2 семестр / Лекции по физике. Лубенченко

330

6.2. Распределение молекул идеального газа по энергиям. Химический потенциал идеального газа

Далее индекс i опустим. Число фазовых ячеек

где dΓ — объём области фазового пространства, соответствующей энергиям частиц

Пусть энергия молекулы не зависит от её координаты. Тогда

331

Перейдём от p к ε:

Найдём химический потенциал из условия нормировки dNε N :

Введём функцию распределения частиц по энергиям как плотность вероятности попадания частицы в данный интервал энергий:

Графики этой функции при разных температурах газа представлены на РИС. 42.4. Среднее значение энергии частицы

333

Лекция 43

6.3. Тепловое излучение. Фотонный газ

6.3.1. Тепловое излучение и его характеристики

Тепловое излучение — электромагнитное излучение, испускаемое телами за счёт их внутренней энергии. Оно свойственно всем телам при любой температуре. Речь пойдёт о равновесном излучении, т. е. находящемся в термодинамическом равновесии с излучающим телом.

Энергетическая светимость (интегральная излучательная способность) —

энергия, испускаемая телом в единичный промежуток времени с единичного участка поверхности тела по всем направлениям:

Спектральная излучательная (испускательная) способность — энергия, ис-

пускаемая с единичного участка поверхности тела в единичный промежуток времени по всем направлениям в единичном интервале частот83 (длин волн):

Спектральная поглощательная способность — безразмерная величина, равная доле энергии, падающей на поверхность тела в интервале частот от ω до ω + dω, которая поглощается этим телом:

adWпогл . ω,T dWпад

Плотность энергии излучения — энергия излучения в единичном объёме:

83 В этом параграфе частота — это циклическая частота ω. Все формулы, содержащие эту величину,

можно записать через частоту ν 2ωπ .

Спектральная плотность энергии излучения — плотность энергии излучения,

приходящаяся на единичный интервал частот84:

Связь uω, T и wT:

Спектральная и интегральная плотность энергии равновесного теплового излучения не зависят от природы излучающего тела, а зависят только от температуры и частоты.

6.3.2. Чёрное и серое тело. Закон Кирхгофа

Серое тело — тело, спектральная поглощательная способность которого не зависит от частоты (длины волны) падающего излучения, притом что она меньше единицы:

aω,T aT 1.

Чёрное тело (абсолютно чёрное тело) — тело, поглощающее всё падающее на него излучение:

Модель чёрного тела

Абсолютно чёрных тел в природе не бывает, но можно создать объект, по своим оптическим свойствам сколь угодно приближенный к чёрному телу. В закрытом сосуде (лучше с зачернённой внутренней поверхностью) нужно сделать малое по сравнению с размерами сосуда отверстие (РИС. 43.1). Если на это отверстие падает свет, то, проходя через отверстие, он либо поглощается внутренней поверхностью сосуда, либо отражается от неё, затем снова падает на внутреннюю поверхность, опять поглощается или отражается и

т. д. Таким образом, свет, падающий на отверстие, Рис. 43.1 практически не выходит из него, т. е. отверстие является чёрным телом.

Демонстрация: Модель абсолютно чёрного тела

Закон Кирхгофа: отношение спектральной излучательной и поглощательной способностей тела не зависит от его природы, а является универсальной функцией частоты (длины волны) и температуры, равной спектральной излучательной способности чёрного тела;

rω,T r0 .

aω,T ω,T

84 Аналогично можно ввести uλ, T, aλ, T.

где dWпад—энергия излучения в том же диапазоне, падающего на ту же площадку в тот же промежуток времени; по определению спектральной излучательной способности

На участок поверхности чёрного тела площадью dS падает за время dt столько же излучения, что и на участок поверхности нечёрного тела той же площади:

Но чёрное тело поглощает всё падающее на него излучение и, следовательно, столько же излучает:

Доказательство

Пусть в единичном объёме полости, заполненной равновесным тепловым излучением, находится dnω фотонов с частотой от ω до ω + dω. Энергия этих фотонов

dW εdnω ωdnω uω,T dω .

Фотоны летят внутри полости по всем направлениям. Число ударов фотонов о стенку в единичный промежуток времени равно 14 vdnω . Поэтому энергия излуче-

ния, падающего на единичный участок поверхности тела в единичный промежуток времени,

dWпад 4v ωdnω .

336

Эта же величина равна энергии, излучённой тем же участком поверхности в еди-

ничный промежуток времени, dW r0 dω . Из этого следует изл ω,T

6.3.3. Фотонный газ. Подсчёт числа фотонов с энергией от ε до ε + dε

Так как фотоны — бозоны (спин фотона s = 1), они подчиняются статистике БозеЭйнштейна; функция распределения по фазовым ячейкам

Разберёмся, чему равен химический потенциал μ фотонного газа. Число частиц N ≠ const, так как фотоны непрерывно поглощаются и излучаются. Фотонный газ стремится к минимуму внутренней энергии U за счёт изменения N:

С учётом равенства нулю химического потенциала функция распределения запишется как

(здесь и далее в этом разделе мы опускаем индекс i). По определению функции распределения

так как h3/2 — объём фазовой ячейки. Поскольку энергия фотона не зависит от координаты,

где V — объём полости, в которой находится фотонный газ, dΓp — элемент объёма в подпространстве импульсов. Так как энергия фотона зависит только от модуля импульса, а не от его направления, выбираем dΓp в виде тонкого сферического слоя радиуса p и толщины dp (РИС. 42.3):

337

Так как энергия фотона ε = cp (c — скорость света в вакууме; если излучение распространяется в веществе, в всех формулах этого параграфа следует заменить c на v),

6.3.4. Спектральная излучательная способность чёрного тела

Энергия фотонов, у каждого из которых энергия от ε до ε + dε, в объёме V

dW εdNε .

Так как ε = ħω, спектральная плотность энергии излучения

Итак,

338

6.3.5. Законы излучения чёрного тела

1.Закон Кирхгофа

2.Закон Планка

3.Закон Стефана-Больцмана: интегральная излучательная способность чёрного тела пропорциональна четвёртой степени термодинамической температуры:

Интегральная излучательная способность чёрного тела

Интеграл в этом выражении — это константа, табличная величина. Поэтому RT ~ T4, ч. т. д.

339

4.Закон смещения Вина: длина волны, соответствующая максимуму спектральной излучательной способности чёрного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре;

где b = 2,90∙10–3 м∙К — постоянная Вина.

Доказательство

Условие максимума спектральной излучательной способности

Это трансцендентное уравнение, имеющее корень x0:

На РИС. 43.4 показано, как изменяется спектральная излучательная способность rλ, T в зависимости от температуры излучающего чёрного тела. Более нагретое тело излучает больше во всём диапазоне длин волн; максимум его спектральной излучательной способности смещён в сторону более коротких волн.

Демонстрация: Закон Вина

rλ, T

T2 > T1

T1

Рис. 43.4

5. Формула Рэлея-Джинса