Основы_акустики_Гринченко_Вовк

Следует отметить, что модель акустической среды не описывает такого важного свойства реальных сред, как поглощение звука при распространении звуковой волны. Поглощение звука — это явление необратимого перехода энергии звуковой волны в другие виды энер- гии, в частности, в тепловую. Это обусловлено такими свойствами реальных сред, как объемная вязкость, вязкость сдвига и теплопро- водность среды. Например, при наличии вязкости сдвига сила, кото- рая действует на поверхность частицы, уже не строго нормальна к ней, а имеет еще касательную компоненту. Понятно, что в этом слу- чае частички не могут свободно проскальзывать. Поэтому часть рабо- ты, которая выполняется волной над средой, идет на преодоление ка- сательной компоненты необратимо — и звук затухает. Нужно сказать, что поглощение звука существенно зависит от частоты и на высоких частотах становится значительным. Это, конечно, характерно для ультразвуковых волн, частоты которых больше, чем 20 кГц. В звуко- вом диапазоне частот тоже возникают задачи, где нужно учитывать затухание звука вследствие поглощения. Например, при акустиче- ском проектировании концертного зала для частот свыше 2000 Гц уже нужно принимать во внимание поглощение звука в воздухе, ко- торое возрастает с увеличением частоты.

Вообще физика механизма поглощения звука сложна, и не рассмат- ривается в нашей книге (рекомендуем работы [20, 31, 33]). При необхо- димости можно учесть эффект поглощения энергии звука, не выходя за границы построенной модели акустической среды (см. параграф 5.3). Это является очень важным моментом для модели идеально сжимаемой жидкости, ведь она действительно содержит в себе основные свойства реальных жидкостей и газов, что позволяет изучать распространение звуковых волн в широком диапазоне частот.

Укажем еще на одно важное ограничение, а именно, будем счи- тать, что колебания частиц среды имеют малую амплитуду. Это озна- чает, что отклонения частиц среды от положения равновесия должны быть малыми по сравнению с длиной волны, а изменения давления и плотности среды — малыми по сравнению со значениями этих пара- метров для покоящейся среды. Конечно, выбор идеализированной модели среды и ограничение на допустимую амплитуду колебаний не позволяет рассматривать многие акустические явления, и все же диапазон звуковых процессов, который остается в поле зрения, еще очень велик.

Приступим теперь к выводу волнового уравнения. На первой ста- дии сформулируем основные закономерности, которые лежат в осно- ве различных (произвольных) движений идеальной жидкости. Далее опишем их математическими формулами (стадия формализации). Как будет видно, полученные уравнения, которые описывают произволь- ные движения идеальной жидкости, будут нелинейными, что значи-

171

тельно усложняет нахождение их решений. На этой стадии следует предположение о малости амплитуды колебаний частиц среды. Это позволяет перейти от полученных нелинейных уравнений к соответ- ствующим линейным уравнениям. Такой процесс называют линеари- зацией. В конце концов, после ряда преобразований окончательно получим волновое уравнение.

Итак, определим основные закономерности движений идеальной жидкости. В случае звуковых колебаний сплошная среда испытает деформации сжатия и растяжения. Тем не менее, когда умозрительно разделить ее на малые частицы (малые по сравнению с размерами зоны сжатия или растяжения), то можно считать, что каждая такая частица движется, как единое целое. Тогда ее движение должно под- чиняться второму закону Ньютона. Это первая закономерность.

Вторая закономерность заключается в том, что частицы сплошной среды не могут полностью двигаться произвольно, а только сохраняя среду сплошной. Например, две соседние частицы не могут двигаться с конечными скоростями в противоположные стороны. Это утвер- ждение имеет название принцип непрерывности.

Наконец следует учесть, что сжатие или растяжение некоторого объема жидкости (газа), подчиняется закономерностям, сформулиро- ванным в термодинамике. В случае отсутствия теплообмена расши- рение (сжатие) происходит по адиабатическому закону, который ус- танавливает определенное соотношение между давлением и плотно- стью некоторого объема среды.

Каждую из трех закономерностей можно описать соответствую- щим уравнением. Таким образом, получим одно векторное и два ска- лярных уравнения (или пять скалярных) относительно таких пара- метров, которые описывают звуковое поле в среде:

v(υx ,υy ,υz ) — колебательная скорость частиц,

p — акустическое давление,

ρ — переменная плотность среды, т.е. получим пять уравнений для пяти функций.

