Основы_акустики_Гринченко_Вовк
.pdf
ловые линии совпадают с контуром мембраны. На рис. 3.23, а изо- бражена мембрана, когда все ее точки достигают наибольшего откло- нения вверх. Потом все отклонения уменьшаются и становятся рав- ными нулю, после чего мембрана начинает прогибаться вниз.
Рис. 3.23. Собственные формы первых четырех нормальных колебаний прямоугольной мембраны (стрелки указывают на узловые линии)
Рассмотрим теперь нормальное колебание w21(x, y, t). Узловые линии определяются из уравнений sin(2πx/lx) = 0 и sin(πy/ly) = 0. Кроме линий контура, это будет отрезок прямой x = lx/2. При условии 0 < x < lx/2 функция sin(2πx/lx) положительная, а при условии lx/2 < x < lx — отрицательная. Поэтому левая и правая половины мембраны будут прогибаться в разные стороны (рис. 3.23, б). Итак, будет две точки вспучивания. Это точки пересечения прямой y = ly/2 с прямыми x = lx/4, x = 3lx/4. Проанализируйте самостоятельно нормальные колебания w12(x, y, t), w22(x, y, t) (рис. 3.23, в, г).
Для всех нормальных колебаний wnm (x,y,t ) прямоугольной мем-
браны можно выделить такую закономерность: кроме линий контура, количество узловых линий, параллельных оси Oy, равняется (n – 1). Количество узловых линий, параллельных оси Ox, равняется (m – 1). Эти линии разбивают мембрану на nm прямоугольников, причем в двух смежных (тех, что имеют общую границу) отклонения направле- ны в разные стороны. Центр каждого такого прямоугольника являет- ся точкой вспучивания.
Частоты собственных колебаний пропорциональны c = F
ρ , как и в случае струны. Среди набора частот могут быть частоты, кратные
151
основной частоте ω11, но вообще собственные частоты мембраны не находятся в гармоническом соотношении.
Обратим внимание на одну важную особенность колебания мем- браны. При колебаниях струны каждой нормальной частоте соответ- ствует одна собственная форма колебаний, которая целиком опреде- ляет форму струны. При колебаниях мембраны одной нормальной частоте может соответствовать несколько собственных форм. Такие ситуации возникают, когда отношение сторон мембраны равняется целым числам. Пусть, например, lx = 2ly, тогда
ω = πc |
n2 |
+m2 . |
(3.138) |
|
nm |
ly |
4 |
|
|
|
|
|
||
Отсюда имеем ω44 = ω82. И таких ситуаций может быть множество. При рассмотрении нормальных колебаний такие случаи называются
вырожденными.
Эта возможность, однако, не обусловливает какие-либо трудности
впроцессе определения движения мембраны по заданным началь- ным условиям. Степень возбуждения каждой из собственных форм Wnm однозначно определяется заданными функциями Q1(x, y), Q2(x, y)
ввыражении (3.124). Однако при решении важной в инженерном плане задачи экспериментального определения собственных форм колебаний следует помнить об указанной особенности двумерных (пространственных) колебательных систем.
