1.9. Подобные (автомодельные) решения уравнений теплогидродинамики

Автомодельные решения могут быть получены в том случае, когда задача не содержит фиксированного линейного масштаба. Мы рассмотрим два случая получения таких решений. Первый из них связан с решением нестационарного уравнения теплопроводности, а второй – с решением уравнений пограничного слоя.

1.9.1. Использование метода подобия для решения нестационарного уравнения теплопроводности

Для решения ряда задач теплопроводности оказывается возможным

использовать так называемый метод подобия. Суть его состоит в следую-

щем. Как легко установить, уравнение теплопроводности остается неизменным при преобразовании переменных

, (59)

x = kx

 = k²

то есть, если масштабы длины меняются в k раз, то масштаб времени следует

изменить в k ² раз. Если начальные и граничные условия при указанном

преобразовании остаются без изменений, то для функции t (x,), которая является решением уравнения теплопроводности, должно иметь место равенство

T (x, ) =T (kx, k²) (60)

при любых значениях x,  и k.

Положим k = 1/2^0,5. Тогда получим

Таким образом, температура оказывается зависящей от одного аргумента

(61)

Использование такого преобразования эффективно, если задача не содержит внутренних масштабов, что могло бы изменить граничные и начальные условия при выполнении преобразований (61). Переменная z носит название автомодельной.

Проиллюстрируем использование указанного метода на примере следу-ющей практически интересной задачи. Пусть мы имеем изотермическое тело с плоской поверхностью, которая в начальный момент времени приводится в контакт с идеально теплоотдающей средой. Температуру тела в начальный момент будем считать равной нулю, а температуру среды – T₀. Если нас интересует лишь начальный период процесса, то мы можем рассматривать тело как полубесконечный массив, то есть условие отсутствия фиксированного масштаба длины выполняется. Тогда задача будет выглядеть следующим образом. Необходимо решить уравнение

(62)