Основы_акустики_Гринченко_Вовк

является общим решением системы (2.86). Поэтому любое решение системы (2.86) всегда можно представить в виде суммы частных ре- шений (2.93). С физической точки зрения это означает, что любое свободное движение системы, т.е. движение при произвольных на- чальных условиях, представляет суперпозицию двух нормальных ко- лебаний. Конкретные значения их амплитудных характеристик будут определяться начальными условиями (2.87). Если собственные часто- ты системы некратные (т.е. ω+ ≠ nω -, где n — целое число), то колеба-

ния, строго говоря, будут непериодическими.

Установленные свойства свободных колебаний системы с двумя степенями свободы являются конкретным проявлением общей зако- номерности в теории колебаний. Для любой колебательной системы свободное движение есть суперпозиция нормальных колебаний (перио- дических движений), число которых равняется числу степеней свободы системы. Итак, нормальные колебания являются важной общей ха- рактеристикой системы, которые определяются только свойствами самой колебательной системы.

Полная характеристика нормального колебания в системе предпо- лагает не только задание его частоты. Как видно из соотношения (2.89), каждое нормальное колебание имеет специфическое распреде- ление амплитуд по степеням свободы. Некоторые их свойства уста- навливаются с помощью данных о частотах нормальных колебаний. Так, исходя из первой формулы (2.89) и принимая во внимание (2.91), имеем:

Итак, подставив (2.95) в формулы (2.93), получаем частные решения уравнений (2.86), которые описывают нормальные колебания систе- мы.

На частоте ω− :

(2.96)

x2− = A2− exp(−iω−t ).

Поскольку всегда ω− < ω1, движение парциальных систем происходит

в фазе (рис. 2.17). Такие колебания называют симметричной модой. На частоте ω+ :

71

2.5.2. Характеристики связи в системе

Рассмотрим влияние коэффициента связи μ2 на характе- ристики колебательной системы. Проанализируем формулу (2.92) для нормальных частот системы. Если μ → 0, то ω− ≈ ω1, а ω+ ≈ ω2 . Чем

больше коэффициент связи, тем больше нормальные частоты отдаля- ются от парциальных частот. Вместе с этим отличие ω1 от ω2 влияет на степень близости нормальных и парциальных частот. Если парци- альные частоты равны одна другой (ω1 = = ω2), то

ω2− = ω12 − μ2, ω2+ = ω12 + μ2 , и имеем наибольшее влияние μ2 на разность

между нормальными и парциальными частотами. Если ω1 и ω2 значи- тельно различаются ( ω1 << ω2 или ω1 >> ω2 ), то нормальные частоты

близки к парциальным.

Для более полного описания влияния связи в системе целесообраз- но ввести такие характеристики нормальных колебаний, как коэф-

фициенты распределения амплитуд k– и k+, которые равны отноше-

ниям амплитуд колебаний парциальных систем в каждом из нормаль- ных колебаний. Из формул (2.95) имеем:

Поскольку на частоте ω– происходит синфазное движение масс m1 и m2, то коэффициент k– всегда положительный. Если, наоборот, на частоте ω+ имеем противофазное движение масс m1 и m2, то коэффи-

циент k+ всегда отрицательный.

При равенстве парциальных частот (ω1 = ω2) коэффициенты рас-

плитуды колебаний в парциальных системах разные даже при одина- ковых парциальных частотах. Если системы идентичные (m1 = m2 ,

K1 = K2 ), то коэффициенты распределения по модулю равны едини-

це. Это означает равенство амплитуд колебаний в обеих парциальных системах для двух нормальных колебаний.

Используя выражения (2.98), переписываем (2.96) и (2.97) в виде

73

системах как собственное колебание одной из парциальных систем с большой амплитудой, что служит причиной слабых колебаний во вто- рой системе.

Для каждого нормального колебания та парциальная система име- ет большую амплитуду, в которой парциальная частота приближается к нормальной частоте рассматриваемого колебания. Очевидно, что при приближении к равенству парциальных частот ω1 i ω2 коэффици- ент связанности (2.101) значительно возрастает даже при малых зна- чениях связи (μ2). Незначительные силы связи существенно влияют на процессы, когда парциальные частоты близки. Наоборот, в случае значительного отличия в парциальных частотах, даже относительно большие силы связи не влияют на колебание каждой отдельной пар- циальной системы.

Если парциальные частоты равны, т.е. связанность σ → ∞, то ам- плитуды колебаний одинаковы по обеим координатам. Действитель- но, при условиях ω1 = ω2, m1 = m2 формулы (2.98) и (2.102) определяют k− =1 и k+ = −1.

