280
Демонстрация: Дифракция на щели
4.2.3. Дифракционная решётка
Дифракционная решётка — периодическая структура, состоящая из прозрачных и непрозрачных участков (РИС. 35.4).
|
|
|
|
|
На РИС. 35.4 b — ширина щели, d — период (по- |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
стоянная) решётки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть на решётку нормально падает плоская |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
монохроматическая волна (длина волны λ). |
|
|
|
|
|
|
Рис. 35.4 |
|
Происходит дифракция электромагнитной |
|
|
волны на щелях: согласно принципу Гюй- |
|
|
|
|
|
генса-Френеля, каждая точка щели является источником сферических вторичных волн. За решёткой располагается линза Л. В фокальной плоскости линзы расположен экран Э, на котором наблюдается дифракционная картина. Расстояние от решётки до линзы и экрана много больше периода решётки. Волны, выходящие из решётки под углом φ, фокусируются на экране в точке M (РИС. 35.5).
Рис. 35.5
Проанализируем, какая картина будет наблюдаться на экране Э.
1.Волны, исходящие от сходственных
точек всех щелей (РИС. 35.6), будут |
|
|
|
|
|
|
|
|
усиливать друг друга, если их раз- |
|
|
|
|
ность хода |
|
|
|
|
φ |
|
|
|
|
|
mλ , |
|
|
|
|
m — целое число. В соответствующих |
d |
φ |
|
|
|
|
|
точках на экране будут наблюдаться |
|
|
|
|
главные дифракционные |
макси- |
|
|
|
|
мумы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие главных максимумов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d sinφ mλ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 35.6 |
m = 0, ±1, ±2, … — порядок спектра. |
|
|
|
|
|
|
|
2.Главные минимумы соответствуют углам дифракции, в направлении которых каждая щель не посылает свет:
bsinφ kλ ,
k = ±1, ±2, … Это условие минимумов при дифракции света на одной щели.
281
3.Побочные минимумы соответствуют углам дифракции, в направлении которых каждая щель посылает свет, но в совокупности амплитуда колебаний равна нулю:
dsinφ Nz λ ,
z = 1, 2, …, N – 1, N + 1, N + 2, …; N — полное число щелей решётки.
4. Между побочными минимумами расположены побочные максимумы. Интенсивность волны, дифрагированной на решётке под углом φ,
|
sin2 πbsinφ sin2 πNdsinφ |
|
|
I I0 |
|
|
λ |
|
λ |
, |
(35.2) |
|
πbsinφ 2 |
|
sin2 πdsinφ |
|
|
λ |
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где I0 — интенсивность падающей волны. График зависимости I(φ) представлен на РИС. 35.7. Красной штриховой линией изображён график зависимости интенсивности света от угла дифракции φ при дифракции на одной щели (35.1)75.
I
главные максимумы
N – 1 побочных максимумов
побочные минимумы |
главные минимумы |
|
0 φ
Рис. 35.7
Амплитуда напряжённости электрического поля в главных максимумах равна сумме амплитуд волн, излучаемых каждой щелью по отдельности,
а интенсивность света пропорциональная квадрату амплитуды колебаний:
75 График функции (35.1) на РИС. 35.7 изображён так, что он является огибающей графика функции (35.2) (при той же ширине b щели). На самом деле при одинаковой интенсивности I0 падающего света площади под обоими графиками должны пропорциональны суммарной площади щелей, так как дифракция приводит лишь к перераспределению энергии электромагнитного поля в пространстве, но не изменяет её суммарного значения.
282
где I1 — интенсивность света от одной щели. Чем больше число щелей в решётке, тем больше интенсивности приходится на главные максимумы и меньше — на побочные. В монохроматическом свете дифракционная картина выглядит следующим образом: яркие тонкие линии — главные максимумы на тёмном фоне.
