Основы_акустики_Гринченко_Вовк

где ψ и ϕ — произвольные, непрерывные, двукратно дифференци- руемые функции своих аргументов. Из этого математического факта можем сделать важный физический вывод. Если струна выведена из положения равновесия, а потом оставлена в свободном движении, то в любой момент времени положения ее точек будут определяться суммой двух функций со специальными аргументами:

Формулу (3.11) называют решением Д’Аламбера. Нетрудно убедиться, что выражение

где a — постоянная величина, также является решением (3.7). Выясним физическое содержание функций в (3.11). Рассмотрим,

например, функцию ϕ(x −ct) в некоторой фиксированной точке x = x1

в момент времени t = t1 (рис. 3.2). Затем в момент времени t2 = t1 + t будем проводить наблюдение в точке x2 = x1 + x. Очевидно, что вы- полняется равенство x1 – ct1 = x2 – ct2, если t2 = t1 + xc . Это означает,

что возмущенное состояние в струне, которое наблюдается в точке x1 в момент t1, будет оставаться таким же самым в точке x2 = x1 + x через интервал времени t = x/c (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Графики перемещения возмущения вдоль струны

Итак, функция ϕ(x −ct) описывает распространение возмущенного

состояния по струне в направлении увеличения x со скоростью c. Аналогично, функция ϕ(x +ct) описывает перенесение состояния в

направлении уменьшения x с такой же скоростью c. Физическое яв- ление, которое описывается такой математической зависимостью,

101

называется бегущей волной. Еще раз подчеркнем, что функции ϕ и ψ есть произвольные, т.е. вдоль струны распространяется возмущение любого профиля, сохраняя этот профиль на протяжении всего време- ни распространения. Аргументы функций ϕ и ψ (x −ct) и (x + ct) , ко-

торые однозначно определяют отклонение точек струны от положения равновесия, называют фазой волны. Поскольку профиль волны на струне не изменяется в процессе движения волны, то любая точка профиля волны однозначно определяется значением фазы, которая

должна остаться неизменной θ(x,t) = x −ct = const , или ddtθ = dxdt −c = 0 .

Отсюда скорость любой точки профиля волны на струне, т.е. скорость распространения фазы возмущения, а следовательно, и самой волны, равна постоянной c :

Скорость υф называют фазовой скоростью волны на струне. Та-

ким образом, соотношение (3.11) показывает, что в определенный момент времени возмущение в струне, которое свободно движется, есть сумма (физики говорят суперпозиция, интерференция) двух бе- гущих волн.

Как уже говорилось, постоянная с зависит лишь от внутренних па- раметров системы F и ρ. Кроме скорости распространения возмуще- ний, важной характеристикой процесса является скорость частичек струны. Ясно, что скорость частичек в каждый момент времени в данной точке определяется соотношением

Скорость движения частичек струны направлена перпендикуляр- но к равновесному положению. Волновое возмущение распространя- ется вдоль струны. Такое соотношение между направлением распро- странения возмущений и скоростью (направлением) движения части- чек в струне обуславливает то, что волны, которые распространяются в ней, называются поперечными.

Далее следует определить вид функций ϕ и ψ в (3.11) по заданному начальному состоянию струны. Это состояние определяется значени- ем в начальный момент времени t = 0 начального отклонения и на- чальных скоростей точек струны:

что свидетельствует о принадлежности функции Q1(x) к классу дву- кратно дифференцируемых функций.

Рис. 3.3. Начальная форма отклонения на струне

Рис. 3.4. Графики перемещения возмущения на струне в разные моменты времени: а — t = 1, б —t = 2

Если начертить форму струны при t > 0, то согласно формуле Д'- аламбера (3.21) имеем y(x,t) = 12Q1(x −ct) + 12Q1(x +ct). Итак, один пик

начального возмущения (рис. 3.3) распался на два пика высотой в два раза меньше начального, которые перемещаются вправо и влево со скоростью с (рис. 3.4, здесь c = 1). Попробуйте начертить форму стру-

ны при t =14, t =12, t = 3 .

Далее рассмотрим, как развивается волновое движение в струне, вызванное ударом или, правильнее, равномерным распределением скорости на некотором конечном участке струны (рис. 3.5); при этом начальное отклонение Q1(x) будет равно нулю. Согласно формуле Д'-

ние функции Ф(x) приведено на рис. 3.6.