Вконце параграфа, посвященного анализу нормальных колебаний

всистеме с двумя степенями свободы, обратим внимание на такое обстоятельство. Мы определили и охарактеризовали частоты нор- мальных колебаний как некоторые собственные фундаментальные характеристики системы. Вместе с тем они выражаются через собст- венные частоты парциальных систем, выбор которых, как отмеча- лось, является достаточно произвольным. В связи с этим возникает вопрос: изменяются ли нормальные колебания при изменении выбора парциальных систем. Общий ответ теории колебаний отрицательный. Для того чтобы проверить этот вывод на конкретной системе, нужно рассмотреть приведенную выше систему — балка на двух пружинах (рис. 2.14, в) — с использованием двух разных способов выделения парциальных систем.

2.5.3. Движение при заданных начальных условиях

Выражения (2.99) и (2.100) определяют частные решения уравнений (2.86). Складывая (2.99) и (2.100) вследствие линейности уравнений (2.86), получаем их общее решение, которое зависит от

двух комплексных постоянных A2− и A2+ :

Поскольку физическое содержание имеют действительные части в (2.103) то, принимая во внимание (2.99), (2.100), записываем выра- жения для колебаний x1 (t) и x2 (t) в действительной форме:

x1 (t ) = a−k− cos (ω−t + ϕ− )+a+k+ cos (ω+t + ϕ+ ),

75

вносится в первую парциальную систему путем отклонения массы m1 на величину x0 . Со временем колебания массы m1 ослабляются, а ко- лебания массы m2 постепенно увеличиваются. Таким образом, энер- гия перетекает из первой парциальной системы во вторую. Спустя некоторое время t′ = = π(ω+ − ω− ), здесь cos[(ω+ − ω− )t′/2] = 0 , вся энергия колебаний полностью перетечет в другую парциальную сис- тему, и начнется движение энергии в противоположном направлении. Графики на рис. 2.19 построены при таких условиях: ω+ /ω− = 1,1; то- гда имеем t′/T− = 5 , где T− = 2π/ω− .

Рис. 2.19. Графики свободных колебаний в системе с двумя степенями сво- боды (ω 1 = ω2, m1 = m2) при начальных условиях:

х1 (0) = 1, х2 (0) = 0, x1 (0) = x2 (0) = 0; ω+ /ω− =1,1

Если ω1 ≠ ω2 , то энергия, накопленная первоначально в одной парциаль-

ной системе, никогда не будет передаваться полностью второй парциальной системе. Это наглядно отображают формулы (2.106), ведь, если парциальные частоты значительно различаются (малая связанность), то один из коэффициентов распределения амплитуд становится намного больше второго. Эту

77

Итак, время перетекания энергии обратно пропорционально ко- эффициенту связи: чем меньше сила связи (μ2), тем медленнее проис- ходит перетекание энергии из первой парциальной системы во вто- рую парциальную систему, и наоборот. Отметим, что наличие даже малого демпфирования в системе радикально изменяет картину коле- баний, поскольку по истечении значительного промежутка времени

(t′ = π(ω+ − ω− )) колебания в первой парциальной системе могут за-

тухнуть намного раньше, прежде чем будут способны хотя бы сколь- ко-нибудь заметно раскачать вторую парциальную систему. Таким образом, только тогда, когда время перетекания t′ намного меньше постоянной времени парциальной системы, будут наблюдаться коле- бания, приведенные на рис. 2.19, 2.20.

2.6. Вынужденные колебания в системе с двумя степенями свободы

Рассмотрим действие гармонических внешних сил на систему с двумя степенями свободы (рис. 2.21). Считаем, что источники внеш- ней силы имеют бесконечную мощность, а их частоты одинаковы. По- скольку уравнения, которые описывают движение системы, линей- ные, то, зная решение задачи о гармоническом влиянии на систему и используя принцип суперпозиции, можно исследовать воздействие произвольной внешней силы.

Рис. 2.21. Колебательные системы под действием внешних сил

Пусть частота внешнего воздействия ω, тогда гармонические внешние силы F1 (t ) = F1 cos (ωt ), F2 (t ) = F2 cos (ωt ) . Уравнения движе- ния системы имеют такой вид:

79

(ω) = (ω12 − ω2 )(ω32 − ω2 )− μ4.

Анализируя полученное решение, отмечаем, что явление резонанса возникает при выполнении двух условий:

1) если (ω) = 0 . Поскольку условие Δ(ω) = 0 совпадает с (2.90), то

это означает, что явление резонанса наблюдается при равенстве час- тоты внешней силы и одной из нормальных частот системы, т.е. при ω = ω− или ω = ω+ . Таким образом, на резонансе амплитуды колебаний

по обеим координатам с течением времени стремятся к бесконечно- сти (в системе отсутствует демпфирование);

2) чтобы такое явление имело место, необходимо также выполне- ние неравенств 1 (ω− ) ≠ 0, 2 (ω− ) ≠ 0 или 1 (ω+ ) ≠ 0, 2 (ω+ ) ≠ 0 . Из формулы (2.112) видно, что выполнение этого условия зависит от со-

80