Основы_акустики_Гринченко_Вовк
.pdfРис. 3.14. Графики перемещения возмущения на струне в разные моменты времени:
а — t = 1, б — t = 2, в — t = 3, г — t = 4, д — t = 5, е — t = 6
111
Рассматривая движение струны при распространении вдоль нее волны, считаем в первом приближении, что точки струны двигаются лишь перпендикулярно к равновесному положению струны. Итак, скорость точек струны в этом направлении υ = ∂y /∂t . Что касается
сил взаимодействия между элементами струны, то они всегда на- правлены по касательной к согнутой струне. В каждом сечении стру- ны составляющая силы по направлению скорости равна Fy = −F ∂y/∂x . Вследствие этого волновое сопротивление струны име-
ет вид:
Z = |
−F ∂y /∂x . |
(3.23) |
|
∂y /∂t |
|
Для каждого из двух возможных типов волн в струне y1 = ψ(x +ct), y2 = ϕ(x −ct) имеем значение Z1 = −F /c , Z2 = F /c . С учетом значения для фазовой скорости волн в струне c2 = Fρ записываем
Z1,2 = ±ρc. (3.24)
Как видим, в общем случае значение волнового сопротивления ха- рактеризует и направление распространения волны. Поскольку выбор направления осей допускает некоторую произвольность, то, говоря о волновом сопротивлении среды, имеют ввиду абсолютное значение Z, т.е. в данном случае ρc. Как будет видно из дальнейшего изложения, произведение плотности среды на скорость волны характеризует вол- новое сопротивление самых разных сред.
3.4. Энергетические характеристики волнового движения струны
Принятая модель струны означает, что подведенная к ней извне энергия накапливается и существует лишь как кинетическая и потенциальная энергии. Кинетическая энергия элементарного участ- ка струны dx имеет вид
EК = |
1 |
|
∂y 2 |
(3.25) |
2 |
ρdx |
. |
||
|
|
∂t |
|
Эта величина является квадратичной относительно скорости точек струны ∂y/∂t.
Для вычисления потенциальной энергии струны также нужно учи- тывать квадратичные величины относительно y. Эта энергия равна той работе, которую надо выполнить при смещении элемента струны из состояния равновесия в отклоненное положение. Для малых откло- нений от положения равновесия натяжение струны считается неиз-
112
менным. В процессе деформации элемент струны растягивается до некоторой длины s; итак, прирост длины представляет s −dx . Именно на этом пути неизменное натяжение осуществляет работу. Поэтому потенциальная энергия, накопленная в деформированном элементе, имеет вид
EП = F( |
|
s −dx). |
(3.26) |
||
Длина элемента струны после деформации |
|
||||
s = |
|
|
∂y 2 |
dx. |
(3.27) |
1 + |
|
||||
|
|
|
∂x |
|
|
Итак, потенциальная энергия элемента струны |
|
||||
|
1+ |
|
∂y 2 |
|
(3.28) |
EП = F |
|
|
−1 dx. |
||
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
При выводе уравнения движения струны, при условиях малости отклонений от положения равновесия, получили оценку (∂y∂x )2 <<1 .
При вычислении тригонометрических функций углов наклона каса- тельной к струне величинами (∂y/∂x)2 по сравнению с единицей пре- небрегали. Ясно, что в (3.28) этого сделать нельзя. Но учет малости
(∂y∂x )2 по сравнению с единицей дает возможность получить более
удобное для вычисления выражение для потенциальной энергии. Ис- пользуя соотношение
|
∂y 2 |
+ |
1 |
∂y 2 |
1 |
∂y 4 |
|||||
1 + |
|
=1 |
2 |
|
|
− |
8 |
|
|
+... |
|
|
∂x |
|
|
|
∂x |
|
|
∂x |
|
и оставляя лишь главные по порядку величины, находим, что
EП = |
1 |
|
∂y 2 |
|
2 |
F |
|
dx. |
|
|
|
∂x |
|
Отсюда полная энергия элемента струны имеет вид
EК + EП = |
1 |
|
∂y 2 |
1 |
|
∂y 2 |
||
2 |
ρ |
|
dx + |
2 |
F |
|
dx. |
|
|
|
∂t |
|
|
∂x |
|
(3.29)
(3.30)
(3.31)
Энергию, отнесенную к единице длины, называют плотностью энер- гии в струне:
E = |
1 |
|
∂y 2 |
1 |
|
∂y 2 |
(3.32) |
|
2 |
ρ |
|
+ |
2 |
F |
. |
||
|
|
∂t |
|
|
∂x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
113 |
Рассматривая движение систем с конечным числом степеней сво- боды, мы исследовали основные закономерности колебательных дви- жений. При этом энергетические соотношения довольно просты — полная энергия EК + EП при свободных колебаний системы остается постоянной величиной.
