2 семестр / Лекции по физике. Лубенченко

271

S *

M

З

Sˊ *

Э

Рис. 34.4

Найдём условия интерференционных минимумов и максимумов при интерференции излучения двух когерентных источников, полученных по схеме Юнга.

Пусть расстояние между когерентными монохроматическими точечными источниками S1 и S2 (длина волны излучения λ) равно d, а расстояние от источников до экрана Э равно L >> d (РИС. 34.5). Среда — воздух (n = 1). Найдём разность фаз Φ2 – Φ1 интерферирующих волн в точке M на экране Э, находящейся на расстоянии y от оси симметрии системы.

Рис. 34.5

Будем считать начальные фазы волн, испускаемых источниками S1 и S2, одинаковыми: φ01 = φ02. Тогда по формуле (34.2) разность фаз волн от источников S1 и S2, приходящих в точку M,

(здесь x1 = S1M, x2 = S2M на РИС. 34.5);

S2D dsinα d α ,

так как угол α мал из-за того, что L >> d. Угол α найдём из соотношения

Ширина интерференционной полосы — расстояние между соседними интерференционными максимумами или минимумами. В схеме Юнга она одинакова по всему полю интерференции и равна

Интерференционная картина представляет собой чередование светлых и тёмных полос одинаковой ширины Y2 .

4.1.3. Интерференция в тонких плёнках

Волна от некогерентного источника может разделяться на когерентные волны через отражение и преломление на границах раздела сред, расположенных настолько близко друг от друга, чтобы соблюдались условия когерентности (4.1.4). Рассмотрим три варианта данной схемы.

1. Плоскопараллельная пластинка

Пусть плоская волна длиной λ падает из воздуха (n = 1) на плоскопараллельную пластинку толщиной h, состоящую из вещества с показателем преломления n, под углом i (РИС. 34.6). На первой границе раздела сред (в точке A) падающая волна 0 частично отражается (волна 1), а частично — преломляется (волна 2) и проходит через границу. Затем волна 2 частично отражается от второй границы раздела сред

— нижней стороны пластинки в точке B, падает на верхнюю сторону пластинки и проходит через неё, преломляясь, в точке C. Волны 1 и 2 когерентны, так как образованы из одной падающей волны 0 (если толщина пластинки не слишком велика,

см. РАЗДЕЛ 4.1.4).

B

Рис. 34.6

Оптическая разность хода волн 1 и 2

Слагаемое λ появляется здесь потому, что волна 1 отражается в воздух от оптиче-

2

ски более плотной среды — вещества пластинки (см. РАЗДЕЛ 3.14.7). Найдём длины всех отрезков, входящие в эту формулу:

Если осветить плёнку белым (немонохроматическим) светом, то она будет окрашена в цвет, для длины волны, соответствующей которому, при данной оптической разности хода будет выполняться условие интерференционных максимумов. Если плёнка имеет переменную толщину, то она будет окрашена в разные цвета.

2. Тонкий клин

На клин с малым углом β нормально падает свет с длиной волны λ. Клин сделан из материала с показателем преломления n (РИС. 34.7).

На верхней поверхности клина падающая волна 0 разделяется на две: отражённую волну 1 и прошедшую волну 2. Волна 2 частично отражается от нижней поверхности клина, падает на верхнюю поверхность и проходит сквозь неё. Если толщина клина h не слишком велика, то волны 1 и 2 когерентны. (Так как угол β мал, все отражённые и преломлённые волны направлены по нормали к поверхностям клина. На РИС. 34.7 лучи 0, 1 и 2 изображены раздельно, на самом деле они проходят через одни и те же точки.)

Интерференционная картина на поверхности клина представляет собой чередование тёмных и светлых полос, параллельных ребру клина. Ширина полосы

(доказать самостоятельно).

