Основы_акустики_Гринченко_Вовк

если ImVp < 0, то на расстоянии 0… λ/4 от препятствия получим пер-

вым максимум, ведь, когда векторы 1 и 2 при вращении становятся коллинеарными, их направления совпадают. Если ImVp > 0, то на рас- стоянии 0…λ/4 от препятствия получим первым минимум, поскольку, когда векторы 1 и 2 при вращении становятся коллинеарными, их на- правления противоположны.

Полученные результаты можно положить в основу метода измере- ния коэффициента отражения при нормальном падении звука и аку- стического импеданса материала. Действительно, если плоская зву- ковая волна падает на поверхность, которая характеризуется некото- рым входным импедансом, то из отношения максимума и минимума амплитуд звукового давления имеем модуль коэффициента отраже- ния, а его аргумент можно найти по расстоянию к ближайшему ми- нимуму или максимуму амплитуды звукового давления. Для получе- ния точных результатов измерения звуковые волны должны быть плоскими. Плоские волны легко возбуждаются в трубах с акустически жесткими стенками на частотах, для которых диаметр трубы меньше, чем половина длины волны (см далее параграф 5.10). В такой трубе на одном конце размещают излучатель звука, а на втором — образец исследуемого материала. Существенное преимущество метода — небольшие размеры образцов.

5.8. Входное сопротивление жидкого плоского слоя, опирающегося на препятствие

Изучение процесса падения звуковой волны на слой является очень важной задачей с точки зрения, как теории, так и практики. Действительно, взаимодействие звука со слоем или структурой, кото- рая состоит из нескольких слоев, встречается довольно часто в раз- ных технических устройствах и, наверное, на каждом шагу в при- родной среде.

В этом параграфе рассмотрим нормальное падение плоской гар- монической волны на плоский жидкий слой, который опирается на некоторое препятствие с входным импедансом Z (рис. 5.17). Среда (x < 0) характеризуется плотностью ρ1 и скоростью звука c1, а плоский слой (0 < x < h), соответственно, — ρ2 и c2. Импеданс препятствия Z считаем заданным.

Звуковое давление в волне падающей нормально к слою запишем

231

Рис. 5.17. Пример падающей волны на слой, который опирается на препят- ствие с входным импедансом Z

Процесс прохождения звука через слой можно представить в виде бесконечного процесса отражения и прохождение волны на границах слоя x = 0 и x = h. Тем не менее, математически это выглядит просто:

где амплитуды A1, a1, a2 можно записать в виде бесконечных сумм амплитуд волн, которые возникают вследствие отражения и прохож- дения волны (сделайте вспомогательный рисунок и обдумайте эту си- туацию самостоятельно).

На границах слоя (рис. 5.17) имеем такие граничные условия:

Условия (5.114) и (5.115) определяют равенство давлений и колеба- тельных скоростей на границе x = 0, а условие (5.116) записано со- гласно определению входного сопротивления препятствия Z.

Определим входное сопротивление слоя Zвх, разделив (5.114) на

(5.115):

232

Подставив (5.113) в (5.116), получим такое соотношение между ам- плитудами a1 и a2:

С учетом (5.119) формула (5.118) после ряда преобразований примет вид

Итак, (5.120) определяет входной импеданс слоя, который опира- ется на препятствие с входным импедансом Z. Согласно (5.101) и знания Zвх полностью определяем поле перед препятствием. Как ви- дим, в общем случае Zвх — комплексная величина, причем независи- мо от Z входной импеданс слоя Zвх является периодической функцией волновой толщины слоя k2h = 2πh/λ2, где λ2 — длина звуковой волны в среде слоя.

Рассмотрим некоторые частные случаи. Пусть препятствием явля- ется другая среда с параметрами ρ3 и c3, тогда Z = ρ3c3. В этом случае

Интересной и важной является такая задача: найти условия полного прохождения звука из одной среды в другую через слой толщиной h.