4.1.2. Уравнение движения

Уравнение движения для одной из частиц жидкости в со- ответствии со вторым законом Ньютона имеет вид

где m — масса частицы, v — вектор скорости частицы среды, F — сумма всех сил, которые действуют на частицу со стороны окружаю- щей среды.

172

Дальнейшее преобразование (4.1) зависит от выбора системы ко- ординат (если не использовать обозначения векторной алгебры). При решении конкретных акустических задач выбирают наиболее удоб- ную систему координат. Скажем, при изучении поля сферического излучателя, конечно, удобно пользоваться сферическими координа- тами, цилиндрического излучателя — цилиндрическими и т.п.; в свя- зи с этим вспомним задачу о колебании круговой мембраны, где для описания нормальных колебаний мембраны была применена поляр- ная система координат.

Получим искомые уравнения в декартовых координатах, как наи- более простых и наглядных. Полученные уравнения запишем также в векторной форме (подобно (4.1)), что позволит, используя справочник по математике [8], переписывать их в другой системе координат. Ко- ординатными поверхностями в декартовых координатах есть взаим- но перпендикулярные плоскости. С их помощью можно поделить все пространство на шестигранные частицы.

Рис. 4.1. Воображаемая элементарная частица акустической среды

Будем рассматривать движение частицы среды в виде элементар- ного прямоугольного параллелепипеда (рис. 4.1). Длина ребер прямо- угольного параллелепипеда — dx, dy, dz . Площадь грани равна про-

изведению длин соответствующих двух ребер, а объем — произведе- нию трех взаимно перпендикулярных ребер. Запишем уравнение (4.1) в проекциях на оси координат. Так, для оси Ох имеем

Массу рассматриваемой частицы находим как произведение объема на плотность среды (в пределах объема частицы считаем плотность постоянной):

Сила Fx возникает в результате разности давлений со стороны сосед- них частиц, которые действуют на выделенный объем. Она равняется

173

произведению разности давлений на площадь соответствующей гра- ни: [p(x) − p(x + dx)]dxdy . Применяя формулу Лагранжа для прираще-

ния функции [8] и подставляя полученные выражения вместе с (4.3) в (4.2), после сокращения общих множителей получаем

Здесь имеем частную производную от давления р, поскольку давле- ние зависит не только от координаты х, а и от двух других простран- ственных координат и времени.

Уравнение (4.4) является нелинейным, поскольку искомые функ- ции ρ и υx входят в него в виде произведения. До сих пор не исполь- зовалось предположение о малости амплитуды колебаний, поэтому формула (4.4) пригодна для волн любой амплитуды. Если рассматри- вать только малые колебания, то можно указать, что каждый из мно- жителей в левой части (4.4) состоит из двух неравноценных слагае- мых. В самом деле, ρ = ρ0 + ρ , причем ρ << ρ0 , где ρ0 — плотность

невозмущенной среды, ρ —переменная плотность, обусловленная движением частиц среды. Пренебрежем ρ по сравнению с ρ0.

Ускорение, которое определяется полной производной dυx dt , также состоит из двух составляющих (при нахождении производной

Первая составляющая — это локальное ускорение ∂υx ∂t . Оно опреде-

ляется явной зависимостью колебательной скорости от времени, а все другие определяют ускорение переноса, которое связано с переходом частицы из положения равновесия в новую точку пространства, где скорость (как функция координат) может быть другой. Так, рассмот- рим протекание жидкости в трубе переменного сечения. Если оно не является стационарным, то скорость в фиксированной точке будет из- меняться со временем и потому локальное ускорение не будет равно нулю. Но, если протекание стационарное, то скорость в данной точке остается постоянной. В этом случае локальное ускорение ∂υx ∂t будет

равно нулю. При этом компоненты ускорения переноса будут отлич- ными от нуля, поскольку скорость частичек жидкости при перемеще-

174

нии в трубе переменного сечения изменяется в местах изменения пло- щади поперечного сечения трубы.