Полученное решение (3.135) представляет собой стоячую волну. Аналогичное решение волнового уравнения для струны (3.53), как бы- ло показано, можно представить в виде суперпозиции двух бегущих волн, которые распространяются в противоположных направлениях. Представим также нормальное колебание мембраны как суперпози- цию бегущих волн. Понятно, что два вида решений являются полно-
стью |
равноправными. |
Используя |
формулу |
Эйлера |
exp(±iξ) = cos ξ ± i sinξ, перепишем решение (3.135) в виде: |
|
|||
|
|
Anm |
|
|
|
|
|
|
w |
= − |
exp −i |
ω |
t |
||||
|
||||||||
nm |
|
4 |
|
|
nm |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
nπx |
− |
mπy |
|
|
ω |
t + |
nπx |
− |
mπy |
|||||
l |
|
l |
|
|
− exp −i |
l |
|
l |
|
||||||
|
x |
|
y |
|
|
|
nmt |
x |
|
y |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
⎟⎥−
|
|
ω |
t − nπx |
+ mπy |
|
|
|
ω |
t + nπx |
+ mπy |
||||
−exp −i |
|
+ exp −i |
||||||||||||
|
|
nm |
l |
x |
l |
y |
|
|
|
nm |
l |
x |
l |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
. (3.139)
А что представляют собой каждое из слагаемых в формуле (3.139)? Очевидно, это обобщение гармонической бегущей волны на двумер- ный случай. Рассмотрим, например, волну
152
|
|
ω |
t − nπx |
− mπy |
|
(3.140) |
||
exp −i |
|
|||||||
|
|
nm |
l |
x |
l |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
с единичной амплитудой. Для характеристики волны введем понятие “фронт волны”. Фронт волны — это (для двумерного случая) линия, вдоль которой точки мембраны колеблются в фазе. Напомним, что фазу колеблющейся точки мембраны определяет функция, которая находится под знаком экспоненты. Отсюда уравнение фронта волны (3.140) имеет такой вид:
nπ x + mπ y − ω t |
0 |
= const, |
(3.141) |
|
lx |
nm |
|
|
|
ly |
|
|
|
|
где t = t0 и фиксирует определенный момент времени. Уравнение (3.141) — уравнение прямой линии [8]. Итак, фронт бегущей волны вдоль мембраны (3.140) — это прямая линия. Запишем (3.141) иначе, что позволит наглядно изобразить направление движения фронта волны; поскольку knm = ωnm/c, то имеем
k |
|
|
nπ |
x + |
|
mπ |
y −ct |
|
|
= const. |
(3.142) |
|
|
|
|
0 |
|
||||||||
l |
k |
l |
k |
|||||||||
nm |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
nm |
|
|
y nm |
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
По аналогии с одномерной волной f(x – ct) первое и второе слагаемые в квадратных скобках должны определить направление движения волны. Действительно, в соответствии с выражением (3.134) knm2 = (nπ/lx )2 + (mπ/ly )2 , поэтому
nπ |
= cos α, |
nπ |
π |
|
|
|
||
|
|
= cos |
|
− α |
= sinα ; |
(3.143) |
||
lxknm |
lyknm |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
||||
это есть проекции единичного вектора N на оси координат Ox и Oy, соответственно, а α — угол между вектором N и осью Ox. Тогда (3.142) перепишем так:
knm(x cosα + y sinα – ct0) = const. |
(3.144) |
Поскольку x и y в (3.144) — это координаты точки наблюдения на фронте волны, то их можно определить как проекции некоторого вектора r, который связывает начало координат и точку наблюдения. Итак, (3.144) определяет скалярное произведение двух векторов
N = {cosα, sinα} и r = {x, y}:
knm (Nr – ct0 ) = knm(x cosα + y sinα – ct0 ) = const. |
(3.145) |
153
Рис. 3.24. Фронты линейчатой волны, которая двигается в направлении вектора N
Согласно (3.145) скалярное произведение векторов N и r есть ве- личина постоянная при перемещении вектора r вдоль фронта волны. Поэтому, вектор N перпендикулярен к линии фронта волны и опреде- ляет тем самым направление движения фронта волны. Укажем, что
r cos (N, r) определяет расстояние вдоль направления вектора N от на-
чала координат к фронту волны. Эти соображения иллюстрирует рис. 3.24.
Таким образом, для прямоугольной мембраны, как и в случае струны,
возникновение стоячих волн можно считать следствием суперпозиции бегущих волн, которые распространяются под разными углами.