Поскольку в принятой модели струны отсутствуют потери энергии, общая энергия, подведенная к струне в начальный момент времени, остается тоже постоянной. Однако возмущение в струне существует в виде бегущих волн и это, конечно, обусловливает поиск новых харак- теристик. Здесь нужно выделить те характеристики, которые описы- вают потоки энергии, и определить скорость переноса энергии.
Определим полную энергию, которая содержится в некотором ко- нечном от x = a до x = b участке струны:
b |
1 |
|
∂y |
2 |
1 |
|
∂y |
2 |
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|||||||
H = ∫ |
2 |
ρ |
|
+ |
2 |
F |
|
|
|
(3.33) |
|
|
|
||||||||||
|
|
∂t |
|
|
∂x |
|
|
|
|||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда скорость изменения энергии, которая содержится в выделен- ном участке, приобретает вид
dH |
b |
∂y ∂2y |
|
∂y ∂2y |
|
|||
dt |
= ∫ ρ |
∂t |
∂t2 |
+ F |
|
|
dx. |
(3.34) |
|
|
|||||||
|
|
∂x ∂x∂t |
|
|||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку ρ ∂2y = F ∂2y , это соотношение можно представить так:
∂t2 ∂x2
dH |
b |
∂ |
∂y ∂y |
∂y ∂y |
|
|
∂y ∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= F ∫ |
|
|
dx = F |
|
|
− F |
|
|
. |
(3.35) |
|
|
|
|
||||||||
dt |
a |
∂x |
∂t ∂x |
∂t ∂x |
|
x =b |
∂t ∂x |
|
x =a |
|
|
|
|
|
Итак, скорость изменения энергии, накопленная участком струны, однозначно определяется величинами, которые вычисляются на кон- цах данного участка. Рассматривая полученный результат относи-
тельно выбранной системы координат, считаем, что величина |
|
|
L = −F |
∂y ∂y |
(3.36) |
|
∂t ∂x |
|
определяет проекцию на ось Ox вектора потока энергии в струне. Тогда равенство (3.35) определяет основное энергетическое соотно- шение для струны — скорость изменения полной энергии участка струны равняется разности потоков энергии на концах участка.
В правильности придания физического содержания величине L в (3.36) можно легко убедиться, размышляя следующим образом. На рис. 3.1 видно, что величина −F ∂y /∂x есть проекция на ось Oy силы,
действующей в сечении x со стороны левой отброшенной части стру-
114
ны. Произведение силы на скорость ∂y/∂t дает мощность, которая развивается в сечении x при распространении возмущения. Для по- перечных волн, которыми являются волны в струне, сила и скорость вычисляются в направлении оси Oy. Поток энергии направлен вдоль оси Ox.
При анализе волновых явлений важным есть вопрос о скорости переноса энергии волной. В данном случае ответить на этот вопрос можно, рассматривая выражение или для плотности энергии в струне E (3.32), или для потока мощности L (3.36). Для определенности счи- таем, что смещение точек струны y (x,t) связано с бегущей волной в положительном направлении оси Ox , т.е. y(x,t) = ϕ(x −ct). Понятно,
что при этом функциями аргумента (x −ct) будут и плотность энергии
E = E(x −ct) , и поток энергии |
L = L(x −ct). |
Таким образом, эти обе |
||||||||
энергетические характеристики удовлетворяют уравнениям |
|
|||||||||
|
1 ∂2E |
= ∂2E |
, |
|
1 ∂2L |
= ∂2L . |
(3.37) |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
c2 ∂t2 |
c2 ∂t2 |
|||||||||
∂x2 |
|
∂x2 |
|
Это обстоятельство указывает на то, что энергия бегущей волны вдоль струны также переносится со скоростью c = Fρ . Поскольку при
распространении вдоль струны форма возмущения не изменяется, такой вывод есть физически довольно очевидным.