Дифракционная решётка (наряду с ПРИЗМОЙ) служит основой спектральных приборов. Если осветить решётку немонохроматическим светом, то свет разлагается в спектр.
Демонстрация: Дифракционная решётка
4.2.4. Дифракция на круглом отверстии
Пусть точечный источник S излучает сферические монохроматические волны (длина волны λ). На расстоянии a от источника расположена ширма с круглым отверстием, а на расстоянии b от ширмы — экран, где наблюдается дифракционная картина (РИС. 35.8). Радиус отверстия R << a, b.
Рис. 35.8
Дифракционная картина будет иметь вид светлых и тёмных концентрических колец. Разберёмся, что будет в центре картины — точке O
— минимум или максимум интенсивности?
Разобъём волновой фронт в отверстии на зоны Френеля. Они будут иметь вид колец с центром в точке Oˊ — центре отверстия (РИС. 35.9).
Легко показать, что радиус m-ой зоны Френеля |
|
Рис. 35.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
mλ |
ab |
. |
(35.3) |
|
|
|
m |
|
|
a b |
|
|
|
|
|
|
Если отверстие открывает чётное число зон Френеля, то в точке O будет наблюдаться дифракционный минимум, если нечётное — то максимум. Из (35.3) следует, что площади всех зон Френеля одинаковы:
где n — число зон Френеля, открываемых отверстием. По принципу Гюйгенса-Фре- неля амплитуды колебаний, приходящих в точку O из всех зон Френеля, одинаковы:
283
Однако, с ростом порядкового номера m зоны Френеля увеличивается угол между нормалью к волновому фронту и направлением на точку O, поэтому E1 > E2 > … >En.
Можно считать, что Em Em 1 Em 1 .
2
Суммарная амплитуда колебаний в точке O при полностью открытом волновом фронте (при отсутствии ширмы)
E |
|
E |
|
E |
|
E |
|
E |
|
|
E |
|
|
E |
1 |
|
E |
1 |
E |
|
|
E |
3 |
|
|
E |
3 |
E |
|
|
E |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Σ |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
n |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0
Мы доказали, что свет распространяется прямолинейно — в точку наблюдения приходит свет из половины первой зоны Френеля.
Если закрыть все зоны Френеля, кроме первой, то амплитуда колебаний в точке O будет равна E1, а интенсивность света
где I0 — интенсивность света при полностью открытом волновом фронте.
Можно создать такую диафрагму, что будут открыты только нечётные (или только чётные) зоны Френеля (РИС. 35.9). Тогда
Ещё больше интенсивность света в центре экрана можно увеличить, если сдвигать по фазе излучение чётных зон Френеля так, чтобы оно совпадало по фазе с излучением нечётных зон, перекрыв волновой фронт прозрачной пластинкой переменной толщины (РИС. 35.10). (На рисунке n — показатель преломления вещества, из которого изготовлена пластинка; δ' — добавочная оптическая разность хода.)
|
λ |
h |
|
O |
|
|
|
|
n |
|
|
Рис. 35.10 |
|
Демонстрация: |
Зонная пластинка |
4.2.5. Разрешающая способность оптических приборов
Разрешающая способность оптического прибора — способность давать раздельное изображение объектов, близко расположенных друг к другу.
Критерий Рэлея (ср. 4.1.4): изображение двух одинаковых точечных источников света ещё можно видеть раздельно, если центральный максимум дифракционной картины от одного источника совпадает с минимумом первого порядка дифракционной картины от второго источника.
|
Разрешающая способность телескопа |
|
|
φ 1,22 |
λ |
|
D |
|
|
λ — длина волны наблюдения; φ — минимальное угловое расстояние между точечными источниками, видимыми в телескоп раздельно; D — диаметр объектива телескопа.
Разрешающая способность микроскопа
l — минимальное расстояние между точечными источниками, видимыми в микроскоп раздельно.
