Запишем теперь уравнения для теплового пограничного слоя

(41)

и диффузионного пограничного слоя

. (42)

Как видим, в отсутствие градиента давления, различие уравнений (40), (41) и (42) определяется лишь отличием друг от друга  (кинематической вязкости), а (температуропроводности) и D (коэффициента диффузии). Отношения этих величин носят названия числа Прандтля (/a = Pr) и диффузионного числа Прандтля или числа Шмидта (/D = Pr_D Sc).

Результатами решения уравнений пограничного слоя являются распределения скорости, температуры и концентрации в зависимости от координат х, у. Отсюда мы можем определить потоки импульса (касательное напряжение), теплоты и диффундирующего вещества через границу:

s = dU/dy, q = - dT/dy, j = -DdC/dy

Но существует некоторое отличие, связанное с образованием безразмерных переменных между уравнениями (40) и (41),(42). Если мас-штабом для скорости является просто заданная скорость внешнего потока (что связано с наличием условия прилипания), то масштабы температуры и концентрации могут быть определены лишь через разность соответствующих величин на стенке и вдали от стенки. Продемонстрируем вывод соотно-шений подобия для гидродинамической и тепловой задач.

Итак, положим, что Pr = 1, Тогда Re = Pe. Решения уравнений (36)-(38) тождественны. Обозначим через П значение производной  U*/y* при у*=0. Тогда для касательного напряжения и теплового потока на стенке имеем

s_ст = П U/l ; q_ст = ПT/l

и

П = s_стl /U = s_ст Ul / /U ² = s_ст Re/ U ² = q_ст l / T = l /= Nu.

Обозначая s_ст / U ² через с_f / 2 , где с_f – коэффициент трения, получим известное соотношение подобия

Nu/Pe = с_f /2 . (43)

Аналогичное соотношение справедливо и для диффузионного числа Нуссе-льта (Nu_D), которое чаще называют числом Шервуда (Sh).

Таким образом, для окрестности твердой стенки, где в основном и про-исходят процессы взаимодействия твердой фазы с потоком газовой или жид-кой фазы, имеет место так называемая тройная аналогия между передачей импульса, тепла и массы, если только соблюдаются условия Pr = 1, Sc = 1. Практически можно говорить о том, эти числа должны не слишком сильно отличаться от единиц, что выполняется для газообразных сред. Поскольку отклонения от условия  p/ x = 0 проявляются лишь для поверхностей весьма большой кривизны, то для газов тройная аналогия в большинсте случаев оказывается достаточно близкой к реальности.

Иначе обстоит дело для жидкостей. Для них величины чисел Pr и Sc могут существенно отличаться от единицы. Например, для жидких металлов число Прандтля может быть существенно меньше 0,01, а для высоковязких жидкостей (масла, глицерин) достигать тысячи и более. Еще более высокими могут быть числа Sc. В таких случаях приходится даже менять подход к построению зависимостей для теплоотдачи. Об этом мы поговорим после обсуждения вопроса о турбулентности и аналогии Рейнольдса.

Коснемся теперь формы решений уравнений пограничного слоя в

критериальном виде. Эти решения обычно представляются как

c_f = A Re ^{- k} ; Nu = C Re ^m Pr ⁿ ; Nu_D = C Re ^m Scⁿ

Для представления аналогии удобнее пользоваться так называемым числом Стентона. При этом из выражения выпадает ряд величин и в соотношении непосредственно фигурируют необходимые для расчетов величины тепло- и массоотдачи

St = Nu / (Re Pr) = Nu / Pe = / (c_PU) .

Аналогично можно ввести число Стентона для диффузионной задачи. В этом случае легко показать, что при Pr = Pr_D = 1

St = St_D = c_f / 2 .