Если в струне одновременно распространяются две волны: y1 = ϕ1(x −ct) и y2 = ϕ2(x −ct) , то общее смещение струны — это сумма
смещений данных волн, т.е.
y = y1 + y2 = ϕ1(x −ct) + ϕ2(x −ct). |
(3.38) |
При этом величина y удовлетворяет волновому уравнению. |
Это по- |
ложение составляет сущность принципа суперпозиции, справедливо- го для любых линейных дифференциальных уравнений. Что касается энергетических характеристик волнового движения, то для них принцип суперпозиции в общем случае уже не выполняется. Это следствие квадратичного характера величин E и L относительно y. Для смещения, заданного (3.38), согласно формуле (3.32) будем иметь:
E(ϕ + ϕ |
) = |
ρc2 (ϕ ′)2 |
+ 2ϕ ′ϕ ′ + (ϕ ′)2 |
|
+ |
F (ϕ ′)2 |
+ 2ϕ ′ϕ ′ + (ϕ ′)2 |
|
= |
||
1 2 |
|
2 1 |
1 2 |
2 |
|
|
2 1 |
1 2 |
2 |
|
|
(3.39)
= E(ϕ1) + E(ϕ2 ) + 2F ϕ1′ϕ2′.
Здесь штрих в функциях ϕ1 и ϕ2 означает производную по полному аргументу и учитывается, что ρc2 = F. Видно, что в зависимости от
115
знака величины 2F ϕ1′ϕ2′ плотность энергии в струне может быть
больше или меньше суммы плотностей энергий, которые соответст- вуют отдельным составляющим волнового движения.
Если рассматривать возмущения от бегущих волн, которые на- правляются навстречу друг другу,
|
|
y(x,t) = ψ(x +ct) + ϕ(x −ct), |
|
(3.40) |
|||||||
то имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E(ψ + ϕ) = |
1 |
ρc |
2 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
= E(ψ) + E(ϕ). |
|
2 |
|
ψ′ − ϕ′ |
|
+ |
2 F |
ψ′ + ϕ′ |
|
(3.41) |
Используя выражение для y (3.40) и исходя из определения потока энергии (3.36), находим
L(ψ + ϕ) = L(ϕ) − L(ψ). (3.42)
Таким образом, поток энергии в таком волновом движении равен разности потоков энергий, которые переносятся отдельными волна- ми.
3.5. Волновое движение в конечной струне. Нормальные колебания
Теперь задачей является изучение закономерностей пове- дения возмущений в конечной струне длиной l. Концы струны x = 0 и x = l считаются закрепленными, т.е. y(0,t) = y(l,t) = 0 . Энергию от
внешнего источника к струне подводим, задавая начальное отклоне- ние точек струны и их начальные скорости:
y(x,0) = Q (x), |
∂y (x,0) = Q |
2 |
(x). |
(3.43) |
1 |
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
Внешние силы отсутствуют. Искомая функция y(x,t) удовлетворяет волновому уравнению
1 ∂2y |
= |
∂2y . |
(3.44) |
||
|
|
||||
c2 ∂t2 |
|||||
|
∂x2 |
|
Решение общей задачи о волновом движении в бесконечной струне и установленные закономерности отражения волн от закрепленного конца дают возможность полностью описать волновое движение в ко- нечной струне, представляя искомую функцию как суперпозицию прямых и отраженных волн. Но такое решение, которое называется решением Д'аламбера, будет довольно громоздким. Поэтому для реше- ния поставленной задачи, как правило, применяют другой подход.
Говоря о разных возможных подходах к решению задачи о сво- бодных движениях струны, не следует ограничиваться лишь их фор-
116
мальными отличиями. Использование решений, отличных от далам- беровськой формы, в значительной мере обусловлено также специ- фикой постановки задач в теории колебаний и в акустике. Решение Д'аламбера, хотя и громоздкое, но дает возможность точно ответить на такой вопрос: где в данный момент находится определенная точка струны и какова ее скорость. И хотя из такого решения можно полу- чить данные обо всех интегральных характеристиках колебательной системы, сам процесс получения таких данных довольно сложен. Су- щественного упрощения выкладок можно достичь, если сразу поста- вить задание об определении некоторых интегральных характеристик движения.
