Основы_акустики_Гринченко_Вовк
.pdfДля внешней силы F(t) = F0 cos(ωt) |
смещение и скорость в системе |
|||||||||
такие (см. (2.46)): |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ξ(t ) = |
|
|
F0 |
|
|
|
(ω02 |
− ω2 )cos (ωt )+ 2δωsin(ωt ) , (2.74) |
||
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
m (ω02 |
− ω2 ) |
+ (2δω)2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ξ(t ) = |
|
|
|
ωF0 |
|
|
|
−(ω02 |
− ω2 )sin(ωt )+ 2δωcos (ωt ) .(2.75) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
m (ω02 |
− ω2 ) + (2δω)2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда мгновенная мощность W (t ) = F (t )ξ(t ) , которая обусловлена ис- точником движения, определяется соотношением:
|
F02 |
|
−ω(ω02 |
− ω2 )sin(ωt )cos (ωt )+ 2δω2 cos2 (ωt ) |
|
|||||
W (t ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. (2.76) |
|
|
|
m |
|
− ω2 ) |
2 |
+ (2δω)2 |
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
(ω02 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как следует из (2.76), в системе с демпфированием мощность, по- требляемая системой от источника энергии, является суммой двух слагаемых. Для первого слагаемого характерно наличие сдвига фаз, который равняется 90°, между внешней силой F (t) и скоростью сис-
темы ξ (t). Второе слагаемое — синфазное, т.е. фазовый сдвиг между F (t) и ξ(t ) равен нулю. Следует отметить, что первое слагаемое в (2.76)
пропорционально мнимой части импеданса (см. (2.69)), а второе — дей- ствительной части импеданса.
Вместе с тем, поток мощности определяет скорость изменения пол- ной энергии системы L : W (t ) = dL /dt. Полная энергия L состоит из
кинетической энергии EК = mξ2 2, потенциальной EП = K ξ2 2 = mω20ξ2 2 и внутренней U энергий. Внутренняя энергия U
определяется работой |
|
|
|
|
внешней силы |
против силы |
трения: |
|||
t |
(Rξ)ξdt. Итак, поток мощности |
|
|
|
||||||
U = ∫ |
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W (t ) |
|
|
d (EК + EП +U ) |
dE dU |
|
||||
|
= |
|
|
|
|
= dt |
+ dt , |
(2.77) |
||
|
|
|
dt |
|
||||||
где E = EК + EП , или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W (t) = |
|
d |
1 mξ2 + |
1 mω02ξ2 + (Rξ)ξ. . |
(2.78) |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
dt 2 |
2 |
|
|
|
61
Выражение в квадратных скобках есть сумма кинетической и потен- циальной энергий E = EК + EП . По сути, это энергия E, которую нака-
пливает колебательная система к моменту времени t. Назовем ее энер-
гией накопления или просто энергией системы. Производная по вре-
мени от энергии накопления определяет скорость ее изменения. Вто- рое слагаемое в выражении (2.78) представляет собой мощность сил демпфирования, которые преодолевает внешняя сила.
Таким образом, сравнивая выражения (2.76) и (2.78), можно при- дать двум слагаемым в формуле (2.76) указанный выше физический смысл, а именно: первое слагаемое обуславливает скорость изменения энергии накопления E, а второе — мощность сил демпфирования. Со- гласно формуле (2.76) производная по времени от энергии накопления dE/dt может быть больше и меньше нуля в некоторый момент време- ни. Если dE/dt > 0, то это обуславливает поток энергии от источника в систему, а при dE/dt < 0 — наоборот, т.е. имеем энергообмен между источником и системой. Интересно, что на резонансе, когда ω = ω0 ,
имеем dE/dt = 0, т.е. энергия накопления сконцентрирована в систе- ме, а работа источника связана только с преодолением сил демпфи- рования. Второе слагаемое в формулах (2.76) и (2.78) всегда больше от
нуля (Rξ2 ) > 0 , что определяет поток энергии от источника к системе в
любой момент времени.