Существует две возможности, при которых равенство (5.122) будет справедливым:

1) если tg(k2h) = 0, то k2h = nπ, n = 1,2,…; 2πh/λ2=nπ, h=nλ2/2, имеем

ρ1c1 = ρ3c3. Таким образом, если слой разделяет среды с одинаковыми

233

удельными акустическими сопротивлениями (ρ1c1 = ρ3c3), то полное прохождение звука через слой будет иметь место при толщине h, ко- торая кратна целому числу полуволн в слое. На рис. 5.18 в соответст- вии с (5.101) и (5.121) изображены зависимости модуля коэффициен- та отражения

как функции волновой толщины слоя при разных значениях величи- ны q = ρ2c2 /ρ1c1. Если на толщине слоя укладывается целое число по- ловин длин волн λ2/2, отражение не наблюдается и звук проходит сквозь слой полностью, т.е. слой становится звукопроницаемым. При этом, чем больше значение q, тем более резко изменяется модуль |Vp| в области звукопроницаемости слоя, т.е. при значительных величинах q малые изменения толщины слоя резко ухудшают эффект звукопро- зрачности слоя;

Рис. 5.18. Зависимость |Vp| от h/λ2 для разного значения q при ρ1c1 = ρ3c3:

1 — q = 1,3; 2 — q = 2,5; 3 — q = 10

2) если tg(k2h) = ∞, то k2h = (2n – 1)π/2, n = 1,2,…, h=(2n–1)λ2/4,

имеем ρ2c2 = ρ1c1ρ3c3 , т.е. полное прохождение звука будет наблюдать- ся при толщине слоя, которая кратна нечетному числу четверти длины волны в слое и при ρ2c2 = ρ1c1ρ3c3 . Таким образом, подбирая пара-

метры слоя ρ2, c2, h, можно решить важную практическую проблему полного прохождения звуковой энергии из одной среды в другую, па- раметры которых (плотность и скорость звука) разные. Отметим, что если акустические сопротивления сред ρ1c1 и ρ3c3 существенно разли- чаются, то малые изменения толщины слоя служат причиной резкого снижения звукопроницаемости слоя.

Теперь рассмотрим два особых случая. Пусть за слоем будет ваку- ум, т.е. Z = 0, тогда согласно (5.120) Zвх = –iρ2c2tg(k2h). Как видим,

234

входной импеданс слоя чисто мнимый и отрицательный. Если волно- вая толщина k2h = 2πh/λ2 << 1, то tg(k2h) ≈ k2h, тогда

где (ρ2h ) — поверхностная плотность слоя. Вспомним механическую

колебательную систему с одной степенью свободы: такой характер ее механического импеданса указывает на то, что система управляется массой. По аналогии с механической колебательной системой говорят, что слой ведет себя как сосредоточенная масса. Пусть за слоем суще- ствует абсолютно жесткая преграда, т.е. Z = ∞. Тогда Zвх = iρ2c2 ctg(k2h)

— импеданс чисто мнимый и положительный. Если k2h << 1, то

где χ = ρ2c22 — модуль упругости среды слоя; χ/h —приведенная же-

сткость слоя. Итак, по аналогии с механической колебательной систе- мой с одной степенью свободы говорят, что слой ведет себя как со- средоточенная упругость.

5.9. Прохождение звуковой волны через жидкий плоский слой

Рассмотрим случай наклонного падения плоской звуковой волны на жидкий плоский слой, который разделяет акустическую среду на две области. Отметим, что решение такой задачи можно ис- пользовать для расчета коэффициента прохождения звука через слои, среды, которых хотя и являются твердыми телами, но по акустиче- ским характеристикам ведут себя как жидкость, т.е. в них практиче- ски отсутствуют волны сдвига. К таким материалам принадлежат, например, резина и некоторые мягкие пластмассы [60, с. 206-212].

5.9.1. Постановка и решения задачи

Пусть на слой идеальной жидкости с параметрами ρ2 и c2 под углом θ падает плоская гармоническая волна с частотой ω. Оба полупространства, которые разделяет слой, заполнены средой с па- раметрами ρ1 и c1. Как и в предыдущей задаче, в слое образовыва- ется система отраженных волн, направление которых обусловлива- ется углом θ2 (рис. 5.19, а). Угол θ2 определяется в соответствии с соотношению (5.43), а именно

235

Рис. 5.19. Пример падающей волны на плоский жидкий слой

Обозначим сумму всех бегущих волн, которые распространяются в слое в направлении, образующем острый угол с осью Oy, через p′, а сумму волн, направление распространения которых образует тупой угол с осью Oy, — p′′ (рис. 5.19, б).