Разрешающая способность дифракционной решётки
λ — минимальная разность длин волн линий, видимых раздельно при разложении света в спектр на данной дифракционной решётке; m — порядок главного максимума; N — число штрихов (щелей) решётки.
285
Лекция 36
4.3. Поляризация света
4.3.1. Виды поляризации
|
Свет |
|
естественный |
линейно |
частично |
ни одно направление |
поляризованный |
поляризованный |
|
имеется преимущественное |
не является |
колебания происходят |
преимущественным |
в одном направлении |
направление колебаний |
— степень поляризации
4.3.2. Поляризаторы. Закон Малю
Идеальный поляризатор — устройство, которое пропускает все волны, поляризованные в одном направлении, и совсем не пропускает волны, поляризованные в перпендикулярном направлении. Плоскость колебаний светового вектора (напря-
жённости электрического поля E ), которые полностью пропускает поляризатор,
— главная плоскость поляризатора.
Пусть на идеальный поляризатор падает линейно поляризованный свет, амплитуда светового вектора равна E0. Угол между плоскостью поляризации падающей волны и главной плоскостью поляризатора равен θ (РИС. 36.1). Амплитуда волны, прошедшей поляризатор,
|
E E0 cosθ . |
Так как интенсивность волны I ~ E2, |
|
I I |
|
cos |
2 |
θ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— закон Малю.
∙
θ
Главная плоскость
Рис. 36.1
Линейно поляризованный свет можно получить, пропустив естественный свет через поляризатор. Можно поставить за поляризатором второй поляризатор — анализатор и проанализировать поляризацию падающего излучения.
ПРИМЕР
Естественный свет интенсивностью I0 падает на систему из двух скрещенных поляризаторов, угол между главными плоскостями которых равен θ (РИС. 36.2). Найти интенсивность прошедшего систему света.
Интенсивность света, прошедшего первый поляризатор,
(доказать самостоятельно, что идеальный поляризатор пропускает половину падающего на него естественного света).
286
Интенсивность света, прошедшего второй поляризатор — анализатор, по закону Малю
2 |
I |
|
2 |
|
0 |
cos |
θ . |
I2 I1 cos θ |
2 |
|
|
|
|
|
4.3.3. Оптическая анизотропия. Двойное лучепреломление
Оптическая анизотропия — явление зависимости показателя преломления вещества от направления распространения световой волны.
|
Двойное лучепреломление — раздвоение светового луча, па- |
|
|
|
дающего на поверхность оптически анизотропного кри- |
|
|
|
сталла. Обыкновенный луч (o) подчиняется закону Снелли- |
|
|
|
уса (33.2), а необыкновенный луч (e) — не подчиняется. На |
|
|
|
РИС. 36.3 изображён ход лучей в оптически анизотропной пло- |
|
|
|
скопараллельной пластинке при нормальном падении. |
o |
e |
|
Оптическая ось кристалла — направление в оптически ани- |
|
|
|
|
зотропном кристалле, вдоль которого свет распространяется |
Рис. 36.3 |
без двойного лучепреломления.
Главная плоскость кристалла — любая плоскость, проходящая через оптическую ось. В обыкновенной волне световой вектор перпендикулярен главной плоскости, а в необыкновенной волне — параллелен.
Явление двойного лучепреломления можно обосновать с помощью принципа Гюй- генса-Френеля.
Демонстрация: Двойное лучепреломление
4.3.4. Методы получения поляризованного света
В основе принципа действия поляризационных устройств лежит одно из следующих явлений:
1.Поляризация света при отражении от границы раздела диэлектриков (закон Брюстера, см. РАЗДЕЛ 3.14.7)
На этом принципе работает стопа Столетова — поляризационное устройство, состоящее из нескольких склеенных друг с другом параллельных стеклянных пластин. Свет падает на стопу под углом Брюстера (РИС. 36.4); на поверхность каждой из пластин стопы он падает также под углом Брюстера и степень поляризации прошедшего света повышается от пластины к пластине.
