- •Методические указания
- •Общие методические указания
- •Примеры решения задач
- •Тема 1. Элементы аналитической геометрии на плоскости
- •Тема 2. Элементы линейной алгебры
- •Тема 3. Основы векторной алгебры
- •Вычислить длину вектора , если,,,.
- •Тема 4. Введение в математический анализ
- •Тема 5. Производная и дифференциал Правила дифференцирования:
- •Тема 6. Исследование поведения функции
- •Тема 7. Неопределенный интеграл
- •Тема 8. Определенный интеграл
- •Тема 9. Приложения определенного интеграла
- •Тема 10. Функции нескольких переменных
- •Тема 11. Кратные интегралы.
- •Тема 12. Ряды
- •Тема 13. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Тема 14. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Тема 15. Основы теории вероятностей
- •Тема 16. Элементы математической статистики
- •Контрольные задания для студентов - заочников экономического факультета
- •Контрольная работа №1
- •Тема: «линейная алгебра»
- •Тема: «аналитическая геометрия (прямая на плоскости)»
- •Тема: «элементы векторной алгебры»
- •Тема: «функции 2-х переменных»
- •Контрольная работа №2
- •Тема: «случайные величины»
- •Контрольные задания для студентов - заочников агрономического факультета
- •Контрольная работа 1.
- •Контрольная работа 2.
- •Контрольные задания для студентов - заочников биолого-технологического факультета и факультета ветеринарной медицины
- •Контрольные задания для студентов - заочников инженерного факультета и института природообустройства
- •Приложение
- •Литература
- •Содержание
Тема 2. Элементы линейной алгебры
Для вычисления определителей 3-го порядка можно использовать правило треугольников
=+
Задача 3.
Вычислить определитель
Решение:
Задача 4.
Решить систему линейных уравнений:
а) методом Гаусса; б) с помощью определителей (метод Крамера); в) с помощью обратной матрицы.
Решение:
а) Приведем данную систему к ступенчатому виду. Для этого используем преобразования расширенной матрицы данной системы, т. е. матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Для удобства столбец свободных членов этой матрицы отделим вертикальной чертой. Расширенная матрица данной системы имеет вид
.
Умножим элементы первой строки матрицы на (–5) и результаты прибавим к элементам второй строки, затем умножим элементы первой строки на (–3) и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу
Разделив элементы второй строки на 2, получим
Элементы второй строки умножим на (–7) и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу
.
Восстановим систему по полученной матрице:
Откуда x3 = 3, х2 = 1 и х1 = -2.
б) Составим и вычислим следующие определители системы.
Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных:
При вычислении можно использовать правило треугольников. Аналогично вычисляем , полученный иззаменой первого столбца столбцом свободных коэффициентов:
,
и
.
Тогда решения системы найдём по формулам:
, ,.
в) Введём обозначения: ,и. Тогда систему уравнений можно представить в виде матричного уравнения, которое решим по формуле:. Найдёмпо следующему алгоритму.
1) .
2) вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы по формуле:, где- определитель, полученный изпутём вычёркивания-ой строки и-го столбца.
. Аналогично вычисляем все остальные алгебраические дополнения.
, ,,,,,,.
3) Из найденных дополнений составим матрицу:
, получаем .
4) Обратную матрицу получаем по формуле: , т.е..
5) Выполним проверку, покажем, что , где
- единичная матрица.
.
Теперь найдём решение матричного уравнения
.
Тогда решение системы: .
Задача 5.
Решить методом Гаусса систему уравнений
Решение:
Составим расширенную матрицу системы:
Умножив элементы первой строки последовательно на –2, –4 и –5. Полученные результаты прибавим соответственно к элементам второй, третьей и четвертой строк. Получим матрицу
Элементы второй строки умножим на 6 и результаты прибавим к элементам третьей строки, затем элементы второй строки прибавим к элементам четвертой строки. Получим матрицу
Элементы третьей строки разделим на –2 и затем элементы четвертой строки прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу
Теперь элементы третьей строки умножим на 13 и результаты прибавим к элементам четвертой строки. Получим матрицу
Следовательно, данную систему можно записать так:
Откуда х4 = 0, х3 = 2, х2 = -1 и х1= 3.
Задача 6 .
Вычислить определитель, предварительно обратив в ноль все, кроме одного, элементы какого-нибудь столбца
Решение:
Переставим местами 1-й и 3-й столбцы. При этом определитель поменяет знак. Затем прибавим к элементам 2-й и 3-й строки соответствующие элементы 1-й строки. Определитель при этом не изменится. Получим
Мы обратили в ноль все, кроме одного, элементы 1-го столбца.
Разложим определитель по первому столбцу.
= где - алгебраическое дополнение (см. задачу 4в).
Вычислим , используя правило треугольников:
Значит,