Существенная разница между двумя слагаемыми мгновенной мощности видна при рассмотрении среднего во времени потока мощ- ности. Найдем среднюю за период T = 2πω мощность W , , используя выражение (2.76). Учитывая, что
|
|
|
W = |
1 T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.79) |
||
|
|
|
T |
∫W (t)dt, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при этом |
1 |
T |
|
= 0, |
1 |
T |
(ωt )dt = |
1, имеем |
|
||||||||||
∫ sin(ωt )cos (ωt )dt |
∫ cos2 |
|
|||||||||||||||||
|
T |
0 |
|
|
|
T |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
W = |
|
F02ω2δ |
|
|
|
= |
F02R |
|
. |
(2.80) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
Z |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
m (ω02 |
− ω2 ) |
|
+ (2δω)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как видим, первое слагаемое в (2.76), где наблюдается сдвиг фаз ме- жду F(t) и ξ(t ), равный 90°, не влияет на W . Средний поток мощ- ности определяется синфазной составляющей в выражении для W (t) , т.е. вторым слагаемым.
62
Теперь запишем среднюю мощность W , используя выражение (2.78) для мгновенной мощности W (t). Средняя за период энергия на- копления равняется
EK + EП = m |
ξ2 + |
mω02 |
ξ2 = |
mAυ2 |
+ |
mω02A2 |
, |
(2.81) |
|||
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
2 |
|
|
4 |
4 |
|
|
||||
где Aυ и A — амплитуды скорости и смещения в системе. Учитывая, |
|||||||||||
что Aυ = ωA , можно переписать выражение (2.81) в виде: |
|
||||||||||
EК |
+ EП = |
m |
(ω2 |
+ ω02 )A2. |
(2.82) |
||||||
|
|||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что слагаемое с ω2 определяет среднее значение кинетиче- ской энергии, а слагаемое с ω20 — среднее значение потенциальной энергии. Обе энергии равны между собой только в случае, когда
ω= ω0 .
Вустановившемся режиме среднее значение энергии EК + EП
есть величина постоянная, поэтому d( EК + EП )/dt = факт, согласно выражению (2.78) имеем
W = |
Aυ2 |
R = |
ω2A2 |
R. |
|
2 |
2 |
||||
|
|
|
0 . Учитывая этот
(2.83)
Понятно, что формулы (2.80) и (2.83) совпадают, поскольку согласно (2.71) амплитуда скорости Aυ = F0 Z .
Значение среднего за период потока мощности от источника к системе в установившемся режиме колебаний определяется демпфи- рованием (R). Как правило, считается, что потери энергии на преодо- ление сопротивления являются вредными. Фактически же это не все- гда так. В акустических системах введением демпфирования R часто моделируют процессы, связанные с излучением звука колебательной системой. В этом случае в системе за период теряется мощность, свя- занная с мощностью, которая переносится созданными звуковыми волнами. Это обстоятельство обусловливает специальные названия, принятые в акустике, для двух составляющих мгновенного потока мощности в (2.76). Для синфазной (скорость—сила) составляющей W (t) ~ 2δω2cos2 (ωt) принято название активная мощность. Состав- ляющая, которая отвечает за часть колебательного движения, где си- ла и скорость имеют сдвиг фазы на 90°, называется реактивной мощностью. При сравнении (2.76) и (2.69) оказывается, что активная мощность пропорциональна действительной части импеданса, а реак- тивная — мнимой. В связи с этим вводятся понятия активной (Re Z)
и реактивной (Im Z ) частей импеданса.
63
Рис. 2.13. Кривая поглощения осциллятора
На рис. 2.13 изображена кривая зависимости W от частоты ω
внешней силы. По аналогии с рис. 2.11 этот рисунок характеризует реакцию осциллятора на действие внешней силы. Изображенная кри- вая называется кривой поглощения осциллятора. Острота максимума определяется коэффициентом демпфирования R. Максимум приходит-
ся на частоту резонанса скорости ω0 , когда энергия, которая отнима-
ется системой у внешней силы, максимальна. Если система высоко- добротная и частота ω близка к частоте ω0 , то амплитуды скорости
Aυ и смещения A приобретают большие значения, что обуславливает
значительное накопление энергии. При этом средний поток мощностиW наибольший, и внешняя сила выполняет наибольшую работу по
преодолению сил демпфирования; это происходит при совпадении направления движения в системе и действия внешней силы (разность
фаз между ξ(t) и F(t) равна нулю). Наоборот, когда ω существенно от- личается от ω0 , направление движения в системе в течение одной
части периода колебаний совпадает с направлением внешней силы, а в течение другой части периода противоположно ему. Внешняя сила вы- полняет как положительную (W > 0), так и отрицательную (W < 0) рабо- ту, и за весь период робота будет небольшой, т.е. происходит энергооб- мен между источником и системой. Таким образом, с энергетической точки зрения явление резонанса обусловлено тем, что при совпадении частот ω и ω0 реактивная мощность равна нулю, тогда имеем наи-
лучшие условия для перехода энергии от источника к системе. Явление резонанса можно рассматривать как случай, когда под действием гар- монической внешней силы система выполняет почти собственные ко- лебания. При этом роль внешней силы сводится главным образом к компенсации действующих в системе сил демпфирования.
