При составлении частного решения удобно использовать следующую таблицу:

Решение:

а) .

Общее решение данного уравнения имеет вид: .

Найдём . Для этого решим соответствующее однородное уравнение. Составляем характеристическое уравнение:. Корнями этого уравнения являютсяи. Т.к. решения действительные различные числа (первый случай), тоили.

Теперь найдём . Правая частьимеет специальный вид, причём=2,=0, значит,=0,=0, тогда и , т.о.=1.

Получаем: , т.к.,=1, =0, то,

. Найдём производные первого и второго порядка от .

, . Запишем,иследующим образом, подписывая слева коэффициенты,ииз исходного уравнения:

Далее приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях :

Тогда . Следовательно, общее решение исходного уравнения: . Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, найдём:.

Подставляем начальные условия в и.

Отсюда

Тогда -частное решение исходного уравнения.

б)

Общее решение данного уравнения имеет вид: .

Найдём . Для этого решим соответствующее однородное уравнение. Составляем характеристическое уравнение:,. Корнями этого уравнения являютсяи. Т.к. решения комплексные числа (третий случай), тоили.

Теперь найдём . Правая частьесть сумма двух функций, имеющих специальный вид:, гдеи. Тогда.

Рассмотрим . Имеем=0,=0, значит,=3,=0, тогда не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, т.о. =0.

Получаем: , т.к.,=1, =0, то.

Рассмотрим . Имеем=0,=0, значит,=0,=2, тогда не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, т.о. =0.

Получаем: , т.к.,=1, то .

Тогда . Найдём производные первого и второго порядка от.

, . Запишем,иследующим образом, подписывая слева коэффициенты,ииз исходного уравнения:

Далее приравниваем коэффициенты при соответствующих подобных слагаемых:

Тогда . Следовательно, общее решение исходного уравнения: . Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, найдём:. Подставляем начальные условияви.

Отсюда

Тогда - частное решение исходного уравнения.

Тема 15. Основы теории вероятностей

Задача 32.

В партии из 10 деталей 7 стандартных. Какова вероятность того, что из 6 взятых наугад деталей 4 стандартные.

Решение:

Используем классическое определение вероятности

где - число благоприятных (благоприятствующих) исходов,- общее число исходов. Тогда- число способов выбрать 6 деталей из 10 (число сочетаний

,

- число способов выбрать 4 стандартные детали из 7 и 2 нестандартные из 3. Получаем .

Основные свойства вероятности.

Вероятность невозможного события равна нулю.

Для любого события А

Условной вероятностью события А при условии В называется вероятность события А, найденная при условии, что событие В уже произошло.

Правило умножения вероятностей.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого.

Для независимых событий правило умножения принимает вид:

Правило сложения вероятностей.

Вероятность суммы двух совместных событий есть сумма их вероятностей минус вероятность их произведения.

Для несовместных событий правило сложения принимает вид:

Формула полной вероятности.

Пусть событие А может произойти только с одним из событий H₁, H₂, …, H_n, образующих полную группу попарно несовместных событий, т.е. и. Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

События H₁, H₂, …, H_n называют гипотезами, а числа - вероятностями гипотез.

Формула Байеса.

Если в результате опыта осуществилось событие А, то прежние доопытные или априорные вероятности гипотез , …,должны быть заменены на новые, послеопытные или апостериорные вероятности, которые вычисляются по формуле Бейеса:

Вероятность P(A) вычисляется по формуле полной вероятности.

Задача 33.

Из ящика, в котором 6 белых и 4 черных шара, наугад 3 раза извлекают шар. Извлеченный шар обратно не возвращают. Какова вероятность того, что все 3 извлеченных шара белые.

Решение:

Пусть событие состоит в том, чтоi-й шар белый, i=1, 2, 3. События зависимы, так как количество шаров после каждого извлечения меняется. Используем правило умножения вероятностей, получим

Задача 34.

Всхожесть семян данного растения составляет 90 %. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут: а) четыре; б) не менее четырех.

Решение:

Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится п независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления событий А постоянна и равна р, а вероятность противоположного события q=1-р, то вероятность Р_п(т) того, что при этом событие А осуществляется ровно m раз, вычисляется по формуле:

, (1)

–есть число сочетаний из п элементов по т.

а) По условию задачи вероятность всхожести семян р=0,9; тогда q= 0,1; в данном случае n=5 и т = 4. Подставляя эти данные в формулу Бернулли (1), получим

.

б) Искомое событие А состоит в том, что из пяти посеянных семян взойдут или четыре, или пять. Таким образом, Первое слагаемое уже найдено. Для вычисления второго снова применяем формулу (1):

.

Следовательно, Р(А) =0,328 +0,591 = 0,919.

Задача 35.

Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Число мужчин и женщин считать одинаковым. 1) Какова вероятность того, что наугад выбранный человек оказался дальтоником? 2) Наугад выбранный человек оказался дальтоником. Какова вероятность, что это мужчина?

Решение:

Пусть событие A={случайно выбранный человек – дальтоник}. Введем гипотезы: H₁={случайно выбранный человек – мужчина}, H₂={случайно выбранный человек – женщина}. ,.

По формуле полной вероятности определим .

По формуле Байеса имеем