Начертим форму струны при t > 0, пусть c = 1. Полученное реше- ние означает, что график функции Ф(x) нужно сместить вправо и влево, а результаты вычесть (рис. 3.7). Далее эта трапеция будет пе- ремещаться вправо и влево со скоростью c = 1. Начертите форму стру-

ны при t = 1/4, t = 1/2, t = 3.

Рис. 3.7. Графики перемещения возмущения на струне в разные моменты времени: а — t = 1, б — t = 2

Следует отметить существенную разницу в распространении воз- мущения вдоль струны в случае, когда задано начальное отклонение (рис. 3.4) и, соответственно, начальная скорость (рис. 3.7). Пусть име- ем некоторую точку наблюдения x* на струне, которая находится вне зоны начального возмущения (рис. 3.3 и 3.5), скажем, в области x > 0. Согласно рис. 3.4 точка x* будет неподвижной пока к ней не дойдет передний фронт возмущения, которое перемещается в положитель- ном направлении оси Ox со скоростью c. Передний фронт волны на струне в заданный момент времени t есть точка, которая отделяет

105

точки, которые еще не начали колебаться, от точек, которые уже ко- леблются. Задний фронт волны в заданный момент t есть точка, ко- торая отделяет точки, которые еще колеблются, от точек, в которых колебания прекратились. Когда через точку x* на рис. 3.4 пройдет задний фронт возмущения, то она станет неподвижной. Таким обра- зом, начальное возмущение (рис. 3.3), которое локализовано в про- странстве (на струне), обусловит в каждой точке x* струны простран- ственное действие, локализованное во времени. При этом происходит распространение волны с четко определенными передним и задним фронтами.

Другая ситуация будет наблюдаться, когда задана начальная ско- рость (рис. 3.7). В этом случае имеем два передних фронта возмуще- ния, которые перемещаются вдоль струны со скоростью с вправо и влево, соответственно. За передним фронтом наблюдается возмуще- ние во все последующие моменты времени (в данном случае оно по- стоянное, рис. 3.7), а задний фронт отсутствует. Итак, начальное возмущение, которое локализовано в пространстве (рис. 3.5), не лока- лизовано во времени для любой точки x* струны.

При качественном анализе кинематической картины поведения струны на рис. 3.2-3.7 нужно обратить внимание еще на такое об- стоятельство. В обоих случаях возмущения волн отсутствует пере- ход точек струны через положение равновесия. В случае статиче- ского начального отклонения во время движения точки струны до- ходят до положения равновесия и в дальнейшем остаются в со- стоянии покоя. При задании начальной скорости во время движе- ния точки струны достигают определенного максимального откло- нения от положения равновесия и дальше остаются в состоянии покоя. Такое поведение точек струны находится в противоречии с повседневным опытом и жизненными наблюдениями. Это противо- речие легко устранить, учитывая, что на практике мы имеем дело всегда с конечной струной, закрепленной на концах. Поведение волны в струне при отражении от закрепленного сечения, т.е. сече- ния, в котором всегда y(x,t) = 0 , рассмотрим на примере полубеско-

нечной струны.

3.3.2. Волновое движение в полубесконечной струне

Итак, постановка задачи такова: построить решение вол- нового уравнения (3.7) при начальных условиях (3.15), заданных на пространственном интервале (0,∞), и с учетом условия в точке закре- пления струны x = 0. Условие в точке x = 0 называют граничным и оно заключается в равенстве нулю смещения частичек струны при x = 0 в любой момент времени, т.е.

106

Как применить решение Д’Аламбера (3.11) для бесконечной стру- ны в случае полубесконечной струны с граничным условием (3.22)? На помощь приходят такие соображения: пусть струна будет беско- нечной, а точка x = 0 будет обычной точкой на струне. Обозначим y(x,t) — решение для бесконечной струны. Тогда, чтобы волновые

процессы в бесконечной струне в интервале (0,∞) отвечали волновым процессам в реальной полубесконечной струне с граничным условием (3.22), нужно определить начальные условия на бесконечной струне таким образом, чтобы равенство y(0,t) = 0 выполнялось для любого

момента времени. Выполнение этого равенства для бесконечной струны отвечает условию (3.22) для полубесконечной струны. При та- ких условиях искомое решение y(x,t) для полубесконечной струны

определяется так: y(x,t) ≡ y (x ≥ 0,t ).