Интересно отметить, что накопленная энергия EК + EП по срав- нению с работой W T , которую выполняет внешняя сила за период
64
колебаний T = 2πω , характеризует добротность системы. Действи- тельно, в соответствии с (2.82) и (2.83) имеем
E |
|
+ E |
|
|
|
m (ω2 |
+ ω02 )A2 |
|
ω2 |
+ ω2 |
|
|
К |
|
П |
|
= |
4 |
|
= |
|
0 . |
(2.84) |
|
|
|
ω2 |
2 2π |
|
||||||
|
W Т |
|
|
|
|
2π2ω2δ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 A R ω |
|
|
|
|
Как видим, отношение EК + EП зависит от частоты ω. Но вблизи резо-
W T
нансной частоты, когда ω ≈ ω0 , выражение (2.84) с учетом (2.61) приоб- ретает вид
EК + EП = |
1 |
ω0 = |
Q |
. |
(2.85) |
|
|
||||
W Т |
2π 2δ |
2π |
|
||
Соотношение (2.85) позволяет определить добротность системы Q, ес- |
|||||
ли известны энергия колебаний EК + EП |
и затраты энергии ( W T ) |
за период, которые расходуются на преодоление сил демпфирования. Пример 2.6. При каком отклонении от резонансной частоты энер- гия вынужденных колебаний осциллятора уменьшается в два раза,
если добротность системы Q равна 50 или 500?
Решение. На рис. 2.13 частоты ω1 и ω2 — это те самые частоты, ко- торые были введены при определении добротности (см. рис. 2.11).
Итак, ω1,2 = δ + |
δ2 + ω02 . Разделив это выражение на |
ω0 , а также |
||||||||||||||
учитывая равенство Q = ω |
2δ, имеем |
|
ω1,2 |
= |
1 |
+ 1 + |
|
1 |
. Пре- |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
ω0 |
|
|
2Q |
|
|
(2Q )2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
небрегая малыми величинами порядка |
1 |
|
по сравнению с единицей |
|||||||||||||
Q2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(Q >>1), получаем |
|
ω1,2 |
≈1 |
1 |
. Итак, |
при Q = 50 |
(данная величина |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
ω |
2Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
не очень велика) энергия вынужденных колебаний уменьшается в 2 раза при отклонении частоты внешней силы на 1% от частоты ω0, при
Q= 500 — на 0,1%.
2.4.Примеры колебательных систем с двумя степенями свободы
В предыдущих параграфах изучалось поведение колеба- тельных систем с одной степенью свободы. Полученные знания служат основой для изучения более сложных механических и акустических
65
систем, которые имеют две и более степеней свободы. Их число опре- деляется количеством независимых переменных (обобщенных коорди- нат), которые необходимы для полного описания движения системы. Сосредоточим внимание на изучении системы с двумя степенями сво- боды. Примеров таких систем можно привести множество. Некоторые из них представлены на рис. 2.14. Важным моментом при изучении сложной системы есть возможность рассматривать ее как систему, ко- торая состоит из отдельных подсистем с одной степенью свободы, свя- занных одна с другой. Например, систему, изображенную на рис. 2.14, а, можно рассматривать как систему, состоящую из двух осциллято- ров, соединенных между собой с помощью пружины. Отдельные сис- темы с одной степенью свободы, из которых составляется исследуемая система, называют парциальными. Принятый способ выделения пар- циальных систем определяет и выбор обобщенных координат для опи- сания движения. Например, для системы на рис. 2.14, б — это углы θ1 и θ2. Следует отметить, что выделенные парциальные системы в этом случае имеют общий элемент — пружину, которая соединяет маятни- ки. Выбор парциальных систем (как и обобщенных координат) неодно- значный. Так, для системы на рис. 2.14, в равноправными есть такие пары координат: x1, x2 и x0, θ.
