2 семестр / Лекции по физике. Лубенченко

140

Продифференцируем дважды уравнение плоской бегущей волны (17.2) по x, затем по t:

сравнивая вторые производные по x и t, получим дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных

Вид функций f1 и f2 определяется начальными условиями.

142

Поверхностная плотность электрического заряда — заряд, приходящийся на единичный участок поверхности заряженного тела:

Объёмная плотность электрического заряда — заряд, приходящийся на уча-

сток заряженного тела единичного объёма:

Электрический заряд тела выражается через плотности заряда следующим образом:

q τdl σdS ρdV ,

здесь l, S, V — соответственно длина, площадь поверхности и объём заряженного тела.

Электрический ток — упорядоченное движение электрически заряженных частиц.

3.1.3. Электромагнитное поле

Электромагнитное поле — физический объект — действует на электрически заряженные частицы.

Для того чтобы характеризовать электромагнитное поле в какой-либо точке пространства, мысленно вносим в эту точку пробный заряд.

Пробный заряд — материальная точка, имеющая положительный электрический заряд, настолько малый, чтобы не искажать электромагнитное поле, т. е. не изменять расположение заряженных тел, создающих это поле.

На частицу с зарядом q0 (пробным зарядом), движущуюся со скоростью v , электромагнитное поле действует с силой

F F1 q0 , поле F2 q0 ,v, поле .

Здесь F1 — составляющая силы, которая не зависит от скорости пробного заряда, а F2 зависит в т. ч. от скорости пробного заряда.

Попробуем ввести характеристики, которые определяли бы поле и не зависели бы от свойств заряженного тела, помещённого в это поле. Для этого рассмотрим две

ситуации, в одной из которых F2 0, а в другой F1 0 (ТАБЛ. 18.1).

143

Таблица 18.1

деляется только величиной поля и явля- 4) F2 ~ полю.

ется одной из характеристик поля: Отношение модуля максимальной силы, с которой поле действует на пробный заряд, к величине этого заряда и модулю его скорости — характеристика только поля:

47 Демонстрации «Силовые линии электрического поля» и «Силовые линии магнитного поля» рекомендуется показывать последовательно одну за другой.

144

F2 q0 vB

Общий случай:

3.1.4. Силовые характеристики электромагнитного поля

Для того чтобы охарактеризовать электромагнитное поле как единый объект, нужно ввести два вектора — E и B .

Основные силовые характеристики электромагнитного поля

145

Вспомогательные силовые характеристики электромагнитного поля

(в вакууме)

(в вакууме)

Электрическая и магнитная постоянные не имеют физического смысла, они — константы СИ. Физический смысл имеет величина

— скорость электромагнитных волн в вакууме.

Вспомогательные силовые характеристики нужны для описания электромагнитного поля в веществе (см. 3.3.3 и 3.11.2).

3.1.5. Принцип суперпозиции полей

Этот принцип следует из опыта.

146

3.1.6. Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла — основные уравнения классической электродинамики — постулируются. Они — обобщение опытных фактов — законов электродинамики. Мы рассмотрим каждый из этих законов в дальнейшем.

Имеются в виду свободные заряды — заряды, нарушающие электронейтральность вещества, и макротоки — упорядоченное движение заряженных частиц, при котором они перемещаются на расстояния, много большие межмолекулярных расстояний.

Вуравнениях I, II L — произвольная замкнутая кривая, S — произвольная поверхность, ограниченная этой кривой.

Вуравнениях III, IV S — произвольная замкнутая поверхность, V — объём, ограниченный этой поверхностью.

3.1.7. Материальные уравнения

Материальные уравнения — уравнения, связывающие основные и вспомогатель-

Вещество состоит из молекул, в которых заряженные частицы (связанные заряды) движутся друг относительно друга (микротоки) и создают собственное электромагнитное поле, которое накладывается на поле свободных зарядов и макротоков.

Для изотропных диэлектриков, несегнетоэлектриков49

где ε — относительная диэлектрическая проницаемость вещества. В вакууме ε = 1.

Для изотропных магнетиков, неферромагнетиков

48Более подробно об уравнениях Максвелла — в ПАРАГРАФЕ 3.12. Элементы векторного анализа, использующиеся в уравнениях Максвелла, рассмотрим в течение семестра.

49Сведения о сегнетоэлектриках см., например, в книге [3].

147

где µ — относительная магнитная проницаемость вещества. В вакууме µ = 1.

3.2. Постоянное электрическое поле в вакууме

3.2.1. Электростатическое поле в вакууме

148

Лекция 19

3.2.2. Закон Кулона. Расчёт напряжённости электрического поля методом суперпозиции

Закон Кулона: сила взаимодействия двух точечных зарядов

F12 q1q2 r12

4πε0 r123

(см. РИС. 19.1; на этом рисунке заряды q1 и q2 одного знака).

Напряжённость электрического поля точечного заряда

Силовые линии электрического поля точечного заряда представлены на РИС. 19.2.

Любую систему заряженных тел можно разбить на точечные заряды (или заряды другой формы, поле которых легко рассчитать) и затем просуммировать (проинтегрировать) напряжённости полей этих зарядов.

149

зуют конус с вершиной в точке A (на РИС. 19.3 штриховой линией показано основание этого конуса). Проекции этих векторов на плоскость кольца компенсируются,

Вычислим Ez. Напряжённость поля точечного заряда

угол θ показан на РИС. 19.3. Величины r и θ одинаковы для всех элементов dq:

В этом выражении все величины — постоянные, кроме dq. Проинтегрируем по q:

Предельные случаи

2) Электрическое поле равномерно заряженного тонкого прямого стержня

Тонкий стержень длиной AB = l имеет заряд Q > 0, равномерно распределённый по длине стержня. Найти напряжённость электрического поля в точке, находящейся на перпендикуляре к стержню, проходящем через его середину, на расстоянии b (точка C на РИС. 19.4).

Разобьём стержень на малые отрезки, имеющие малый заряд dq. Напряжённость поля точечного заряда