2.9.2. Автомодельное решение для пограничного слоя на бесконечной пластине.

Приближение пограничного слоя основано на анализе уравнений вязкой жидкости на основе идеи о том, что проявление вязкости ограничивается лишь некоторой пристенной областью, которая называется пограничным сло-ем. Напомним, что путем анализа порядков членов уравнения вязкой жидко-сти устанавливаются основные свойства ламинарного пограничного слоя:

1. Толщина пограничного слоя в данном сечении убывает с возрастанием числа Рейнольдса как 1 / Re ^0,5 .

2. В первом приближении можно пренебречь изменением давления попе-рек слоя по сравнению с соответствующим изменением вдоль слоя. При этом уравнение для поперечной составляющей скорости полностью выпадает.

Использование метода подобия рассмотрим на примере системы уравнений плоского пограничного слоя в отсутствие перепада давления

(68)

(69)

с граничными условиями

U_x = U_y = 0 при у = 0 и x>0

U_x  0 при у  

Далее вводим функцию тока  в соответствии с определением

U_x = _x , U_y = - _x .

При этом уравнение неразрывности (69) удовлетворяется тождественно, а уравнение (68) принимает вид

_у _xy - _x _yy = _yyy . (70)

Здесь использовано обозначение для производной , где ее порядокm = n+ k, в нижнем индексе х повторяется n раз, а у – k раз.

Автомодельные решения могут быть получены, если условия задачи не содержат заданного масштаба длины. В постановке задачи, которая принад-лежит Блязиусу, в качестве решения для пластины конечной длины исполь-зуется соответствующий отрезок решения для бесконечной пластины.

Строго говоря, такой подход пригоден лишь для L   . Как известно, относительная толщина пограничного слоя определяется выражением

 / x ~ (U x /) ^{- 0,5} .

Масштабом для у является толщина пограничного слоя . Таким образом, безразмерная координата z может быть выбрана как

, (71)

а  , учитывая ее размерность, ищется в форме

(72)

Опуская выкладки, аналогичные выполненным выше для уравнения теплопроводности, но несколько более громоздкие, получим уравнение для функции  (z)

 +   = 0 . (73)

с граничными условиями

z = 0  = 0,  = 0 ; z     2

Численное решение этой задачи дает классическую формулу для коэффи-циента трения продольно обтекаемой пластины

C_F = 1,328 / Re ^0,5 . (74)