Рис. 34.7

3. Кольца Ньютона

Плоско-выпуклая линза (радиус выпуклой поверхности R) лежит на плоской стеклянной пластинке. Система освещается светом с длиной волны λ так, как показано на РИС. 34.8. Волна 0, падающая на сферическую поверхность линзы, разделяется на две волны: отражённую 1 и прошедшую 2. Волна 2, в свою очередь, частично отражается от верхней поверхности плоской пластинки, а затем проходит сквозь сферическую поверхность линзы. Если толщина воздушного зазора между линзой и пластинкой не слишком велика, то волны 1 и 2 когерентны. Эти волны затем собираются (например, оптической системой микроскопа) и дают интерференционную картину, имеющую вид концентрических колец.

где h — толщина воздушного зазора между линзой и пластинкой. Дополнительная

ной среды. Выразим h через расстояние r от вершины линзы:

275

— радиус m-го светлого кольца; m = 1, 2, …

Условие интерференционных минимумов (тёмных колец):

r

h

Демонстрация: Интерференция в тонких плёнках

Все рассмотренные выше схемы получения когерентных волн можно реализовать и в проходящем свете: падающая волна проходит через первую поверхность тонкой плёнки, отражается от второй, а затем от первой, наконец, проходит через вторую поверхность.

4.1.4. Пространственная и временная когерентность

Реальная электромагнитная волна, излучаемая в течение конечного промежутка времени, не является монохроматической. Спектр её циклических частот имеет конечную ширину ω. Такую волну можно считать монохроматической в течение времени

τког — время когерентности. Волна с циклической частотой ω и фазовой скоростью v распространяется за это время на расстояние

Для видимого солнечного света с частотой ν = (4∙1014 ÷8∙1014) Гц τког ~ 10–14 с,

lког ~ 10–6 м.

Критерий Рэлея: интерференционная картина остаётся ещё различимой до максимумов порядка m0 для света с длиной волны λ + λ (Δλ > 0), который накладывается на ближайший к нему минимум для света с длиной волны λ.

Соответствующая критерию Рэлея оптическая разность хода интерферирующих волн, т. е. оптическая разность хода, при которой интерференционная картина различима,

Таким образом мы вывели формулы (34.3) и (34.4), выразив λ через ω из (34.5).

278

Волны, приходящие в точку M из разных точек щели, когерентны, поэтому в результате интерференции они могут либо усиливать, либо ослаблять друг друга. Проблема качественного анализа дифракционной картины и расчёта интенсивно-

сти света решается методом зон Френеля.

Зона Френеля — область волнового фронта, такая, что разность фаз волн, испускаемых вторичными источниками на границах этой области, равна π (разность хода

B

Рис. 35.2

Построим зоны Френеля для прямоугольной щели шириной b. Оптическая разность хода между волнами, идущими под углом φ к оси системы из крайних точек щели,

δ AC bsinφ

(РИС. 35.2). Число зон Френеля, которые помещаются на щели,

площади всех зон одинаковы. Поэтому амплитуды волн, испускаемых каждой зоной, также одинаковы:

Амплитуда результирующего колебания в точке M, по принципу суперпозиции полей, складывается из амплитуд колебаний, посылаемых всеми зонами, с учётом направления светового вектора. Так как волны из соседних зон приходят в противофазе, то соответствующие световые векторы направлены противоположно друг другу и их проекции (амплитуды соответствующих колебаний) суммируются с разными знаками:

Для нечётного числа зон Френеля EΣ = E, для чётного числа зон EΣ = 0. Получается, что если щель открывает нечётное число зон Френеля, то в точке M наблюдается интерференционный максимум, а если чётное — то минимум.

— условие минимумов при дифракции света на щели.

При нечётном n

— условие максимумов при дифракции света на щели.

Можно вывести формулу для распределения интенсивности при дифракции света на щели

где I0 — интенсивность волны, падающей на щель. График зависимости I(α) представлен на РИС. 35.3.

I

ширина нулевого максимума

Рис. 35.3