2 семестр / Лекции по физике. Лубенченко

310

где Z — заряд ядра (число протонов в ядре), r — расстояние от ядра до электрона. Потенциальная энергия электрона в этом поле

График зависимости U (r) представлен на РИС. 39.5.

Для атома водорода Z = 1. При Z ≠ 1 система, состоящая из ядра и одного электрона,

— водородоподобный ион.

5.6.2. Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний и его решение

Стационарное уравнение Шрёдингера

где m — масса электрона (данное обозначение используется в этом и следующем разделах).

Так как поле — центральное, перейдём к сферической системе координат. Стационарное уравнение Шрёдингера запишется в виде

Предположим, что существует такое центральносимметричное состояние, в котором ψ = ψ1(r), с энергией W1. Тогда

r

Будем искать решение этого уравнения в виде ψ1 Ce r0 . Производные этой функции

При r ≠ 0 должны выполняться равенства

Численное значение

При Z = 1 W1 = –13,6 эВ; r0 = 0,529 Å — первый боровский радиус.

Вероятность обнаружения электрона в тонком сферическом слое радиуса r и толщиной dr

(39.5) можно представить в виде

ψ r,θ,φ R r Θ θ Φ φ .

312

Подставив эту функцию в уравнение (39.5), получим три уравнения, имеющих аналитические решения, которые достаточно сложны81.

81 Заметим, что в состоянии ψ1 азимутальное квантовое число l = 0 (см. РАЗДЕЛ 5.6.4), т. е. электрон не вращается.

313

Лекция 40

5.6.3. Энергетический спектр атома водорода

При W > 0 (электрон свободный) энергия электрона может принимать любые значения.

При W < 0 (когда электрон входит в состав атома) энергия электрона квантована:

(n ≠ 0!), n — главное квантовое число.

Энергетический спектр атома водорода дискретный. Дискретные значения энергии электрона показаны на графике потенциальной энергии (РИС. 40.1).

При переходе системы из одного стационарного состояния в другое (при n1 > n2) должен выполняться закон сохранения энергии:

где ħω — энергия фотона, излучаемого при переходе электрона из состояния с n1 в состояние с n2;

При переходе на более высокий энергетический уровень (при n2 > n1) происходит поглощение энергии.

Постоянная Ридберга

R* = 2,07∙1016 с–1.

Линии излучения (поглощения) атомов объединяются в серии. Три первые спектральные серии атомарного водорода представлены в ТАБЛИЦЕ 40.1.

5.6.4. Момент импульса электрона в атоме

Момент импульса любой квантовомеханической системы

(см. РАЗДЕЛ 5.4.4), l — азимутальное (орбитальное) квантовое число.

При переходе из одного состояния в другое должен выполняться закон сохранения момента импульса. Так как модуль момента импульса фотона Lф = ħ, возможны лишь переходы, при которых

m — магнитное квантовое число.

5.6.5. Состояние электрона в атоме

Каждому главному квантовому числу n соответствует n2 состояний с одинаковыми энергиями Wn. Число n2 — степень вырождения.

ПРИМЕР

При n = 2 степень вырождения n2 = 4. Говорят, что уровень n = 2 четырёхкратно вырожден.

При внешнем воздействии на атом энергия Wn (для состояний с разными l и m) может ненамного измениться, тогда вырождение снимается (например, при эффекте Зеемана). Таким образом, состояние электрона в атоме определяется тремя (на самом деле ЧЕТЫРЬМЯ) квантовыми числами: n, l, m.

316

Классификация состояний электрона в атоме

(Эта классификация относится не только к атому водорода, но и к многоэлектронным атомам.)

l = 0 — s-состояние l = 1 — p-состояние l = 2 — d-состояние

l = 3 — f-состояние и т. д.

Запись 2s означает, что n = 2, l = 0 и т. п.

В ТАБЛИЦЕ 40.2 рассмотрены возможные состояния электрона на уровнях 1 и 2.

Таблица 40.2

Переходы между состояниями

При переходах из одного состояния в другое должны выполняться законы сохранения энергии и момента импульса:

Таким образом, спектральная серия Лаймана может быть получена при переходах

2p

3p 1s ;

4p

серия Бальмера — при переходах

Эти переходы изображены на энергетической диаграмме РИС. 40.2.

На РИС. 40.2 видно, что состояние 2s оказывается метастабильным: в нём электрон задерживается значительно дольше, чем в других возбуждённых состояниях.

318

5.7.2. Принцип неразличимости. Принцип Паули

Принцип неразличимости тождественных частиц: тождественные частицы неразличимы.

Пусть имеется система из двух тождественных частиц. Рассмотрим волновую функцию ψ(ξ1, ξ2), где ξ1 и ξ2 — совокупности координат соответственно частиц 1 и 2. Так как частицы неразличимы, перестановка ξ1 и ξ2 не должна изменять свойств

Принцип Паули: в одной квантовомеханической системе не может быть двух и более частиц с полуцелым спином, обладающих одинаковой совокупностью квантовых чисел.

Фермионы подчиняются принципу Паули, а бозоны — нет.

5.7.3. Многоэлектронные атомы

В состоянии с данным квантовым числом n в каждом атоме могут находиться не более 2n2 электронов. Совокупность электронов, имеющих одинаковые значения n, образует оболочку; одинаковые n и l — подоболочку.

Конфигурация оболочек и подоболочек на первых трёх энергетических уровнях приведена в ТАБЛ. 40.4.

ПРИМЕР

Построение электронной оболочки атома (в основном состоянии)