В определенном понимании идейную основу для дальнейшего по- строения дают результаты, полученные при рассмотрении свободных колебаний системы с двумя степенями свободы. Было найдено, что при любых начальных условий дальнейшее движение системы с двумя степенями свободы — это суперпозиция двух определенным образом уравновешенных периодических движений — нормальных колебаний.
Следует ожидать, что такое же утверждение будет справедливым и для струны с тем лишь отличием, что нормальных колебаний там должно быть бесконечно много.
Используя такую аналогию, решение поставленной общей задачи нужно начинать с поиска периодических решений уравнения (3.44):
y(x,t) =Y (x)exp(−iωt ), |
(3.45) |
которые будут удовлетворять условиям на концах струны: |
|
Y (0) =Y (l ) = 0. |
(3.46) |
После подстановки (3.45) в волновое уравнение (3.44) для определе- ния амплитудной характеристики Y (x) получим обыкновенное диф- ференциальное уравнение:
d2Y + ω2 Y = 0. dx2 c2
Общее решение этого уравнения можно представить в виде
ω |
|
ω |
|
Y (x) = A sin |
x |
+ B cos |
x . |
c |
|
c |
|
(3.47)
(3.48)
Здесь, как и в (3.45), величина ω — произвольная. Для определения допустимых значений частоты нормальных колебаний нужно исполь- зовать граничные условия (3.46). Первое из них дает значение B = 0, второе приводит к такому условию существования нетривиального решения:
117
sin ωl |
= 0. |
(3.49) |
|
c |
|
|
|
Отсюда находим множество значений частот нормальных колебаний в струне:
ω = nπc |
, |
f |
n |
= ωn |
= nc . |
(3.50) |
|
n |
l |
|
|
2π |
2l |
|
|
|
|
|
|
|
Эти частоты обычно называют собственными или нормальными час- тотами струны. Соответствующие периоды собственных колебаний имеют вид
= 2l 1
T (3.51)
n c n
и представляют целые части от времени, необходимого волне для про- бега двойной длины струны. Собственные частоты нормальных коле- баний струны, которые определяются (3.50), относятся одна к другой, как целые числа. Именно это обстоятельство обусловливает широкое использование струн в музыкальных инструментах. Совместное зву-
чание тонов, частоты которых относятся одна к другой как небольшие целые числа, вызывает приятное ощущение в слуховом восприятии человека. При этом говорят о гармоничном отношении частот, а нормальные колебания струны называют гармониками (от греческого слова armonicox — созвучный). Прояснить их особое взаимодействие с мозгом человека с точки зрения только физики, ко- нечно, нельзя. Тем не менее, возможно, говоря словами Пушкина , “поверить алгеброй гармонию”.
Таким образом, задачу поиска нормальных колебаний струны можно считать решенной. Каждое нормальное колебание — свободное периодическое движение струны, которое удовлетворяет граничным условиям, характеризуется соответствующей собственной часто- той и собственной формой колебаний. Все нормальные колебания пронумерованы по возрастанию частоты, и когда говорят про n-тое нормальное колебание, то имеют в виду следующую совокупность ве- личин: ωn — нормальная частота и Yn (x) — собственная форма коле- баний:
|
= |
nπc |
nπ |
|
(3.52) |
|
ωn |
l |
, Yn (x) = sin |
l |
x . |
||
|
|
|
|
|
На рис. 3.15 изображены первые четыре собственных формы ко- лебаний струны. Характеристики нормального колебания не зависят
Пушкин Александр Сергеевич (1799—1837) — российский писатель.
118
от начальных условий и, поэтому, совокупность нормальных колеба- ний есть важная интегральная характеристика внутренних свойств колебательной системы.
