Добавил:

PotapkinBY t.me Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Физика

Файл:

2 семестр / Лекции по физике. Лубенченко

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.07.2023

Размер:

7.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 4031 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

300

Лекция 38

5.4. Квантовомеханическое описание движения частицы

5.4.1. Волновая функция

Волновая функция Ψ r

описывает состояние частицы. Волновая функция мо-

жет быть как действительной, так и комплексной. Физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции:

Ψ 2 dVdP

— квадрат модуля волновой функции равен плотности вероятности обнаружения частицы в данной области пространства.

Свойства волновой функции

1.Однозначность и непрерывность при любых x, y, z, t

2. Непрерывность производных	Ψ	,	Ψ	,	Ψ	при любых x, y, z, t
	x		y		z

3.Интегрируемость по x, y, z при любых x, y, z, t

4.Условие нормировки:

Ψ x, y,z 2 dV 1

(обнаружение частицы во всём пространстве — достоверное событие, его вероятность равна единице). Здесь dV = dxdydz — интегрирование ведётся по объёму.

5.4.2. Изображение физических величин операторами

В квантовой механике каждой физической величине ставится в соответствие оператор — правило, посредством которого одна функция сопоставляется другой:

f Qφ .

Уравнение для собственных функций и собственных значений оператора

Qφ qφ .

Множеству собственных значений (q1, q2, …, qn) соответствует множество собственных функций (φ1, φ2, …, φn).

При измерении физической величины q, представляемой оператором

, могут по-

лучаться только результаты, совпадающие с собственными значениями этого оператора.

Среднее значение q:

q Ψ*QΨdV ,

здесь Ψ* — комплексно сопряжённая функция к функции Ψ; интегрирование ведётся по всей области определения Ψ.

301

Важнейшие операторы физических величин

1.Оператор координаты

xψ x,

Оператор радиуса-вектора

x x ;

y,z xψ x, y,z 79.

xi y j zk .

2. Оператор импульса
p i		, p		i
p i		, p	y	i
x	x		y		y
	x				y
		p i				,

здесь i — мнимая единица.

3.Оператор момента импульса

L		;
L	rp	;

, pz i z ;

				i
	L			x
		i
		i		x
				x

Lx i	y		z
Lx i	y	z	z		y
		z			y

	j
	y
i
i		y
		y

	i	z

k z

y

;

z

y и т. д.

4. Оператор кинетической энергии

	p	2	1	x		y	z		2		2
		2							2		2
T				p	p	2	p	2		2
				2		2		2		2
	2m		2m						2m		2m

здесь 2 — оператор Лапласа, m — масса частицы.

5. Оператор полной энергии – гамильтониан

U x, y,z,t U x, y,z,t

ектов на частицу.

H T U x, y,z,t ,

— силовая функция — описывает действие других объ-

5.4.3. Возможность одновременного измерения двух величин

Пусть имеются два оператора A и B . Коммутатор операторов

A,B AB BA.

Операторы A и B коммутируют, если

79 Волновую функцию, зависящую от времени, мы обозначаем Ψ, а её стационарную часть (см. 5.4.5), не зависящую явно от времени, — ψ = ψ(x, y, z).

302

т. е. AB BA.

Если операторы не коммутируют, т.


	A,B

е. A,


B

, то величины a и b одновременно

не измеримы. (Для этих величин можно записать соотношение неопределённостей.)

ПРИМЕРЫ

1) Измеримы ли одновременно координата и соответствующая проекция импульса?

Найдём коммутатор операторов

и p

; для простоты воздействуем этими опера-

торами на функцию ψ:

		ψ		ψ
x px ψ x	i		i x	x	;
		x		x

px xψ i

	x	x
	xp	p x	ψ

x

xψ i ψ x

ψ i		x
x
,p	i

	ψ	;
	x

	0.

Координата и соответствующая проекция импульса одновременно не измеримы, что подтверждается соотношениями неопределённостей (37.4).

2) Измеримы ли одновременно py и x?

