Добавил:

PotapkinBY t.me Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Физика

Файл:

2 семестр / Лекции по физике. Лубенченко

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.07.2023

Размер:

7.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4026 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

250

q	ω		Ω		cos Ωt φ							2βΩsin Ωt φ q												ω
		2		2																				2
0		0									0								0				0	0
			2				2													2βΩ
			2				2
			ω			Ω					cos Ωt φ
			0								cos Ωt φ
			0
		0				2									0			0				2
		0				2												0				2
		2	Ω	2				2	Ω	2								2		2				2		2
		ω	Ω					4β	Ω									ω		Ω			4β		Ω

								0			0		2	2		2	2						0
								q			2	Ω	2			2	2				φ θ					,
cos θ								q			ω	Ω			4β Ω cos Ωt						φ θ					,
cos θ

Ω	2	4β	Ω	2
2		2		2

sin Ωt φ
sin Ωt φ
			0

sin θ

tgθ	2βΩ
tgθ	ω	Ω	2
	2		2
	0

Итак,

0	0		2	2	2		2		0		0
q	2	Ω	2		2	Ω	2	cos Ωt φ		θ	F cosΩt
q	ω	Ω			4β	Ω		cos Ωt φ		θ	F cosΩt

Это равенство должно выполняться при любых t, поэтому

	0	0					0
		2	2	2	2	2	F	,
q		ω	Ω		4β Ω		F	,
			φ θ cosΩt.

cos Ωt
			0

Отсюда получим:

φ0 θ

— колебания заряда опережают вынуждающую ЭДС по фазе на θ;

q0		F0

	ω02 Ω2 2 4β2Ω2

— амплитуда заряда конденсатора.

Запишем окончательные выражения зависимостей заряда конденсатора и силы тока в цепи от времени:

Так как sin θ Ωt

сатора по фазе на

Обозначим

π 2

q t				0
				2
				ω
	I t			0
				0
				2
				ω
cos		π	θ Ωt
cos		2	θ Ωt
		2

		F									,
			0				cos			Ωt θ	,
			0
Ω			2	4β		Ω
Ω		2		4β		Ω	2
		2			2		2
	F Ω									I0 – амплитуда силы тока
	F Ω						sin Ωt θ .
		0					sin Ωt θ .
		0
Ω			2	4β		Ω
Ω		2		4β		Ω	2
		2			2		2
					Ωt	θ		π
	cos				Ωt	θ		2	, ток опережает заряд конден-
								2

Z U0

— полное сопротивление (импеданс) цепи. (Эта величина вводится по аналогии с законом Ома для участка цепи U = IR: если сопротивление R проводника — это коэффициент пропорциональности между током и напряжением на этом участке, то

251

импеданс Z — это коэффициент пропорциональности между амплитудным значением тока и амплитудным значением напряжения на клеммах участка цепи, т. е. вынуждающей ЭДС.)

Выразим полное сопротивление цепи, а также сдвиг фаз между зарядом конденсатора и вынуждающей ЭДС через параметры R, L, C:

		2
		L
		2
		2
		Ω

Z
	1
	LC

			2				2			2			2		2
U	0		2				2						2		2																		2
U		ω			Ω							4β		Ω				U0L						1					2			R	2
			0															U0L						1		2				4		R	2 Ω			2
						F Ω												U		Ω					Ω					4			2 Ω
						F Ω												U		Ω			LC									4L
							0												0
			2			2			R		2						L						2	2											1			2
	2					L			R			2					L						Ω L		R		2				R	2			1			,
Ω						Ω	2			2		Ω											Ω		R						R				ΩC		ΩL	,
						Ω			L							ΩLC							Ω												ΩC
tgθ							2RΩ														R									R				;
tgθ								1					2					L					Ω L					1						;
																							2
				2L			LC				Ω						ΩLC						Ω			ΩC				ΩL
							LC										ΩLC						Ω			ΩC

													1						2							R
			Z				R			2			1													R
										2					ΩL						,	tgθ									.							(30.14)
															ΩL						,	tgθ			1						.							(30.14)
												ΩC													1	ΩL
												ΩC
																								ΩC
																								ΩC

252

Лекция 31

3.13.3. Вынужденные колебания (продолжение)

Амплитуды силы тока в цепи и заряда конденсатора

, q

ΩL

Ω R

ΩL

ΩC

Обобщим сказанное в этом разделе и проанализируем, как изменяется ток и напряжения на разных элементах цепи.

1.	Заряд конденсатора:
	q t q cos Ωt
	0
2.	Сила тока:

I t q	Ωsin Ωt θ q Ωcos	π

0	0		2

Ωt

3. Напряжение на резисторе:

U		t IR q ΩRcos	π	Ωt
	R
		0	2

4. Напряжение на конденсаторе:

U		t	q	q	cos Ωt θ
U		t		0	cos Ωt θ
				0
	C		C	C
			C	C
Амплитуда напряжения на конденсаторе
			UC0		q	.
			UC0		0	.
					0
					C


	θ


.