Рис. 3.8. Начальная форма отклонения на полубесконечной струне

Рис. 3.9. Начальная форма отклонения на бесконечной струне

Итак, определение начальных условий для бесконечной струны связано с продолжением функций Q1(x) и Q2(x) на интервале (–∞,0). Рассмотрим задачу, когда задано начальное отклонение Q1(x) (рис. 3.8), а начальная скорость Q2 (x) = 0. Соответствующее решение y(x,t)

для бесконечной струны определим при нечетном продолжении функции Q1(x) (рис. 3.9):

107

Рис. 3.10. Графики перемещения возмущения на струне в разные моменты времени:

а — t = 1, б — t = 2, в — t = 3, г — t = 3,5, д — t = 4, е — t = 5

Точка x = 0 на бесконечной струне есть обычная точка струны, но для которой, согласно (3.22), выполняется условие y(0,t) = y(0,t) = 0

108

для t ≥ 0 . Решение Д’Аламбера (3.21) описывает движение в беско-

На рис. 3.10 при скорости c = 1 показана форма струны в разные моменты времени t > 0; стрелки указывают направление движения возмущений. Начало процесса полностью отвечает случаю бесконеч- ной струны: начальное отклонение разделяется на две бегущие волны, которые распространяются в разные стороны. Итак, образуется че- тыре волны, две из которых движутся к точке x = 0. При их прохож- дении через точку x = 0 происходит процесс наложения волн. На рис.3.10, в (t = 3) показано, что возмущения на физической (x ≥ 0) и нефизической (x < 0) частях струны подошли к точке x = 0. Как ви- дим, и далее точка x = 0 остается неподвижной. Так, на рис. 3.10, д отклонение на отрезке х = [–1,1] равно нулю, стрелками показаны скорости точек струны. Смещение точки x = 0 всегда равно нулю, по- скольку две волны полностью гасят друг друга. Потом, после того, как волны пройдут одна сквозь другую, волна, которая раньше была на нефизической части струны, перейдет на физическую часть струны, и наоборот (рис. 3.10, е). Начертите форму струны при t = 3,25.

Возвращаясь к полубесконечной струне, можно отметить, что вол- на, которая падает на препятствие справа, отражается от препятствия в точке x = 0 и перемещается в противоположном направлении, сохра- няя при этом свою первоначальную форму, но изменяя знак. Другими словами, фаза волны изменила свой знак. Таким образом, наличие граничного условия при x = 0 приводит к возникновению отраженной волны. Понятно, что вид отраженной волны будет определяться гра- ничными условиями в точке x = 0.

Аналогично рассмотрим случай, когда начальное отклонение Q1( x) = 0, а задана начальная скорость Q2( x) (рис. 3.11). Вновь опре- делим начальные условия для бесконечной струны, используя нечет- ное продолжение функции Q2( x) для x < 0 (рис. 3.12):

Решение для бесконечной струны, согласно формуле (3.21), имеет вид

Φ(x ) представлен на рис. 3.13. На рис. 3.14 показана форма струны при t > 0 и c = 1. Можно видеть, что форма струны в некоторый мо-

распространяется вправо, а на нефизической (x < 0 ) — влево. Гра- ничное условие (3.22) выполняется для любого момента времени t ≥ 0. Нарисуйте форму струны при t = 3,5; t = 4,5.

Рис. 3.11. Начальное распределение скорости в полубесконечной струне

Рис. 3.12. Начальное распределение скорости в бесконечной струне

Рис. 3.13. График функции Φ(x )

3.3.3. Волновое сопротивление струны

Проведенный анализ показывает, что малые возмущения на струне могут распространяться в виде волн, фазовая скорость которых не за- висит от начальных условий. Для характеристики систем, в которых могут распространяться волны, часто используют величину, в некото- ром смысле аналогичную введенному ранее импедансу колебательной системы. В каждом сечении система с распределенными параметрами характеризуется отношением внутренней силы к скорости движения точки приложения силы. В отличие от рассмотренного ранее импедан- са колебательной системы, который характеризует реакцию системы на внешнюю силу, здесь речь идет о свободных волновых движениях. Такая характеристика сплошной среды называется ее волновым со- противлением. Определим его для струны.

110