1.8.Турбулентность и аналогия Рейнольдса

Как известно, практическое описание турбулентного течения базируется на тех же самых общих уравнениях сплошной среды, что и для ламинарного течения. Однако, при этом приходится исходить из полноразмерных нестационарных уравнений даже при рассмотрении стационарных в осредненном смысле течений простейших типов.

Количество возможных независимых критериев не может возрасти, поскольку течение определяется тем же набором независимых параметров, но возможность отбрасывания части параметров для простейших с точки зрения геометрии и временнóго характера задачи уже становится проблема-тичной. Поэтому после открытия турбулентных течений и установления их широкой распространенности специалисты пошли по пути увязывания ос-редненных характеристик турбулентности с полем осредненных параметров (разумеется при осреднении на масштабе времени, существенно превышаю-щем периоды турбулентных пульсаций). На этой базе были построены прак-тические методы расчета турбулентных течений, из которых наиболее успешной оказалась гипотеза пути смешения Прандтля.

Однако, перед тем как перейти к рассмотрению моделей, оперирующих лишь с осредненными параметрами, посмотрим, что может дать теория размерности для определения пульсационных характеристик течения.

Значения пульсаций скоростей и других, связанных с ними харак-теристик турбулентного течения могут описываться с помощью аппарата теории случайных функций с использованием корреляционных моментов и спектральных плотностей. Однако этот аппарат во-первых, является весьма сложным, а во вторых, для его практического использования все равно требуются значения большого количества эмпирически получаемых параметров. В каких же случаях, помимо чисто научных проблем, возникает потребность в определении этих величин?

Мы будем рассматривать случай так называемой развитой турбулент-ности, которому соответствуют числа Рейнольдса многократно превыша-ющие его критическое значение. Турбулентные пульсации характеризуются не только самим значением скорости, но и пространственным размером той зоны, в которой имеет место ее изменение. Этот размер, который мы будем обозначать буквой l носит название масштаба движения. Логично предположить, что масштаб этот растет с ростом самой величины пульсации скорости, и что максимальная величина пульсации скорости имеет порядок изменения осредненной скорости на длине l. Обозначим эту величину через U. Чтобы пояснить данное соображение, заметим, что если мы выберем в качестве масштаба диаметр трубы d, то U=U. Разумеется такая оценка для пульсаций будет несколько завышенной, но, тем не менее, число Рейнольдса

U l/ будет иметь порядок числа Рейнольдса для потока в целом. С уменьшением масштаба мы приходим к пульсациям скорости с меньшей амплитудой. Рассмотренные пульсации называются крупномасштабными. В них содержится большая часть кинетической энергии турбулентности, а влияние вязкости в них весьма мало. То есть в таких движениях практически не происходит диссипации кинетической энергии в теплоту.

Наряду с крупномасштабными пульсациями в спектре турбулентности представлены и пульсации существенно меньшего масштаба  с соответст-вующими пульсационными скоростями v_ . Эти пульсации содержат лишь весьма малую часть пульсационной кинетической энергии. Но роль их, тем не менее, очень важна. Чтобы пояснить эту роль, рассмотрим число Рейно-льдса, соответствующее такой пульсации Re_= v_/. Пусть  постепенно снижается и вместе с ним снижается и Re_. В конце концов при  = ₀ его величина приближается к единице. Отсюда следует, что в области порядка ₀ вязкие силы начинают оказывать существенное влияние на движение, которое теперь сопровождается диссипацией энергии. Таким образом, необ-ратимые потери энергии при турбулентном движении происходят по следую-щей схеме. Имеет место непрерывный переход знергии от крупномасштаб-ных движений к мелкомасштабными до тех пор пока она не достигает пуль-саций с масштабом ~ ₀ , после чего диссипируется в теплоту. То есть мелко-масштабные движения по удачному выражению В.Г.Левича служат тем «мостиком», при помощи которого кинетическая энергия крупномасштабных движений может переходить в тепловую. В стационарных условиях рассмат-риваемый поток энергии также оказывается стационарным.