Действуем аналогично тому, как В ПРЕДЫДУЩЕМ ПРИМЕРЕ:

y px ψ px

y		i		ψ

				x
yψ i y
		x
	p		, y		0

	i
	ψ	;
	x

ψx

;

Координата y и проекция импульса на ось x одновременно измеримы.

Дополнительное задание

Доказать, что операторы проекций момента импульса не коммутируют: Lx ,Ly 0 , а также что оператор каждой из проекций момента импульса коммутирует с оператором квадратом момента импульса: Lx ,L2 0 .

5.4.4. Квантование физических величин

Если физическая величина принимает дискретный ряд значений, т. е. собственные значения соответствующего оператора дискретны, то говорят, что данная вели-

чина квантуется.

303

ПРИМЕР

Квантование момента импульса

Уравнение для собственных значений оператора квадрата момента импульса

L2ψ L2ψ.

Решение этого уравнение трудное, поэтому приведём только результат ственные значения оператора квадрата момента импульса

L		l l 1
2	2		,
			,

l = 0, 1, 2, …

— соб-

(38.1)

Уравнение для собственных значений оператора проекции момента импульса

Lzψ

Это уравнение мы решим — найдём собственные значения и собственные функции. В сферических координатах оператор проекции момента импульса записывается как

Lz i		.
	φ

Уравнение для собственных функций и собственных значений

i	ψ	Lzψ.
	φ

Будем искать решение этого уравнения в форме

(38.2)

	ψ e	αφ	.
	ψ e		.
Подставим эту функцию в уравнение (38.2):
i	αeαφ L eαφ	L
	z		z

Отсюда

α Li z iLz , ψ

	iL
	z
e	φ
e

α .

Функция ψ должна быть однозначной. Для этого необходимо

ψ φ 2π ψ φ

m — целое;

L	m	,
z		,

	L	m,
	z	m,
	z

(38.3)

m = 0, ±1, ±2, … Так как проекция вектора не может быть больше его модуля,

2	l l 1

m = 0, ±1, ±2, …, ±l.

5.4.5. Уравнение Шрёдингера

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики:

2		Ψ
	ΔΨ UΨ i		(38.4)
2m		t

или

304

HΨ i Ψt

— временнόе уравнение Шрёдингера.

Уравнение Шрёдингера не выводится из других соотношений, оно постулируется.

Если силовое поле стационарно — U ≠ U(t), то решение уравнения Шрёдингера разделяется на два множителя:

	i	W	t
Ψ x, y,z,t ψ x, y,z e

(38.5)

где W — полная энергия частицы. Подставим (38.5) в уравнение Шрёдингера (38.4):

iW t

ψ U x, y,z ψe

iW t

i ψ

Hψ Wψ

(38.6)

— уравнение Шрёдингера для стационарных состояний (стационарное уравнение Шрёдингера).

Это уравнение мы будем чаще писать в другом виде:

ψ	2m	W
	2

U ψ 0

(38.7)

5.5. Некоторые квантовомеханические задачи

5.5.1. Свободная частица с энергией W

Рассмотрим одномерное движение. Лапласиан имеет вид
U = 0. Уравнение Шрёдингера:
2	ψ		2m
d	ψ		2m	Wψ 0 .
dx		2	2	Wψ 0 .
		2	2

Будем искать решение в виде ψ = Aeikx, где k — неизвестная ные волновой функции

dψ

ikAeikx

ikψ ,

ik 2 Aeikx k2ψ

Подставим эти производные в уравнение (38.8):

k2ψ

2mWψ 0 ;

2mW

;

2mW

ψ Ae

A — постоянная нормировки. Полная волновая функция

Ψ x,t Ae

2mW

Действительная часть этой функции

d	2
			; силовая функция
dx		2

(38.8)

константа. Производ-

	305
Re Ψ x,t	Acos	Wt	2mW x
Re Ψ x,t	Acos

— уравнение плоской бегущей монохроматтической волны. Вероятность обнаружения частицы

Ψ	2	A

везде одинакова.

