11. Линейные пространства функций (примеры). Скалярное произведение и норма. Операторы над линейными пространствами функций. Функционалы. Собственные числа и функции оператора в пространстве l2.

Линейные пространства функций (примеры). Линейное пространство функций, также известное как векторное пространство функций, – это набор функций, удовлетворяющих определенным свойствам линейности.

Формальное определение. Пусть дано поле (реальных или комплексных чисел) и некоторое множество . Тогда пространством линейных функций по полю на множестве называется множество всех функций , определенных на заданной области , которое удовлетворяет следующим свойствам:

1) Замкнутость при сложении. Для любых двух функций и в , их сумма также находится в .

2) Замкнутость при скалярном умножении. Для любой функции в и любого скаляра произведение также находится в .

Примеры пространств линейных функций:

1) Пространство полиномов. Множество всех многочленов с коэффициентами из данного поля образует пространство линейных функций. Например, пространство всех многочленов степени не выше n, обозначаемое как , является пространством линейных функций.

2) Тригонометрическое пространство. Множество всех периодических функций, которые могут быть выражены в виде конечной суммы функций синуса и косинуса, образует пространство линейных функций. Это пространство часто обозначается как , представляя собой квадратично-непрерывные функции на интервале .

3) Пространство функций. Множество всех непрерывных, дифференцируемых и интегрируемых функций, определенных на замкнутом интервале , образует пространство линейных функций. Это пространство обозначается как .

Свойства пространств линейных функций:

1) Нулевая функция. Каждое пространство линейных функций содержит нулевую функцию, которая отображает каждую точку области в нуль.

2) Аддитивность. Для любой функции в пространстве линейных функций существует другая функция так, что .

3) Замкнутость по линейным комбинациям. Линейное пространство функций замкнуто по линейным комбинациям, что означает, что любая конечная сумма функций в пространстве, умноженных на скаляры, также находится в этом пространстве.

4) Линейная независимость. Набор функций в линейном пространстве функций линейно независим, если ни одна функция из этого набора не может быть выражена в виде линейной комбинации остальных.

5) Базис и размерность. Базис для пространства линейных функций – это набор линейно независимых функций, которые охватывают все пространство. Размерность пространства – это количество функций в его базисе.

Операции над пространствами линейных функций:

1) Сложение. Две функции и в пространстве линейных функций могут быть добавлены путем точечного сложения их значений так, что .

2) Умножение на скаляр. Функция в линейном пространстве функций может быть умножена на скаляр путем умножения ее значений в каждой точке на , так что .

Скалярное произведение и норма. В контексте пространств линейных функций точечное произведение, также известное как скалярное умножение, и норма – важные понятия, которые помогают измерить связь между функциями и обеспечивают дополнительную структуру пространства.

Скалярное произведение, обозначаемое как , – это бинарная операция, определенная на пространстве линейных функций, которая объединяет две функции и дает скалярное значение. Она определяется как интеграл произведения двух функций по области : .

Скалярное произведение удовлетворяет следующим свойствам:

1) Линейность. Для любых функций , и в пространстве линейных функций и любых скаляров и верно следующее: .

2) Симметрия. Точечное произведение симметрично: .

3) Положительная определенность. Если – ненулевая функция, то .

Норма функции в пространстве линейных функций – это мера ее длины или величины. Она обозначается и определяется как квадратный корень из скалярного произведения функции на саму себя: .

Норма удовлетворяет следующим свойствам:

1) Неотрицательность. Норма функции всегда неотрицательна: .

2) Нулевая норма. Норма нулевой функции равна нулю: .

3) Однородность. Для любого скаляра справедливо следующее выражение: .

4) Неравенство треугольника. Для любых функций и справедливо следующее выражение: .

Скалярное произведение и норма дают возможность измерить сходство или несходство между функциями в линейном пространстве функций. Они также позволяют определить такие понятия, как ортогональность и расстояние.

Операторы над линейными пространствами функций. Оператор это функция, которая отображает элементы из одного линейного пространства функций в другое.

Формальное определение. Пусть и – линейные пространства функций по полю , определенные на множествах и соответственно. Тогда оператором является функция, которая сопоставляет каждой функции в единственную функцию в .

Операторы могут быть разбиты на категории относительно своих свойств и поведения: линейные операторы, операторы с ограниченной нормой, дифференциальные и интегральные операторы.

Свойства операторов:

1) Линейность. Линейные операторы сохраняют линейность, то есть они удовлетворяют для любых функций , в линейном пространстве и любых скаляров , .

2) Композиция. Операторы могут быть составлены, то есть композиция двух операторов T и S представляет собой новый оператор, определяемый как .

3) Инвертируемость. Некоторые операторы имеют обратные операторы, то есть существует оператор такой, что , где оператор тождества. Инвертируемые операторы играют важную роль при решении уравнений с участием операторов.

4) Спектр. Спектр оператора это множество всех комплексных чисел , для которых оператор не является инвертируемым. Спектр дает важную информацию о поведении и свойствах оператора.

Операторы используются в обработке сигналов для анализа. Примеры включают оператор дифференцирования, преобразования Фурье, вейвлет-преобразования.

Функционалы. Функционал это отображение из линейного пространства функций в его базовое поле. Можно также услышать следующую формулировку: функционалы это линейные преобразования, которые возвращают скаляр, используя функцию в качестве входного параметра, например, интегрирование.

Свойства функционалов:

1) Линейность. Функционалы сохраняют линейность, а значит удовлетворяют таким свойствам, как аддитивность: и однородность: .

2) Непрерывность. Функционалы также могут обладать свойствами непрерывности. Считается, что функционал F является непрерывным, если для любой последовательности функций , сходящихся к функции , последовательность функционалов сходится к . Это свойство гарантирует, что небольшие изменения во входной функции приводят к небольшим изменениям в выходном скаляре.

3) Норма. Функционалы могут быть использованы для определения норм на пространстве функций. Норма это математическое понятие, которое измеряет длину или размер вектора или, в данном случае, функции. Функционалы могут определять нормы, присваивая неотрицательное скалярное значение каждой функции в пространстве, удовлетворяющее таким свойствам, как позитивность, однородность и неравенство треугольника.

4) Двойственное пространство. Функционалы в линейных пространствах функций порождают понятие двойственного пространства. Двойственное пространство пространства функций состоит из всех возможных функционалов на этом пространстве. Оно само образует векторное пространство, в котором сложение и скалярное умножение определены точечно.

5) Внутреннее произведение. В некоторых случаях функционалы могут быть определены как внутренние произведения функций. Внутреннее произведение это обобщение точечного произведения для векторов, и оно измеряет сходство или ортогональность между двумя функциями. Внутренние произведения могут обеспечить дополнительную структуру и свойства пространства функций.

Собственные числа и функции оператора в пространстве L₂. В Евклидовом пространстве мы можем изучать собственные значения и собственные функции операторов. Собственное значение оператора это скаляр, такой, что существует ненулевая функция в пространстве , удовлетворяющая . Соответствующая функция называется собственной функцией.