Рассмотрим теперь мелкомасштабное движение, которое является промежуточным между крупно масштабным и диссипационным. Масштабы для него определяются неравенством

l >>  >> ₀ (44)

В этих условиях можно найти характеристики турбулентного движения из соображений размерности. Очевидно, что величина v_ может зависеть лишь от ,  и константы , характеризующей диссипацию энергии в единицу времени. В силу неравенства (44) она не может зависеть ни от вязкости, ни от U и l.

Из упомянутых величин можно составить лишь одну безразмерную комбинацию

v_³/ = C

Отсюда

v_ = (/)^1/3 (45)

Если построить теперь число Re_

Re_ = v_/

и положить  =₀ и Re_ =1, то получим

₀ ~ (³/)^1/4 (46)

Эти формулы были получены Обуховым. Заметим, что ₀ носит название внутреннего масштаба турбулентности. То есть в него не входят никакие конкретные задаваемые характеристики процесса(скорость и размер).

Но существует ли практическая необходимость оценки пульсационых скоростей и соответствующих масштабов? На этот вопрос можно ответить положительно.

Теплогидродинамические процессы могут протекать в самых разных условиях, когда масштабы могут быть сопоставимы или несопоставимы с внутренним. Воздействие турбулентного потока на рассматриваемый объект может проявляться как осредненное во времени, а может проявляться и как нестационарное.

Чтобы проиллюстрировать смысл этого утверждения рассмотрим два различных предмета, взвешенные в емкости с жидкостью: шарик диаметром 1 мм и броуновскую частицу диаметром порядка 1мкм. Молекулы жидкости находятся в состоянии хаотического теплового дви-жения и оказывают постоянное воздействие на предметы.

Для первого шарика (диаметр на 4 порядка превышает размер молекулы воды), множество одновременных ударов со всех сторон взаимно уравновешиваются и он их практически не «чувствует». Если же пылинка сравнительно невелика, она под действием ударов окружающих молекул будет совершать движения в различных направлениях, постепенно перемещаясь по некоторой траектории.

Аналогичная ситуация имеет место и для взаимодействия турбулентного движения с объектами различного масштаба. Например, трубка, в которой течет турбулентный поток с постоянным средним расходом не будет «чув-ствовать» флуктуаций перепада давления, Но для малой частицы, находя-щейся в турбулентном потоке всегда найдется набор турбулентных пульса-ций с масштабами, превышающими размер частицы, которая будет испыты-вать воздействия, приводящие к ее увлечению.

Также объемные силы при определенных условиях усиливают возникающие случайным образом отклонения параметров сплошной среды от равновесного состояния.

Наиболее мощные проявления второго механизма наблюдаются в атмосфере в результате взаимодействия гравитационного поля с термическими возмущениями различного происхождения.

Если рассматривать атмосферные турбулентные потоки, то крупномас-штабные пульсации скорости в состоянии оказывать существенные нестационарные воздействия на элементы строительных конструкций, на летательные аппараты. и.т.д.

Теперь вернемся к модели Прандтля. Напомним, что она базируется на аналогии с молекулярной физикой, где путь смешения играет роль длины свободного пробега, а элементарный объем жидкости (прандтлевский моль) – роль молекулы газа. Что касается пульсационной скорости, то она определяется как произведение пути смешения на поперечный градиент скорости. Аналогично определяются через путь смешения и градиенты соответствующих величин пульсации температуры и концентрации.

В этом случае мы имеем для потоков импульса, тепла и пассивной примеси C следующие выражения:

s = dU/dy +[l_² (dU/dy)](dU/dy)

q = -dT/dy - [c_Pl_Tl_ (dU/dy)](dT/dy) (47)

J_C = -DdC/dy – [l_Cl_ (dU/dy)](dC/dy)

Величины в квадратных скобках можно назвать турбулентными коэффици-ентами переноса

_Т = l_² (dU/dy) ; _Т = c_Pl_Tl_ (dU/dy), D_T = l_Cl_ (dU/dy) . (48)

Если теперь ввести формально по аналогии с обычными числами Прандтля и Шмидта их турбулентные аналоги – Pr_T и Sc_T , то получим

Pr_T = l_/l_T , Sc_T = l_/l_C

Если принять l_ = l_C = l_T , то Sc_T = Pr_T = 1. Если еще и принять, что Sc = Pr = 1, то мы приходим к выводу о подобии процессов всех трех видов переноса. То есть соответственным образом построенные выражения для сопротивления, теплоотдачи и массоотдачи должны быть идентичными. Это утверждение является определением так называемой аналогии Рейнольдса или тройной аналогии для турбулентных течений. Аналитически ее можно записать в виде

/8 = с_f /2 = St = St_D .

