:. Тогда имеем:

2) Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой:

.

Сначала вычислим :. Тогда получим:

3) Среднее квадратическое отклонение :. Т.е..

Задача 40.

Имеется 3 базы с независимым снабжением. Вероятность отсутствия на базе нужного товара равна 0,1. Предприниматель решил закупить некий товар. Составить ряд распределения числа баз, на которых в данный момент этот товар отсутствует.

Решение:

Возможными значениями случайной величины X являются числа 0, 1, 2, 3. Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится п независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления событий А постоянна и равна р, а вероятность противоположного события q=1-р, то вероятность Р_п(т) того, что при этом событие А осуществляется ровно m раз, вычисляется по формуле:

_.

_{В нашей задаче n=3; p=0,1; q=1-0,1=0,9; m меняется.}

_{Ряд распределения имеет вид}

Задача 41.

Непрерывная случайная величина X задана функцией плотности распределения

Определить: 1) константу с; 2) математическое ожидание M(X); 3) дисперсию D(X).

Решение:

1) Дифференциальной функцией распределения f(x) непрерывной случайной величины X должна удовлетворять условию

.

Тогда . Отсюда с=3.

Искомая дифференциальная функция имеет следующий вид:

2) Если непрерывная случайная величина X задана функцией f(x), то ее математическое ожидание определяется формулой

.

Т.к. функция f(x) при и приравна нулю, то из последней формулы получаем

.

3) Дисперсию D(X) определим по рабочей формуле

, где .

Тогда и

.

Задача 42.

Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание М(Х)=5; дисперсия D(X)=0,64. Какова вероятность того, что в результате испытания X примет значение в интервале (4,7).

Решение:

Если случайная величина X задана дифференциальной функцией f(x), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (α,β), вычисляется по формуле

Если величина X распределена по нормальному закону, то

(6)

где а=М(Х) и .По условию задачи а = 5, ,α=4 и β=7. Подставив эти данные в (6), получим:

Задача 43.

Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Стандартная длина (математическое ожидание) а = 40 см, среднее квадратическое отклонение σ = 0,4 см. Какова вероятность того, что отклонение длины от стандартной составит по абсолютной величине не более 0,6 см.

Решение:

Если X — длина детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (а–δ, а+δ), где а = 40 и δ = 0,6. Подставив в формулу (6) α=а – δ и β= а + δ, получим

(7)

Таким образом, подставляя в (7) имеющиеся данные, получим

Итак, вероятность того, что изготавливаемые детали по длине будут в пределах от 39,4 до 40,6 см, составляет 0,8864.

Тема 16. Элементы математической статистики

Задача 44.

Методом наименьших квадратов выровнять по прямой зависимость между переменными х и у

Решение:

Запишем уравнение прямой в виде . Для нахождения коэффициентовисоставим систему уравнений приn = 7

Заполним расчетную таблицу:

Система уравнений имеет вид

Решаем систему, получаем = - 0,35,=1,73. Уравнение прямой имеет вид.

Задача 45.

Исходными данными являются результаты обследования выборки, где наблюдалась непрерывная случайная величина. Составить интервальный ряд распределения, разбив диапазон значений случайной величины на 5 равных интервалов, и построить гистограмму распределения плотности относительных частот. Результаты наблюдения: 8, 9, 8, 18, 11, 15, 15, 17, 9, 17, 13, 13, 9, 17, 17, 13, 9, 13, 9, 17.

Решение:

Объем выборки n=20, размах R==18-8=10. Длина каждого интервала

Определим границы интервалов:

, .

Вычислим частоты – количество элементов, попавших в соответствующий интервал. Результаты запишем в виде таблицы:

Вычислим относительные частоты и плотности относительных частот.

Гистограмма относительных частот представляет собой фигуру, составленную из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы , а высоты равны. Поэтому для построения гистограммы нужно на осиOX отметить интервалы 1-й троки таблицы, а на оси OY отложить высоты последней строки и построить прямоугольники.

Замечание. Для удобства при необходимости допускается небольшое увеличение h. Например, пусть =3,1,R=15,1, количество интервалов 8. Тогда h= Положимh=2, то расширение промежутка разбиения составит 8h-R=82-15,1=0,9. При определении границ интервалов сдвинем левую границупервого интервала влево примерно на половину расширения

=3,1-0,4=2,7.

Тогда для остальных границ снова используем .

Ниже построена гистограмма относительных частот для задачи 31.

Рис. 4.

Задача 46.

Исходными данными являются результаты обследования выборки, где наблюдалась непрерывная случайная величина. Составить вариационный ряд и построить многоугольник распределения относительных частот. Результаты наблюдения: 8, 9, 8, 18, 11, 15, 15, 17, 9, 17, 13, 13, 9, 17, 17, 13, 9, 13, 9, 17.

Решение:

Упорядочив элементы выборки по величине, получим вариационный ряд:

8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 11, 13, 13, 13, 13, 15, 15, 17, 17, 17, 17, 17, 18.

Подсчитаем частоты – количество элементовВычислим относительные частоты .

Данные записываем в виде таблицы:

Для построения многоугольника относительных частот строят ломаную с вершинами в точках: .

Задача 47.

По результатам обследования выборки определить: 1) величину, которую следует принять за среднюю генеральной совокупности; 2) величину которую следует принять за дисперсию генеральной совокупности.

Исходные данные представлены в таблице:

Решение:

.

Вычислим выборочную среднюю

.