287
iБр
Рис. 36.4
2.Двойное лучепреломление
3.Дихроизм — зависимость коэффициента поглощения (см. 4.4.1) от направления колебаний светового вектора
Демонстрация: Поляризационные устройства
4.4. Взаимодействие света с веществом
Электроны и ионы, совершая вынужденные колебания под действием света, излучают вторичные электромагнитные волны той же частоты. Средние расстояния между молекулами намного меньше длины когерентности света, поэтому вторичные волны, излучаемые множеством соседних молекул, когерентны. Если среда однородна и изотропна, то в результате интерференции этих волн образуется волна, фазовая скорость (см. 4.4.3) которой зависит от частоты, а волновой вектор параллелен волновому вектору падающей волны.
4.4.1. Поглощение света
Поглощение света — уменьшение энергии световой волны при её распространении в веществе. Поглощение света происходит вследствие преобразования энергии световой волны во внутреннюю энергию вещества (или в энергию вторичного излучения, имеющего другой спектральный состав и иные направления распространения).
При линейном поглощении зависимость ин-
тенсивности света в веществе от пути l, пройденного световой волной в веществе
(РИС. 36.5),
— закон Бугера-Ламберта; здесь I0 — интен-
сивность света, падающего на поверхность ве-
щества, α — линейный коэффициент погло-
Коэффициент поглощения в общем случае зависит от свойств среды и от частоты падающего излучения.
288
4.4.2. Рассеяние света
Рассеяние света — преобразование света веществом, сопровождающееся изменением направления распространения световой волны и проявляющееся как несобственное свечение вещества. Рассеяние света происходит в оптически неоднородной среде (показатель преломления n ≠ const).
|
Рассеяние |
молекулярное |
в мутной среде |
на флуктуациях плотности |
на инородных частицах |
Рэлеевское рассеяние (размер неоднородности среды r << λ — длина волны света):
I ~ λ 4
— закон Рэлея.
4.4.3. Фазовая и групповая скорости света
В случае, если скорость распространения световой волны (показатель преломления среды) зависит от частоты, имеет смысл вводить разные определения скорости распространения волны.
Фазовая скорость — скорость распространения фазы колебаний:
здесь c — скорость света в вакууме.
Групповая скорость — скорость распространения амплитуды колебаний, т. е. энергии:
здесь ω — циклическая частота волны, k — волновое число. Физический смысл имеет групповая скорость. Демонстрация: Фазовая и групповая скорости Связь фазовой и групповой скорости:
u v λ ddλv .
Доказательство
По определению
k
|
|
|
|
|
|
289 |
|
|
|
|
2π |
dv v |
2π |
dλ |
|
|
dω |
|
λ |
λ2 |
v λ dv |
, ч. т. д. |
dk |
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
dλ |
|
|
dλ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
4.4.4. Дисперсия света
Дисперсия76 — явление зависимости фазовой скорости волны (показателя преломления среды) от частоты (длины волны).
Дисперсия
Аномальная дисперсия сопровождается сильным поглощением света.
Благодаря дисперсии призма разлагает падающий на ней свет в спектр (РИС. 36.6).
λ1, λ2
λ1
λ2 < λ1
Рис. 36.6
Демонстрация: Спектр призмы
4.4.5. Классическая электронная теория дисперсии
Рассмотрим взаимодействие молекулы – диполя с электромагнитной волной циклической частоты ω (РИС. 36.7). Колебания проекции напряжённости электрического поля описываются уравнением
Ex E0 sinωt .
Диполь ориентируется вдоль поля. Диполь не жёсткий: проекция дипольного момента молекулы на направление поля
pex ex ,
здесь e — модуль заряда электрона. Проекция поляризованности вещества на ось x
Px n0ex ,
76 Не следует путать явление дисперсии с физической величиной — дисперсией спектрального прибора (линейной или угловой).