Рис. 2.14. Примеры колебательных систем с двумя степенями свободы
Соответствие между парциальными системами и обобщенными координатами устанавливается таким образом: парциальная система, которая соответствует данной координате, образуется из полной сис- темы в ситуации , когда все координаты системы, кроме данной,
66
равны нулю (т.е. неподвижны). При этом нулевое значение обобщен- ных координат отвечает положению равновесия. Для системы на рис. 2.14, в обобщенным координатам x1 и x2, соответствуют такие парци- альные системы: для x1 — это вращение балки вокруг точки 2 закреп- ленного конца пружины K2, для x2 — это вращение балки вокруг точ- ки 1 закрепленного конца пружины K1 . Координаты x0, θ определяют такие парциальные системы: x1 — поступательное вертикальное дви- жение балки; θ — вращательное движение вокруг оси, которая прохо- дит через центр масс балки.
2.5. Свободные колебания в системе с двумя степенями свободы
Колебания системы с двумя степенями свободы исследуем на модели (рис. 2.15), которая состоит из двух масс m1 и m2, двух пружин K1 и K2 и соединяющей пружины K3 . Пусть демпфирование в
системе отсутствует. При нахождении смещений масс m1 и m2 с по- мощью обобщенных координат x1 и x2 получаем следующие парциаль- ные системы:
1)масса m1 закреплена между пружинами K1 и K3;
2)масса m2 закреплена между пружинами K2 и K3.
Рис. 2.15. Колебательная система
Рассмотрим свободные колебания исходной системы. Наличие двух степеней свободы приводит к появлению двух уравнений, кото- рые описывают движение системы. Первое уравнение будем иметь, используя второй закон Ньютона, в проекции на горизонтальную ось для массы m1: m1x1 = F , где F — сумма двух сил: силы упругости пру-
жины K1, равной |
K1x1 , и силы упругости |
пружины K3, равной |
K3 (x1 − x2 ). Итак, |
m1x1 = −K1x1 − K3(x1−x2 ). |
Аналогично, уравнение |
движения массы m2 приобретает вид m2x2 = −K2x2 − K3 (x2 − x1). Пе-
репишем полученные уравнения:
m1x1 + (K1 + K3 )x1 − K3x2 = 0, m2x2 + (K2 + K3 )x2 − K3x1 = 0
или
67
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
K3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x |
+ ω |
x |
|
|
− |
|
|
|
x |
2 |
= 0, |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
x |
|
|
|
|
K3 |
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
+ ω |
|
|
− |
|
|
|
= 0, |
(2.86) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
||||
2 |
|
K1 + K3 |
2 |
|
|
K |
2 + K3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где ω |
= |
|
и ω |
= |
|
|
|
|
|
|
|
— собственные частоты первой и |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
m1 |
2 |
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
второй парциальных систем. При дальнейшем изложении для опреде- ленности будем считать, что ω1 ≤ ω2 .
Уравнения (2.86) описывают свободные колебания системы с дву- мя степенями свободы. Чтобы выделить конкретную колебательную ситуацию, необходимо задать начальные условия:
x (0) = x(0), |
x (0) = υ , |
|||||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
||
x |
|
(0) = x(0), |
x |
|
(2.87) |
|
2 |
2 |
(0) = υ . |
||||
|
|
2 |
|
2 |
2.5.1. Нормальные колебания
Система дифференциальных уравнений (2.86) имеет толь- ко четные производные от искомых функций. В связи с этим ее мож- но свести к алгебраической системе, используя в качестве пробных решений выражения
x1(t) = a cos(ωt − ϕ1), |
x2(t) = b cos(ωt − ϕ2 ), |
|
или |
|
|
x1(t) = A1 exp(−iωt ), |
x2(t) = A2 exp(−iωt ). |
(2.88) |
Последние выражения более удобны с точки зрения учета фазовых соотношений, их и будем использовать. При этом, конечно, физиче- ское содержание в полученном комплексном решении будет иметь его действительная часть.