Рис. 3.15. Первые четыре собственные формы колебаний струны
Исходя из (3.45), зависимость прогиба струны от времени и коор- динаты в n -ом нормальном колебании определяется функцией
y (x,t) = sin |
nπ x |
exp(−iω |
t ). |
(3.53) |
||
n |
|
l |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если сделать обобщение результата, полученного при рассмотрении системы с двумя степенями свободы, то можно сформулировать та-
кое утверждение: какими бы ни были функции Q1(x) и Q2(x) при на- чальных условиях (3.43), дальнейшее свободное движение струны бу- дет представлять собой определенную совокупность нормальных колебаний. Это утверждение записывается в виде соотношения
∞
y(x,t) = ∑ Anyn n =1
(x,t) = |
∞ |
A |
sin |
nπ x |
exp(−iω |
t ). |
(3.54) |
||
∑ |
|||||||||
|
n =1 |
n |
|
|
l |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь неопределенные коэффициенты An указывают на степень воз-
буждения соответствующего номера нормального колебания и в общем случае являются комплексными величинами. Исходя из (3.54), легко получить выражение для физического (измеряемого) прогиба. Для это- го достаточно выделить в (3.54) его действительную часть. Если при- нять An = an + ibn , то действительная часть (3.54) будет иметь вид
y(x,t) = |
∞ |
nπ x |
|
[a |
cos(ω |
t) +b |
sin(ω |
t)]. |
(3.55) |
|
∑ sin |
||||||||||
|
n =1 |
|
l |
|
n |
n |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, задача о свободном движении струны будет пол- ностью определена, если постоянные an и bn, входящие в (3.55), опре- делить по заданным функциям Q1(x) и Q2(x) в (3.43). Подстановка вы- ражения для y (x,t) (3.55) в начальные условия приводит к двум ра- венствам:
119
Q1(x) = |
∞ |
nπ |
|
|
|
||
∑ an sin |
l |
|
x , |
|
|||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
Q2(x) = |
∞ |
|
nπ |
|
(3.56) |
||
∑ bn ωn sin |
l |
|
x . |
||||
n =1 |
|
|
|
|
|
Отсюда легко определить коэффициенты an и bn на основе свойства |
||||||||||||||
ортогональности функций |
sin(nπx /l ), |
n =1,2,... , согласно которому |
||||||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
nπ |
|
|
mπ |
|
|
|
l |
, n = m, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
∫ sin |
|
|
x sin |
|
x |
dx |
= |
2 |
|
(3.57) |
||||
l |
l |
|
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
sin(nπx /l ) |
|
0, n ≠ m. |
|
||||||
Тогда, умножая (3.56) на |
|
и интегрируя на интервале |
||||||||||||
(0,l), получаем: |
|
|
|
2 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an = |
|
|
|
nπ |
x |
|
|
|
|||||
|
∫ |
Q1(x)sin |
|
dx, |
|
|||||||||
|
|
|
|
l 0 |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
bn ωn = |
2 l |
|
|
|
nπ |
|
|
|
|
|
|
(3.58) |
||
l |
∫Q2(x)sin |
l |
x dx, n =1,2,3,... . |
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, с математической точки зрения, собственные фор- мы конечной струны длиной l с закрепленными концами sin(nπxl ), 1,2,3,..., представляют собой полную и ортогональную
систему функций. Свойство полноты этой системы функций позво- ляет записать произвольную (осмысленную с физической точки зре- ния) функцию на отрезке [0,l] в виде ряда (3.56), а, следовательно,
изобразить колебания струны при любых начальных условий как су- перпозицию нормальных колебаний (гармоник) (3.55).
Подчеркнем, что данный способ определения коэффициентов an и bn имеет особенно формальный характер. Относительно того, пред- ставляют ли ряды в формулах (3.56) действительно заданные функ- ции Q1(x) и Q2(x), возникала знаменитая дискуссия между Д’Аламбером и Ейлером , с одной стороны, и Д. Бернулли , с другой.
Следует отметить, что частное решение yn (x,t) = an sin(nπx /l )cos (ωnt )
исследуемой задачи было получено еще в 1713—1715 годах Тейло- ром , который был убежден, что никакие другие решения здесь не-
Ейлер (Euler) Леонард (1707—1783) — швейцарский математик, физик, механик и астроном; 1727—1741 и 1766—1783 жил и работал в Петербурге.
Бернулли (Bernoulli) Даниил (1700—1782) — швейцарский физик и ма- тематик.
Тейлор (Taylor) Брук (1685—1731) — английский математик и философ.
120