Надо заметить, что наличие указанной аналогии для турбулентного течения ни коим образом не связана с использованием модели Прандтля, которая лишь дает возможность более просто и наглядно ее показать.

Получим теперь с помощью модели Прандтля распределение скоростей вблизи стенки при турбулентном течении потока с постоянной скоростью.

При движении с постоянной скоростью около твердой стенки касатель-ное напряжение постоянно и равно напряжению на стенке для любого зна-чения координаты у. Действительно, если бы касательное напряжение меня-лось, то на выделенный слой жидкости действовала бы нескомпенсированная сила в направлении оси х. То есть мы можем записать уравнение

 _ст =  du/dy +  ,

где  - турбулентная составляющая касательного напряжения, а u – скорость.

Очевидно, что в непосредственной окрестности твердой стенки пульсации скорости равны нулю и, таким образом  = 0 и остается лишь вязкостная составляющая напряжения трения. Отсюда имеем распределение скорости

u = (_ст /) y/ . (49)

На достаточном расстоянии от стенки вязкостной составляющей касатель-ного напряжения можно пренебречь. Воспользуемся приведенной выше моделью Прандтля и запишем

 = l² (du/dy)² = _ст . (50)

Учитывая отсутствие каких-либо линейных масштабов кроме расстояния от стенки, можно, следуя Прандтлю, принять l = y , где -некоторая эмпири-ческая константа, которая приблизительно равна 0,4. В этих условиях урав-нение (50) легко интегрируется и мы приходим к логарифмическому распределению скоростей

u = 2,5lny + C (51)

где С – подлежащая определению константа.

Отметим, однако, что логарифмическое распределение скоростей можно получить и из соображений подобия без использования модели Прандтля. Приведенный здесь вывод принадлежит Карману.

Сформулируем принцип подобия для турбулентного распределения скоростей, который состоит в равенстве

= idem при =idem

Разлагая числитель и знаменатель в левой части в ряд Тейлора и оставляя два первых члена, получим

=

= . (52)

Для выполнения этих условий необходимо, чтобы удовлетворялось условие

u_i(y_i) l_i / u_i(y_i) = c (53)

Очевидно, что при этом удовлетворяется приведенное выше условие подобия, то есть при одинаковых будут равны также .

Отбрасывая ненужный теперь индекс i, из равенства (32) получим

l = - u(y)/u(y) . (54)

Знак минус поставлен, чтобы удовлетворялось условие l > 0 .

Имея в виду, что

 ~ (u(y_i + l_i) – u_i(y_i))² = l²u²(y_i) , (55)

подставляя (47) в (48), получим уравнение

 = ²u⁴/u² . (56)

Интегрируя (56), получим выражение для профиля скорости, идентичное (51). Теперь вернемся к вопросу определения константы интегрирования С в уравнении (51). Введем понятие о ламинарном подслое, представляющем собой тонкий слой, в который не проникает турбулентность. Соответственно, для него справедливо уравнение (53). Движение в ламинарном подслое характеризуется тремя величинами: _ст , , . Из них можно составить две комбинации: имеющую размерность скорости v_ = (_ст/)^0,5 (динамическая скорость) и имеющую размерность длины l_ = /v_. Таким образом, толщина ламинарного подслоя может быть записана в виде

_{л =} k l_ ,

где k константа, а выражение (49) можно записать в безразмерном виде

u/ v_ = у/ l_{ ,} (57)

а выражение (35) – в виде

u /v_= 2,5 lny + C . (58)

Если ограничиться так называемой двухслойной схемой, то константу k можно определить, приравнивая правые части уравнений (50), (51), то получим

С 5,75, k  11,5.