Выражение (2.88) имеет три произвольные величины: A1, A2, ω. Их нужно выбирать так, чтобы эти выражения удовлетворяли исходной системе уравнений (2.86). После подстановки (2.88) в (2.86) и сокра-
щения на exp(−iωt ) получаем такую систему линейных алгебраиче- ских уравнений:
(ω12 − ω2 )A1 − Km3 A2 = 0, 1
68
|
K3 |
|
(2.89) |
|
− |
A1 + (ω22 |
− ω2 )A2 = 0. |
||
|
||||
m2 |
|
|
Соображения, которые обусловили выбор искомого решения в ви- де (2.88), носили формальный математический характер. Искомое решение — периодические функции от времени — не соответствует интуитивному представлению о разнообразии возможных типов дви- жения в системе с двумя степенями свободы. В связи с этим можно говорить, что на данном этапе мы стараемся найти достаточно ча- стный случай движения системы — периодическое движение.
Система уравнений (2.89) является линейной и однородной отно- сительно неизвестных величин A1 и A2. Нетривиальное решение такой системы существует только при условии равенства нулю ее определи- теля. Это условие приводит к такому уравнению для определения час- тоты возможного периодического движения в системе:
(ω12 − ω2 )(ω22 − ω2 )− μ4 = 0, |
μ4 = |
K32 |
. |
(2.90) |
|||
|
|||||||
|
|
|
|
|
m1m2 |
|
|
Коэффициент |
|
|
|
|
|
|
|
μ2 = |
K3 |
|
|
|
|
|
(2.91) |
m m |
2 |
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
называют коэффициентом связи, поскольку в формуле присутствует жесткость соединительной пружины K3, которая определяет упругие силы связи между парциальными системами.
Характер решений этого уравнения проще интерпретировать гео-
метрически. На рис. |
2.16 |
изображен график функции |
|
g (ω2 )= (ω12 − ω2 ) (ω22 − ω2 )− μ4 . |
Посколькуg (ω12 )< 0, g (ω22 )< 0 |
и |
|
g (0) > 0 , g (ω2 )→ ∞ при |
ω2 → ∞ , |
уравнение g (ω2 )= 0 всегда имеет |
два действительных корня, которые далее будем обозначать ω2− и ω2+ . Как правило, больший корень уравнения превышает значение квад- рата большей парциальной частоты ω2+ > ω22 . Для меньшего корня
ω2 |
всегда выполняется неравенство |
ω2 < ω12 |
. Уравнение (2.90) до- |
|||
− |
|
|
|
− |
|
|
вольно простое, и его решение запишем так: |
|
|
||||
|
ω2± = |
ω12 + ω22 |
± 1 (ω22 |
− ω12 )2 + 4μ4 . |
(2.92) |
|
|
|
|||||
|
2 |
2 |
|
|
|
69
Рис. 2.16. График функции g (ω2 )
Таким образом, в рассмотренной системе с двумя степенями сво- боды возможные два периодические движений с частотами ω− и ω+ .
Эти частоты определяются только внутренними свойствами колеба- тельной системы, и их можно назвать ее собственными частотами, а соответствующие колебания — собственными колебаниями. Эти осо- бые типы свободного движения в системе называют также нормаль- ными колебаниями, или модами. Каждое нормальное колебание ха- рактеризуется не только соответствующим значением частоты, а и соотношением амплитуд колебаний, которые определяются равенст- вами (2.89). Так, для нормального колебания с частотой ω+ из первого
уравнения (2.89) имеем
+ |
+ K3 |
||
A1 |
= A2 |
|
. |
m(ω12 − ω2+ ) |
Поскольку определитель системы (2.89) равен нулю, такая же связь между значениями A1+ и A2+ вытекает и из второго уравнения (2.89).
Итак, исходная система имеет два периодические решения:
x− (t ) = A− exp(−iω t ), |
x− (t ) = A− exp(−iω t ); |
||||
1 |
1 |
− |
2 |
2 |
− |
(2.93)
x1+ (t ) = A1+ exp(−iω+t ), x2+ (t ) = A2+ exp(−iω+t ).
Амплитудные характеристики таких движений произвольные. Теория дифференциальных уравнений обосновывает утверждение о том, что представление искомых функций в виде
x |
(t ) = x− (t )+ x+ (t ), |
x |
2 |
(t ) = x− (t )+ x+ (t ) |
(2.94) |
||
1 |
1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
70