3.11.2. Движение мембраны при задании начальных условий
Найдем решение, которое удовлетворяет начальным усло- виям (3.124). Как и для струны, будем искать его в виде ряда, состав- ленного из частных решений (3.136), которые определяют нормаль- ные колебания мембраны. Каждое нормальное колебание зависит от двух индексов — n и m, поэтому нужно записывать двойную сумму:
w (x,y,t ) = |
∞ |
∞ |
|
(x,y) |
a |
cos (ω |
t )+b |
sin(ω |
t ) . |
(3.146) |
∑ |
∑ W |
|||||||||
|
n =1m =1 |
nm |
|
nm |
nm |
nm |
nm |
|
|
|
Если индексы n и m пробегут все значения независимо друг от друга, то будут учтены все нормальные колебания.
Подставив (3.146) в начальные условия (3.124), получим
154
w (x,y,0) |
|
∞ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
= |
∑ |
∑ anmWnm (x,y) = Q1 (x,y), |
(3.147) |
||||||
|
|
|
n =1m =1 |
|
|
|
|
||
∂w (x,y,0) |
= |
|
∞ |
∞ |
ω b W |
(x,y) = Q |
|
(x,y). |
|
∑ |
∑ |
|
(3.148) |
||||||
∂t |
|
||||||||
|
n =1m =1 |
nm nm nm |
|
2 |
|
|
|||
Формулы (3.147) и (3.148) — это разложение функции двух перемен- ных в двойные ряды Фурье. Для определения искомых коэффициен- тов anm, bnm воспользуемся ортогональностью собственных форм пря- моугольной мембраны:
lx ly |
l |
l |
y |
|
|
|
|
|
x |
, n = p, m = q, |
(3.149) |
||
|
4 |
|||||
∫ ∫ |
Wnm (x,y)Wpq (x,y)dxdy = |
|
||||
0 0 |
|
|
|
n ≠ p або m ≠ q. |
|
|
|
0, |
|
|
|||
Убедитесь самостоятельно в справедливости соотношения (3.149). Ис- пользуя (3.149), находим искомые коэффициенты:
a |
= |
4 |
l |
x |
ly |
Q |
(x,y)W |
(x,y)dxdy; |
(3.150) |
|
|
|
∫ ∫ |
||||||||
nm |
|
|
|
1 |
nm |
|
|
|||
|
lxly 0 0 |
|
|
|
|
|||||
|
4 |
|
|
l |
x |
ly |
|
|
|
|
bnm = |
|
|
|
∫ Q2 (x,y)Wnm (x,y)dxdy. |
(3.151) |
|||||
|
|
|
|
|
∫ |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
lxlyωnm 0 0 |
|
|
|
||||||
В качестве примера рассмотрим колебание мембраны, которая в начальный момент t = 0 получила удар, вследствие которого малень- кая площадка вокруг центральной точки начала двигаться вниз. В этом случае начальное отклонение Q1(x, y) везде равно нулю, а на- чальная скорость Q2(x, y) также равна нулю за исключением малой
окрестности вокруг точки x = lx/2, y = ly/2, где Q2 (x,y) = υ0 . Тогда с учетом малости площадки, к которой был приложен удар, искомые
коэффициенты определяются таким образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
anm = 0, |
b |
= |
|
|
|
4 |
lx ly Q |
2 |
(x,y)W |
(x,y)dxdy = |
|
|
4V |
W |
|
lx |
, |
ly |
|
, |
l |
l |
ω |
l |
l |
ω |
|
|
|
||||||||||||
|
nm |
|
∫ ∫ |
nm |
|
nm |
2 2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
y nm 0 0 |
|
|
|
|
x |
y nm |
|
|
|
|
|
|
|
|
lx ly |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ∫ ∫ υ0dxdy =V . Итак, закон движения мембраны (3.146) для опре- |
|||||||||||||
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
деленных выше начальных условий приобретает вид |
(3.152) |
||||||||||||
w (x,y,t ) = |
4V ∑ |
∑ |
1 |
W lx ,ly W |
(x,y)sin(ω t ). |
||||||||
|
|
|
|
∞ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nm |
|
|
|
nm |
nm |
|
|
l |
l |
y n =1m =1 |
ω |
2 |
2 |
|
||||||
|
|
x |
nm |
|
|
|
|
|
|
||||
155
Следует отметить, что в отличие от струны, собственные частоты мембраны не кратны основной частоте ω11. Поэтому движение мем- браны не будет периодическим.