5.5.2. Частица в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины

Потенциальная яма — область простран-

ства, в которой находится минимум потенциальной энергии частицы. В данной задаче рассматривается потенциальная яма бесконечной глубины, т. е. в области длиной l потенциальная энергия минимальна UI (равна нулю), а во всём остальном пространстве она стремится к бесконечности. График потенциальной энергии приведён на РИС. 38.1.

В областях I и III, где потенциальная энергия бесконечно велика, вероятность обнаружения частицы должна быть равна нулю, т. е.

			ψ			0,
					I
				ψ			0.
				ψ			0.
					III
Уравнение Шрёдингера для области II
2	ψ				2m
d	ψ				2m			Wψ
		II						Wψ
		II
dx		2				2				II
dx
Введём обозначение
		k	2			2m			W	,
			2
								2
								2

тогда уравнение (38.9) примет вид

I	II	III
→ ∞	UII = 0	UIII → ∞

0	l	x
	Рис. 38.1

0 .

(38.9)

	2	ψ
	d	ψ
			II
	dx		2
	dx
Решение этого уравнения
ψ	x
II

k	ψ
2
	II
Acos kx

Постоянные A и φ найдём из свойств волновой функции. Волновая функция должна быть непрерывна во всём пространстве, в том числе на стенках ямы:

ψ 0 0,

ψII l 0

				π	,
Acosφ 0 φ				2	,
				2
Acos kl φ 0			sinkl 0;

k	πn	, n = 1, 2, …
	l

Поэтому

Энергия частицы

	ψ
		II
2	k	2
	k
2m

306

Asin πn

π2n2 2 ,

2ml2

x .

n = 1, 2, …

Видно, что энергия частицы имеет дискретный ряд значений, т. е. квантуется. Условие нормировки:

πn

sin

x dx A

Итак,

sin

πn

 

	A	2
	A	l
		l

(38.10)

ψ	2	2	sin	2 πn

II		l			l

Графики функций (38.10) и (38.11) для n = 1 и 2

ψII

n = 1

x .

представлены на

(38.11)

РИС. 38.2А, Б.

n = 1

n = 2

0		l	x
n =2
			0		l	x
а					б
			Рис. 38.2
Интервал энергий между соседними уровнями
W π2 2 n 1 2	n2	π2 2	2n 1 π2 2 n	W
2ml2		2ml2	ml2		n = 2
при достаточно больших n.					n = 2
при достаточно больших n.
Энергетическая диаграмма частицы в бесконечной по-
тенциальной яме изображена на РИС. 38.3.
					n = 1
				0	l	x
					Рис. 38.3

307

Лекция 39

5.5.3. Потенциальный барьер. Туннельный эффект

Потенциальный барьер — область пространства, в которой находится максимум потенциальной энергии частицы. Рассмотрим потенциальный барьер прямоугольной формы, шириной l и высотой U0 (РИС. 39.1).

	U							U
	U0							U0
	U0							U0
	I	II	III					I	II
	UI = 0	UII = U0	UIII = 0					UI = 0	UII = U0

0		l	x				0			x
		Рис. 39.1							Рис. 39.2
Рассмотрим сначала бесконечный барьер (l → ∞), см. РИС. 39.2:
				U	I	0,
					I
						U	.
				U	II	U	.
					II	0

Пусть на него налетает (из области I) частица массы m с энергией W < U0. Запишем стационарное уравнение Шрёдингера в виде (38.7). (Задача одномерная, поэтому

d	2
			.)
dx		2

Область I

2	ψ		2m
d	ψ		2m	Wψ
		I		Wψ
		I
dx		2	2	I
dx

Обозначим

k2 2m2 W .

Область II

2	ψ				2m
d	ψ				2m		W U				ψ
		II										0.
		2				2						0.
dx		2				2				0	II
dx
Обозначим
			α	2		2m		U		W .
				2
							2		0

Получим систему дифференциальных уравнений

ψ k2ψ 0,
	I	I
		ψ	0.
ψ α		ψ	0.
	2
	II	II

Ищем решение каждого из этих уравнений в общем виде ψ = eλx. Тогда ψˊ = λeλx,

ψˊˊ = λ2eλx;

λ x

λ e

k e

λ x

λ e

λ ik,

α;

ψ A eikx

B e ikx

(39.1)

A eαx

B e αx .