Отношение амплитуды напряжения на конденсаторе к амплитуде тока

XC	U		q		q	1	,
XC		C0	0		0		,
		C0	0		0
	I		CI	0	Cq Ω	ΩC
		0		0	0

X		1
X	C	ΩC
	C

— ёмкостное сопротивление.

5. Напряжение на катушке индуктивности:

UL t Es L dtdI q0Ω2Lcos Ωt θ .

Амплитуда напряжения на катушке

UL0 q0Ω2L .

Отношение амплитуды напряжения на катушке к амплитуде тока

XL UL0 q0Ω2L ΩL ,

I0 q0Ω

XL ΩL

— индуктивное сопротивление.

253

Полное сопротивление цепи (30.14) можно выразить через ёмкостное и индуктивное сопротивление:

Z	R	2	2
			XC XL .

Демонстрация: Роль катушки индуктивности в цепи переменного тока

Найдём, при какой циклической частоте вынуждающей ЭДС амплитуды силы тока в цепи и заряда конденсатора будут максимальны. Условие экстремума

	dI	0
	0	0
	0
	dΩ

U 0

1 ΩC

	1			1										1
	2	2		ΩC			ΩL							2
	2			ΩC									Ω C
						1						2		3 2


	R		2
	R				ΩC				ΩL
					ΩC

ΩL 0								Ω	2		1			,
ΩL 0								Ω		LC				,
										LC

dq0 dΩ

						Ω Ω
										рез I
		U						1
		U	0							2ΩR2
			0					2
0								2
0
											2
									R		2
									R


R	2	2		1						2		L
R		2					Ω L					L
				C
	Ω Ω										1
	Ω Ω				рез q					LC
					рез q

	1			ω0			;
	LC			ω0			;
	LC
				1			2
	2				Ω L					2ΩL
		C
1						2			3 2
						2

ΩC			ΩL
ΩC

				1							R	2
0				1				2	L		R		,
0				C		Ω			L		2L		,
				C							2L
R		2
R						2		2β			2	.
		2				ω		2β				.
		2				0
2L

Графики зависимостей I0(Ω) (при разных сопротивлениях) и q0(Ω) представлены на

РИС. 31.1А, Б.

Мощность переменного тока по закону Джоуля-Ленца

N t U t I t U0 cosΩt I0 sin Ωt θ U0I0 cosΩt cos

Ωt θ

cos

Ωt

Ωt θ

cos

2Ωt

sinθ sin 2Ωt θ .

(31.1)

Здесь мы воспользовались формулой тригонометрии

cosα cosβ 12cos α β 12cos α β .

Усредним выражение (31.1) по времени:

N U0I0 sinθ

U0I0

cosφ ,

где cos φ — коэффициент мощности.

		254
I0
		R = 0
		R1
		R2 > R1
0	ω0	Ω
		а

CU0

ω ω0

Рис. 31.1. Резонансные кривые

3.14. Электромагнитные волны

3.14.1. Вывод волнового уравнения для электромагнитных волн

Ранее мы говорили (см. 3.12.2), что переменное электрическое поле порождает переменное магнитное и наоборот и это приводит к возникновению электромагнитной волны. Выведем волновое уравнение из I и II уравнений Максвелла в интегральной форме

Edl B dS ,			Hdl D dS .
L	S	t	L	S	t

		255
	y
		2		3
				3
		,

	O	1	x	4
	O
			x	x + x x
		,
z		6	5

Рис. 31.2

Пусть в пространстве (однородной, изотропной, неферромагнитной среде с относительной электрической и магнитной проницаемостями ε, μ) существует переменное электрическое поле. Свободные заряды и макротоки отсутствуют. Напряжённость электрического поля направлена вдоль оси y и изменяется только вдоль оси x (РИС. 31.2):

E y

При этом магнитная индукция будет направлена вдоль оси z:

B Bz

Мысленно выделим в пространстве прямоугольные контуры 1234 в плоскости xy и

1456 в плоскости xz (РИС. 31.2), причём ширина контуров контуру 1234

Edl E

x l

x E

1234

x << x. Циркуляция E

по

x	l12	E yl12	;	(31.2)

поток

ком,

сквозь поверхность, натянутую на этот контур, взятый с обратным зна-

BdS

B dS cosπ

1234

(31.3)

Подставим (31.2) и (31.3) в I уравнение Максвелла и поделим на x:

l12

l12 ;

при x → 0

Циркуляция напряжённости магнитного поля по контуру 1456

Hdl H

H l

;

(31.4)

(31.5)

L1456

256

ток смещения сквозь поверхность, натянутую на этот контур,

DdS

DydS

S1456

l45

x .

t S

1456

Подставим (31.5) и (31.6) во II уравнение Максвелла и поделим на

l45

;

при t → 0

(31.6)

(31.7)

Никаких других соотношений между Материальные уравнения

D ε0

E и

εE ,

B B

D μ0

и H

μH .

быть не может.