Оценим соотношение локального ускорения и ускорения переноса в (4.5). Рассмотрим гармоническую волну, в которой скорость частиц

тудное значение υx. (Полученный результат будет иметь общий харак- тер.) Итак, максимальное значение локального ускорения будет ωυ0 ,

а максимальное значение ускорения переноса υx ∂υx /∂x будет равно

ωυ20 /c . Тогда отношение этих величин будет иметь вид

где T — период колебаний частиц. Итак, полученный результат зави- сит от соотношения максимального смещения частиц x0 = υ0T и дли-

ны звуковой волны λ = cT , или амплитуды колебательной скорости частиц υ0 и скорости звука c. Поскольку υ0 c и x0 λ , то и уско-

рение переноса мало по сравнению с локальным ускорением. Поэтому в (4.4) можно полную производную заменить на частную. Рассуждая аналогично для уравнения в проекции на две других оси, получим похожие результаты. Таким образом, имеем

системы координат, Оператор градиента (grad) определяется в декар- товой системе координат таким образом: gradp = i ∂∂px + j ∂∂yp + k ∂∂pz . Из-

вестно [8], что в каждой точке скалярного поля (в нашем случае, это поле давления), для которой gradp ≠ 0, существует единственное на-

правление самого быстрого роста функции p (x, y, z). Это направление совпадает с направлением вектора gradp , а модуль вектора gradp ра-

вен скорости роста величины p в этом направлении. Нужно подчерк- нуть, что градиент скалярного поля зависит лишь от самого поля, а не от выбора системы координат. Знак минус в правой части уравнения (4.7) имеет ясное физическое содержание: ускорение каждой частицы

175

жидкости направлено в сторону уменьшения давления, т.е. против градиента p.

В качестве иллюстрации проведенных предположений приведем такие соотношения: для звуковых давлений порядка 0,1 Па (громкий разговор) плотность воздуха изменяется лишь на одну миллионную часть статической плотности, при этом звуковое давление 0,1 Па так-

же составляет миллионную часть атмосферного давления 105 Па. В воздухе на частоте порядка 2000 Гц (длина волны λ =0,17 м) на “боле- вом пороге” (звуковое давление ≈ 100 Па), когда слуховое восприятие звука сопровождается ощущением боли, перемещение частиц достига- ет 0,1 мм, а амплитуда скорости доходит до 1 м/с. Громкий разговор на расстоянии 1 м от разговаривающего человека создает колебание с амплитудой лишь в сотню-другую ангстрем, причем скорость частиц меньше, чем 1 м/год [20, с. 41].

4.1.3. Уравнение неразрывности

Для математического оформления принципа непрерывно- сти рассмотрим протекание жидкости сквозь элементарный участок пространства (рис. 4.1). Содержание рис. 4.1 теперь изменилось; если при выводе уравнения движения рассматривались элементарные час- тицы подвижной среды, то теперь на рис. 4.1 представлена непод- вижная ячейка среды, через которую протекает жидкость. Если жид- кость непрерывная, то разность масс жидкости, которая вытекает и втекает, может быть связана лишь с изменениями во времени ее плотности внутри ячейки. Итак, изменение массы за время dt состав- ляет

Вычислим теперь количество жидкости, которая втекает и выте- кает, а ее разницу приравняем к формуле (4.8). Разделим поток массы на три компоненты (вдоль каждой из координатных осей) и рассмот- рим каждую проекцию отдельно. Начнем с проекции на ось Ox . Жид- кость, которая втекает через левую границу, проходит вдоль оси Ox за время dt расстояние υxdt и занимает часть объема ячейки, кото-

рая равна υxdydzdt . Умножая объем на плотность, получаем массу

жидкости которая втекает. Аналогично можно найти массу жидко- сти, которая вытекает через правую границу. Нужно лишь помнить: и плотность, и скорость течения вблизи правой границы отличаются от аналогичных величин для левой границы. Тогда разность масс жид- кости, которая втекает и вытекает вдоль оси Ох, равняется

176

mx = [(ρυx )x −(ρυx )x +dx ]dydzdt = − ∂(ρυ∂xx )dxdydzdt.

Рассчитывая потоки жидкости вдоль двух других осей, и определяя приращение массы, получаем

Как и (4.4), уравнение (4.9) является нелинейным, поскольку функ- ции, которые исследуются ( ρ i υx , υy , υz ), входят в виде произведе-

ния. Однакоρ = ρ0 + ρ , а для малых колебаний ρ ρ0 , поэтому в

(4.9) можно заменить ρ на ρ0. Приравнивая (4.8) и (4.9), получаем уравнение неразрывности

Выражение, которое стоит в квадратных скобках (4.10), называют

Снова сделаем математическое замечание [8]: каждому векторному полю (в нашем случае, это поле колебательной скорости v), компоненты которо- го непрерывны и имеют непрерывные частные производные, можно по- ставить в соответствие скалярную функцию divv. Значение divv не зави- сит от выбора системы координат.