Анализ вынужденных колебаний мембраны полностью аналогичен рассмотрению задачи о вынужденных колебаниях струны (см. пара- граф 3.7), поэтому предлагаем читателю провести его самостоятельно.
3.12. Свободные колебания круглой мембраны
Рассмотрим задачу о колебании круглой мембраны радиу- са а, закрепленной по внешнему контуру. Техника получения реше- ния данной задачи полностью аналогична случаю колебаний прямо- угольной мембраны и базируется на общих свойствах нормальных ко- лебаний.
Для изучения свойств нормальных колебаний круглой мембраны используют полярные координаты r, θ, начало которых размещено в центре окружности контура мембраны. Искомая функция w(r, θ, t) определяется из уравнения (3.123), которое с учетом (3.122) приобре- тает вид
∂2w |
+ |
1 ∂w |
+ |
1 |
∂2w |
= |
1 |
∂2w . |
(3.153) |
∂r 2 |
r ∂r |
|
|
||||||
|
r 2 ∂θ2 |
c2 ∂t2 |
|
||||||
Искомая функция w(r, θ, t) должна удовлетворять граничным услови- ям
W(a, θ, t) = 0,
и начальным условиям: |
|
|
|
|
w(r, θ, 0) = Q1(r, θ), |
∂w(r,θ,0) |
= Q2(r,θ). |
||
∂t |
|
|||
|
|
|||
Чтобы определить нормальные колебания мембраны, искомую функцию в виде
w(a, θ, t) = W(r, θ) exp(–iωt).
(3.154)
(3.155)
представим
(3.156)
Для амплитудной характеристики по тем же самым соображениям, что и для прямоугольной мембраны, естественно предположить су- ществование решения в виде
W(r, θ) = R(r)Θ(θ). |
(3.157) |
После подстановки (3.156), (3.157) в волновое уравнение (3.153) полу- чим такое уравнение:
r 2 d2R r dR |
+k2r 2 + |
1 d2Θ |
|
ω |
|
|||
R dr 2 + |
|
dr |
|
dθ2 |
= 0, |
k = c . |
(3.158) |
|
R |
Θ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
156 |
Здесь видим уже знакомую из предыдущего параграфа ситуацию: сумма двух функций (одна зависит от r, а вторая — от θ) должна рав- няться нулю при любых значениях аргументов. Единственная воз- можность удовлетворить такому требованию это, когда слагаемые — постоянные — одинаковые по величине и противоположные по знаку. Обозначив эту постоянную γ2, будем иметь два уравнения:
|
|
|
|
|
|
|
1 d2Θ |
= −γ2 или d2Θ |
+ γ2Θ = 0; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Θ dθ2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dθ2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
r 2 d2R |
|
r dR |
2 2 |
|
|
2 |
|
|
d2R |
|
1 dR |
|
2 |
|
γ2 |
|
||||||
|
|
|
+ |
|
|
+k r |
= γ |
|
или |
|
|
+ |
|
+ k |
|
− |
|
|
|
R = 0. |
||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||
R |
dr |
|
R dr |
|
|
|
|
|
|
dr |
|
r dr |
|
|
|
r |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение уравнения (3.159) очень просто получить, а именно:
Θ(θ) = A cos(γθ) + B sin(γθ).
(3.159)
(3.160)
(3.161)
Поскольку рассматривается круговая мембрана (0 ≤ θ ≤ 2π), то реше- ние в виде (3.161) должно быть периодической функцией угла θ с пе- риодом 2π. Это возможно, когда постоянная γ равна целому числу, т.е. γ = n = 0,1,2, … В случае секторной мембраны, рассмотрение ко- торой предлагается как задача в конце раздела, условия на сторонах θ = const можно свести к некоторому трансцендентному уравнению для определения γ.