Здесь i — мнимая единица, A1, B1, A2, B2—постоянные.

308

Коэффициент A1 характеризует набегающую волну (налетающую частицу), B1 — отражённую волну (отлетающую от барьера частицу), A2 и B2 характеризуют вероятность нахождения частицы внутри барьера. Так как эта вероятность не может расти при погружении вглубь барьера, A2 = 0.

Найдём коэффициент B2. Условие непрерывности волновой функции на границе барьера:

ψI 0 ψII 0 A1 B1 B2 .

Условие непрерывности производных волновой функции:

ψ	0		ψ	0		ikA ikB		αB .
I			II			1	1	2

(39.2)

(39.3)

Из (39.2) и (39.3) получим

B		2ik

2		ik α

(39.4)

Вероятность нахождения частицы в точке с координатой x = 0 определяется выражением ψI 0 2 ~ A12 .Вероятность (плотность вероятности) нахождения частицы внутри барьера на расстоянии x от его границы

ψ	x
	2
II

2
B	e	αx	2	~e	2αx
		αx			2αx

Теперь «обрежем» барьер на ширине x = l. Прозрачность (коэффициент прозрач-

ности) барьера —– вероятность прохождения барьера частицей:

Подставим сюда функции (39.1). С учётом (39.4) получим

2 e 2αl

2ik

2αl

4k2

2αl

ik α

В большинстве реальных задач

4W U0

. Тогда D ≈ e–2αl,

	2l	2m U	W
D e
		0

Мы доказали, что даже имея энергию, меньшую, чем высота потенциального барьера, частица может преодолеть этот барьер. В этом состоит туннельный эффект.

Численная оценка
Если U0 – W = 5 эВ, то при l = 1	Å	D = 1∙10–1;
l = 2	Å	D = 8∙10–5;
l = 5	Å	D = 5∙10–7.

Туннельный эффект широко применяется в технике. Большой ток при холодной эмиссии электронов объясняется в т. ч. туннельным эффектом.

5.5.4. Гармонический осциллятор

Гармонический осциллятор — частица, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы Fx = –kx. При этом потенциальная энергия силового поля

309

	kx	2
U		.
	2

График U(x) представлен на РИС. 39.3. Собственная частота осциллятора

	2	2
U	mω x	.
U	2	.
	2

Стационарное уравнение Шрёдингера:

	ω	k
	ω	m
		m

;


2	ψ		2m
d	ψ		2m
dx		2	2	W
dx

	2	2
	mω x
	2
	2

	ψ 0
	ψ 0

здесь W — полная энергия осциллятора. Это уравнение имеет точное аналитическое решение. Собственные функции слишком сложны, чтобы их здесь приводить.

Собственные значения энергии гармонического осциллятора

	1	ω , n 0,1,2,
Wn n	2

Энергия гармонического осциллятора квантуется, Уровни энергии эквидистантны, т. е. отстоят друг от друга на одинаковую величину

W ω hν .

Минимально возможная энергия гармонического ос-

циллятора – нулевая энергия

W0 2ω .

Таким образом, доказана гипотеза Планка о том, что осциллятор излучает порциями –— квантами.

5.6. Атом водорода

5.6.1. Модель атома Резерфорда-Бора

0 x

Рис. 39.3

Атом состоит из положительно заряженного ядра, окружённого облаком электронов80. (С классической точки зрения это невозможно — электрон упал бы на ядро!)

Для атома водорода (РИС. 39.4) масса протона mp намного больше массы электрона me:

mp 1836me ,

поэтому ядро можно считать неподвижным.

80 По полуклассической теории Бора электроны вращаются вокруг ядра по орбитам. По квантовомеханическим же представлениям об орбитах говорить бессмысленно.

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 4031 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 2 семестр

#
16.07.20237.88 Mб14Лекции по физике. Лубенченко.pdf
#
16.07.2023684.57 Кб73Сборник задач. Электричество и магнетизм.pdf
#
16.07.2023749.58 Кб8Экзаменационные задачи на 2 семестр.pdf