Далее в этом параграфе все формулы будем записывать через E																							и	H .
Возьмём производную от уравнения (31.4) по x, а от уравнения (31.7) — по t:
			E				μ μH
		2				2
					y			0			z
												2	E						2	E
		x		2			x t						E		y					E		y
														2		ε εμ		μ			2			(31.8)
	2											x		2		0	0		t		2			(31.8)
	2					2		ε εE		y		x							t
H						2

			z					0
t x								t	2
t x								t

— волновое уравнение для Ey.

Возьмём производную от уравнения (31.7) по x, а от уравнения (31.4) — по t. Аналогично получим


2H	z ε εμ μ		2H	z	(31.9)
	z ε εμ μ		t2	z	(31.9)
x2		0 0	t2

— волновое уравнение для Hz.

Общий вид волнового уравнения (для плоской волны)

	2	f	1			2	f
	2					2
x		2	v	2	t		2	,
x			v		t

где v — скорость распространения бегущей волны. Сравнивая с этой записью уравнения (31.8) и (31.9), видим, что

v	1
v
ε μ		εμ
0	0

— скорость распространения электромагнитных волн; в вакууме

c	1		8 м
c	ε μ		3,00 10	с
	ε μ			с
	0	0

Скорость электромагнитных волн в веществе

v cεμ .

257

Напряжённости электрического и магнитного полей подчиняются одному и тому же уравнению. Это означает, что переменное электромагнитное поле может существовать только в виде бегущей волны.

Общее решение волнового уравнения:

E	y	x,t f	1	x vt
	y		1

f	2	x
	2

прямая волна

обратная волна

аналогично для Hz. Вид функций f1 и f2 определяется начальными условиями.

Связь	E	и	H	в электромагнитной волне:

	ε εE	y	μ μH	z
	0	y	0	z
Доказательство

(31.10)

Решение волнового уравнения (без обратной волны):

Ey f x vt , Hz g x vt .

Подставим это решение в (31.7). Для этого найдём производные

H	z			D	y		E	y		v .
H
		g	,			ε0ε			ε0εf

x				t			t

Из (31.7) получим

		v	ε ε
g	ε εf	v
	0		ε μ εμ
			ε μ εμ
			0	0

g	ε ε	f
g	0	f
	0
	μ μ
	0

ε ε		E
0		E
0
μ	μ		y
μ	μ
0

, ч. т. д.

258

Лекция 32

3.14.2. Монохроматическая волна как решение волнового уравнения

Пусть источник волны создаёт возмущение Ey(0, t) = E0ycos(ωt + φ0) (при x = 0). При этих начальных условиях решение волнового уравнения (31.8) и (31.9) будет иметь вид


	E


		H
		H



x,t



cos

0 y

cos

(32.1)

— уравнение плоской бегущей монохроматической электромагнитной волны

(без обратной волны). «Мгновенная фотография» монохроматической электромагнитной волны изображена на РИС. 32.1.

Характеристики монохроматической волны

E0y, H0y — амплитуда; Φ = ωt – kx + φ0 — фаза;

k	ω	— волновое число;
	v

v — скорость распространения волны; ω — циклическая частота; φ0 — начальная фаза;

ν	ω	— частота;
	2π

T	1	2π	— период;
	ν	ω

λ vT 2ωπv νv 2kπ — длина волны.

Рис. 32.1. «Мгновенная фотография» монохроматической электромагнитной волны

Уравнения (32.1) можно также записать в виде

259

E		y	x,t E	0 y		cos ωt kx φ	,
		y		0 y		0
	H		x,t H			cos ωt kx φ	.
	H	z	x,t H		0z	cos ωt kx φ	.
						0
						0

Уравнение монохроматической электромагнитной волны при произвольной форме волнового фронта:

E E				cos ωt kr φ ,
		0					0
			0				0
H H			0		cos		0	.
H H					cos	ωt kr φ		.

Здесь k — волновой вектор; E0	H0				, а модули напряжённостей электрического и
магнитного полей связаны между собой соотношением
		ε εE					μ μH
					0		0

[ср. (31.10)].

3.14.3. Энергия электромагнитной волны

Плотность потока энергии — энергетическая характеристика волны — энергия, которую волна переносит в единичный промежуток времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны:

	dW
	dtdS
	dtdS

P		Вт
P		2
		м

;

Выделим в пространстве, где распространяется электромагнитная волна, малый параллелепипед, длина которого равна расстоянию, проходимому волной за малое время dt — vdt,

а площадь торца равна dS (РИС. 32.2). Объём параллелепипеда

vdtdS

Энергия, содержащаяся в этом объёме,

dW wdV ,

vdt

где w — объёмная плотность энергии электро-

магнитного поля;

Рис. 32.2

ε εE

μ μH

С учётом соотношения (31.10)

ε εE2

0 y

ε εE2

ε εμ μE

0 y

0 0

Тогда

EyHz

vdtdS , P

E yHzdtdS

E yHz ;

dtdS

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4026 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 2 семестр

#
16.07.20237.88 Mб14Лекции по физике. Лубенченко.pdf
#
16.07.2023684.57 Кб73Сборник задач. Электричество и магнетизм.pdf
#
16.07.2023749.58 Кб8Экзаменационные задачи на 2 семестр.pdf