После определения набора допустимых значений γ = n уравнение (3.160) для радиальной функции R(r) приобретает вид
2 |
|
+ 1 dR |
|
− n |
2 |
|
(3.162) |
d R |
+ k2 |
2 |
R = 0. |
||||
dr |
2 |
r dr |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Такое уравнение возникает во многих физических задачах, впер- вые оно (середина XVII ст.) появилось в математической литературе в работе Эйлера по колебаниям круговой мембраны. Систематически исследовал свойства решений этого уравнения Бессель , поэтому уравнение (3.162) носит его имя, а специальные функции, которые являются его решениями, называются функциями Бесселя.
В наше время решения (3.162) хорошо изучены с точки зрения, как их аналитических свойств, так и вычисления их значений для разных аргументов. Существуют подробные таблицы, хотя сейчас важнее то, что для их вычисления есть простые алгоритмы, реализо- ванные на ЭВМ.
Уравнение (3.162) является уравнением второго порядка и должно иметь два линейно независимых решения. Существуют два таких
Бессель (Bessel) Фридрих Вильгельм (1784—1846) — немецкий астроном.
157
решения, для которых приняты специальные обозначения Jn(kr), Nn(kr) (иногда Yn(kr)). Первое из них называется функцией Бесселя первого рода, а второе — функцией Бесселя второго рода (иначе функцией Неймана ) n-го порядка. Величина kr определяет аргумент функции Бесселя.
О характере функций, которые являются решениями (3.162), можно судить, сравнивая представления в виде ряда по степеням ар- гумента функции Бесселя первого рода Jn(х) и такой простой и обыч- ной функции, как синус:
x |
n |
1 |
|
|
1 |
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
x |
|
4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Jn (x) = |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(n +1)! |
|
2!(n + 2)! |
|
|||||||||||||||
2 |
|
n ! |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x = x − |
x3 |
+ |
x5 |
− |
x7 |
+... |
|
|
|
|
||||||||
|
|
3! |
5! |
7! |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
−... , (3.163)
Отсюда видно, что функции Бесселя достаточно близки по своей природе к хорошо известным тригонометрическим функциям.
Рис. 3.25. Графики функций Бесселя Yn(х), Nn(z), n = 0, 1, 2
Некоторое представление о характере поведения этих функций и об отличии в поведении функций первого и второго рода дает рис. 3.25, где изображены графики этих функций. Характерно, что все функции второго рода при приближении x к нулю стремятся в минус бесконечность. Характер стремления определяется главными членами в их представлениях вблизи нуля [49]:
Нейман (Neumann) Франц Ернст (1798—1895) — немецкий физик и ма- тематик.
158
|
2 |
ln(x), |
|
|
|
n = 0, |
|
π |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(3.164) |
|
Nn (x) = |
|
(n −1)! |
2 |
n |
|
|
x →0 |
|
|
, |
n > 0. |
||
− |
π |
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
Для дальнейших выкладок необходимо привести некоторые свой- ства функций Бесселя, которые представим как краткую сводку формул для функций Бесселя первого рода [49]:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2n +1 |
|
|
|
|
Jn (x) → |
|
|
|
|
cos x |
− |
|
|
π |
, |
|
||||||||||
|
|
πx |
|
4 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
J |
n −1 |
(x) + J |
|
|
|
(x) = |
2n |
J |
n |
(x), |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
n +1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
J |
n |
(x) = |
1 |
[J |
|
(x) + J |
|
|
(x)], |
|
|
|
||||||
|
|
dx |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n −1 |
|
|
|
n +1 |
|
|
(3.165) |
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
x2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(x)xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||
∫Jn |
|
= 2 |
Jn (x) |
− Jn −1(x)Jn +1(x) |
|||||||||||||||||
∫xn Jn −1(x)dx = xn Jn (x),
∫Jn (αx)Jn (βx)xdx = α2 x− β2 [αJn +1(αx)Jn (βx) − βJn (αx)Jn +1(βx)].
