8. Численные методы оптимизации: методы Ньютона и секущей, методы покоординатного и градиентного спуска. Улучшение сходимости градиентных методов.

Численные методы оптимизации: методы Ньютона и секущей, методы покоординатного и градиентного спуска.

Метод Ньютона – это итерационный алгоритм оптимизации, который использует вторую производную функции для нахождения минимума или максимума. Он начинает с начального предположения о решении , а затем использует производную и вторую производную функции для обновления предположения , пока не сходится к оптимальному решению.

Метод Ньютона сходится быстро, но может потребовать значительных вычислительных ресурсов для вычисления второй производной.

Углубимся в математику процесса. Пусть – исследуемая функция ошибки. Тогда для поиска минимума будем двигаться в направлении наклона аппроксимирующей ее функции, в качестве которой выступит уравнение касательной в случайной точке:

: .

Для этого зададим базовое правило обновления весов исследуемой функции ошибки как: или .

Метод Ньютона предлагает усложнить аппроксимирующую функцию до полинома Тейлора 2 порядка: .

Исходя из условия минимума , установим, что он достигается в точке: , где .

Тогда правило обновления весов функции ошибок сведется к следующему уравнению: .

Чтобы иметь возможность контролировать скорость обучения, введем параметр шага обучения: .

Метод секущей – это аналогичный итерационный алгоритм оптимизации, который использует только первую производную функции для нахождения минимума или максимума. Он начинает с двух начальных предположений о решении, а затем использует наклон касательной линии между этими двумя точками для обновления предположений, пока не сходится к оптимальному решению.

Метод секущей менее вычислительно затратен, чем метод Ньютона, но может сходиться медленнее.

Градиентный спуск – это итерационный алгоритм оптимизации, который направлен на поиск минимума функции путем следования отрицательному градиенту функции.

Другими словами, он движется в направлении крутого спуска, пока не достигнет локального минимума. Алгоритм начинает с начального предположения и затем обновляет параметры на каждой итерации, пока не сходится к минимуму. Математически и идейно очень близок к методу Ньютона, также может быть представлен в двух вариантах: для случая оптимизации одного единственного параметра или нескольких одновременно.

Методы координатной оптимизации, с другой стороны, представляют собой алгоритмы оптимизации, которые оптимизируют один параметр за один раз, сохраняя остальные параметры фиксированными. Эти методы особенно полезны, когда объективная функция может быть разложена на несколько независимых подпроблем.

Методы координатной оптимизации могут быть циклическими или рандомизированными. В циклических методах параметры обновляются в фиксированном порядке, в то время как в рандомизированных методах параметры обновляются в случайном порядке.

Градиентный спуск обычно быстрее, чем методы координатной оптимизации, но он может застрять в локальных минимумах. Методы оптимизации координат, с другой стороны, медленнее, но более надежны, вычислительно эффективны и могут решать невыпуклые задачи.

Улучшение сходимости градиентных методов. Чтобы улучшить сходимость градиентных методов, можно использовать несколько приемов:

1. График скорости обучения. Скорость обучения определяет размер шага обновления параметров. Фиксированная скорость обучения может привести к тому, что алгоритм будет сходиться медленно или проскочит минимум. График скорости обучения, уменьшающийся со временем, может помочь алгоритму сходиться быстрее и точнее.

2. Момент. Момент – это техника, которая помогает алгоритму преодолеть локальные минимумы и ускорить сходимость. Он добавляет долю предыдущего обновления к текущему обновлению, что помогает алгоритму двигаться в направлении глобального минимума.

3. Адаптивная скорость обучения. Адаптивные скорости обучения регулируют скорость обучения в зависимости от величины градиента. Это помогает алгоритму быстрее сходиться на участках с крутыми градиентами и избегать проскакивания на участках с плоскими градиентами.

4. Пакетная нормализация. Пакетная нормализация – это техника, которая нормализует входные данные для каждого слоя нейронной сети. Это помогает стабилизировать градиент и улучшить сходимость.

5. Инициализация весов. Правильная инициализация весов помогает алгоритму сходиться быстрее и избегать локальных минимумов. Случайная инициализация с соответствующей дисперсией может помочь предотвратить попадание всех весов в одну и ту же область пространства параметров.

6. Регуляризация. Методы регуляризации, такие как L₁ или L₂ регуляризация, могут помочь предотвратить перебор и улучшить эффективность обобщения. Это может помочь алгоритму сходиться быстрее и избегать локальных минимумов.