Запишем звуковое давление падающей p0, отраженной p1 и про- шедшей p2 волн в виде

p0 = exp(−i (ωt −k1x sinθ −k1y cos θ)), p1 =V exp(−i (ωt −k1x sinθ +k1y cos θ)),

где V — коэффициент отражения; W — коэффициент прохождения. Поле рш в слое запишем в виде суммы волн р′ и р′′ (см. рис. 5.19, б):

pсл = C exp(−i (ωt −k2x sin θ2 −k2y cos θ2 )) +

На границах слоя должны выполняться равенства звуковых давлений и колебательных скоростей

236

ется близи области максимального прохождения звука; при δ = 0 (слой без поглощения) имеем |W| = 1. Это явление можно назвать простран- ственным резонансом слоя. Вообще в зоне резонансов влияние погло- щения наиболее весомое, что отмечалось при изучении системы с од- ной степенью свободы при наличии демпфирования. Но при δ > 0,1 поглощение существенно влияет на коэффициент прохождения звука даже при относительно малых волновых размерах слоя. Можно ска- зать, что при δ > 0,1 резонансные явления в слое практически отсутст- вуют.

Из сравнения кривых на рис. 5.20, а, б видно, что чем больше различие в волновых сопротивлениях ρ2c2 и ρ1c1, тем более вырази- тельный характер имеют резонансные эффекты звукопроницаемо- сти слоя. Другими словами при значительном отличии ρ2c2 от ρ1c1 незначительное отклонение от резонансной толщины k2h = nπ, n = 1,2,…, приводит к существенному уменьшению коэффициента прохождения звука. Подобную зависимость мы уже наблюдали при анализе рис. 5.18.

5.9.3. Прохождение звука через слой при закритических углах падения волны

Возвратимся к общим формулам (5.133) при наклонном падении волны на слой без поглощения. Рассмотрим ситуацию, когда c2 > c1, здесь справедливо неравенство θ2 > θ и критический угол па- дения θкр = arcsin(c1/c2). На границе раздела двух полубесконечных сред при θ > θкр происходит полное внутреннее отражение падающей волны (см. параграф 5.5). Оказывается, что при закритических углах падения волны на слой конечной толщины полное отражение не на- блюдается.

В этом не сложно убедиться. При наклонном падении волны на границу раздела двух сред при углах падения θ < θкр бегущая волна во второй среде имеет вид exp(–i(ωt – k2x sinθ2 – k2y cosθ2)), или с учетом соотношения (5.126)

Это неоднородная волна, которая представляет собой бегущую волну вдоль оси Ox с фазовой скоростью

239

при этом вдоль оси Oy амплитуда волнового процесса затухает по экспоненциальному закону. Сравнивая (5.138) и (5.139), можно отме- тить, что формально выражение для неоднородной волны можно по-

Перед корнем квадратным поставлен именно знак плюс, поскольку при этом обеспечивается уменьшение амплитуды волны при удале- нии от границы x = 0 вдоль положительного направления оси Oy

(рис. 5.19).

Согласно полученным результатам звуковое поле в слое при θ > θкр

Итак, поле в слое можно представить в виде двух неоднородных волн бегущих вдоль оси Ox (рис. 5.19). При этом амплитуда первой волны вдоль оси Oy затухает от границы y = 0 к y = h, а для второй — наобо- рот, амплитуда затухает от границы y = h к y = 0. Понятно, что при y = h формула (5.142) будет определять распределение давления с

Такое же пространственно-временное распределение давления, но с другой амплитудой, имеет след падающей волны p0 (см. (5.127)) на границе y = 0. Отсюда понятно, что в полупространстве y > h под уг- лом θ к оси Oy будет распространяться однородная плоская волна p2 (см. (5.127)), которая определяет поток энергии в среде y > h при углах падения θ падающей волны p0, больших, чем критический: θ > θкр.

240