Поскольку Nn(kr) неограниченно возрастает при приближении к центру мембраны, выражение для искомой амплитуды прогиба мем- браны (т.е. собственной формы мембраны) следует записать в виде
W (r,θ) = Jn (kr )[A cos(nθ) + B sin(nθ)], n = 0,1,2,... |
(3.166) |
Если выделить симметричные колебания мембраны (относительно направления θ = 0), то формы колебаний, которые соответствуют cos(nθ ) и sin(nθ ), будут полностью идентичны и лишь повернуты на 90° одна относительно другой. В связи с этим в дальнейшем при рас- смотрении нормальных колебаний будем ограничиваться выражени- ем
W(r, θ ) = AJn(kr)cos(nθ ), |
(3.167) |
где k = ω/c пока произвольная величина. Набор собственных частот и полную определенность в характере собственных форм получим, под- ставив решение (3.167) в граничное условие W (a, θ ) = 0. Это приво- дит к трансцендентному уравнению
Jn(ka) = 0. |
(3.168) |
159
Рассматривая асимптотическое выражение для Jn(ka) (первое со- отношение в (3.165)), можно установить, что (3.168) имеет для каждо- го n бесконечное множество корней с номерами m=1,2,… Отсюда, корни с высокими номерами m можно определить так:
k a = |
(2m −1)π |
+ |
(2n +1)π |
, (m >>1). |
(3.169) |
|
|
||||
nm |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||
Для первых номеров m корни (3.168) определяют численными мето- дами, приведем несколько первых корней knma = πβnm , где:
β01 = 0,7655; |
β02 =1,7571; |
β03 |
= 2,7546; |
|
|
β11 =1,2197, |
β12 |
= 2,2331, |
β13 = 3,2383, |
(3.170) |
|
β21 =1,6348, |
β22 |
= 2,6792, |
β23 |
= 3,6988. |
|
Бесконечный набор корней (3.168) определяет бесконечный набор собственных частот и собственных форм нормальных колебаний:
ωnm = cknm , |
n = 0,1,2,... |
(3.171) |
|
Wnm (r,θ) = Jn (kmnr )cos(nθ), |
m =1,2,.... |
||
|
Понятно, что формы колебаний определяются с точностью до посто- янного множителя.
Используя значение интегралов в (3.165), можно доказать ортого- нальность собственных форм мембраны:
a 2π |
|
2 |
′ |
2 |
|
|
∫ ∫ |
επa |
|
[Jn (knma)] , n = p, m = q, |
(3.172) |
||
Wnm (r,θ)Wpq (r,θ)rdrdθ = |
|
|
n ≠ p або |
m ≠ q. |
||
0 0 |
0, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Здесь ε = 1 при n = 0 и ε = 0,5 при n ≠ 0. Запись |
′ |
|
||||
Jn (knmα) означает |
||||||
производную от функции Бесселя по полному аргументу. |
|
|||||
Ортогональность собственных форм колебаний мембраны дает возможность решить задачу об определении движения мембраны по заданным начальным условиям. Согласно общему свойству нормаль- ных колебаний определим движение мембраны при произвольных начальных условий как суперпозицию нормальных колебаний:
|
∞ |
∞ |
w(r,θ,t) = |
∑ |
∑ Wnm (r,θ)[anm cos(ωnmt) +bnm sin(ωnmt)]. (3.173) |
|
n =0m =1 |
|
Постоянные anm и bnm этих рядов находим уже по хорошо известной процедуре:
|
|
|
|
1 |
a 2π |
anm = |
|
|
|
|
∫ ∫ Q1(r,θ)Wnm (r,θ)rdrdθ, |
επa |
2 |
′ |
2 |
||
|
|
[Jn (knma)] |
0 0 |
||
160