Физическое содержание уравнения (4.11) очевидно: истечение не- которого количества жидкости из элементарного объема (divv > 0) обусловливает уменьшение плотности жидкости в середине этого объ- ема ( ∂ρ ∂t < 0 ). Наоборот, приток некоторого количества жидкости в

элементарный объем (divv < 0) приводят к увеличению плотности жидкости ( ∂ρ ∂t > 0 ). В этом есть причина наличия знака минус в

уравнении (4.11).

4.1.4. Уравнение состояния

В среде есть определенная связь между давлением P, плот- ностью ρ и температурой T. Эта связь определяется уравнением со- стояния. Уравнение состояния не имеет какого-либо стандартного виду

177

для всех веществ, подобно уравнению движения или уравнению нераз- рывности. Поэтому запишем его в общей форме:

Конкретный вид этой функции определяется свойствами среды. Примером такого уравнения можно назвать уравнение состояния идеального газа

Возвращаясь к общему виду уравнения состояния (4.12), мы кон- статируем наличие нового параметра — температуры T. Это означает, что при формировании полной системы уравнений акустики, которая описывает движение частиц среды, необходимо принять во внима- ние еще одно уравнение, которое было бы связано с температурой среды. В большинстве задач акустики можно ограничиться более простым соотношением, чем (4.12), такое соотношение устанавливает

Тем не менее, это не означает, что тепловые эффекты не важны в акустике. Их надо учитывать, принимая во внимание зависимость от температуры коэффициентов в соотношении, которое устанавливает связь между P и ρ.

Учитывая условия сжатия и свойства среды, зависимость P (ρ) име- ет тот или другой конкретный вид и вообще является нелинейной. Поскольку плотность ρ = ρ0 + ρ , то зависимость (4.14) можно разло-

здесь P0 = P(ρ0 ) — давление в невозмущенной среде, а P = P0 + p , где

p — акустическое давление, т.е. величина, на которую изменяется P0 при распространении звуковой волны. Отсюда получим уравнение состояния для волн малой амплитуды:

178

Величина c 2 представляет собой постоянную величину, физическое содержание которой будет объяснено далее. Только по ее размерности можно определить, что она является квадратом некоторой скорости.

Зависимость (4.16) часто представляют в таком виде:

ское сжатие ( ρ0, V0 — плотность и объем невозмущенной среды, ρ,

V — соответствующие величины для возмущенной волной среды). Ве- личину, обратную к упругости χ , называют сжимаемостью: β =1χ .

Линеаризованная связь между давлением p и акустическим сжатием s в уравнении (4.18) можно рассматривать как закон Гука для объем-

ного сжатия среды с коэффициентом упругости χ = ρ0c2 .

Определим постоянную c для идеального газа как акустической среды. Для идеального газа адиабатические процессы сжатия опреде- ляются уравнением

представляет собой характерную для каждого газа величину. Соглас- но (4.17) и (4.13), дифференцируя (4.19) по ρ, нетрудно получить та-

кие формулы для постоянной c:

где Т0 — температура, К.

Для воздуха при нормальных условиях: P0 =105 Па; ρ0 =1,3 кг/м3;

γ = 1,4, значение постоянной c ≈ 330 м/с. Наверное, эта величина многим читателям известна. Это скорость звука в воздухе. И дейст- вительно, дальнейший анализ показывает, что постоянная c является скоростью звука в среде.

179

Таким образом, (4.7), (4.11), (4.16) образуют полную линеаризован- ную систему акустических уравнений для определения трех неиз- вестных функций времени и координат, которые описывают звуко- вое поле: p, ρ , v . Запишем полученные уравнения так:

Учитывая простую связь между звуковым давлением p и переменной плотностью ρ в уравнении состояния, обычно, в качестве парамет-

ров, которые характеризуют звуковое поле, используют звуковое дав- ление p и колебательную скорость частиц среды v . Поэтому систему

(4.21), которая состоит из трех уравнений, можно легко свести к сис- теме двух уравнений, исключая переменную плотность ρ :

4.2. Волновое уравнение

Часто удобно вместо полной системы акустических уравнений (4.21) для функций p, ρ , v иметь одно дифференциальное уравнение

относительно одной из функций. Такое дифференциальное уравнение содержит в себе производные второго порядка по времени и коорди-

натам и называется волновым уравнением для данной функции. Най-

дем волновое уравнение для акустического давления p. Продифференцировав уравнение (4.23) по времени, получим

Подставим в (4.24) соотношение (4.22). Тогда искомое уравнение бу- дет иметь вид

180