Основы_акустики_Гринченко_Вовк

5.5.5. Энергетические соотношения при наклонном падении волны

Рассмотрим теперь энергетические соотношения в па- дающей, отраженной и прошедшей волнах. Выделим в поле падаю- щей волны некоторую трубку, площадь поперечного сечения S которой лежит в плоскости фронта волны (рис. 5.12). Согласно закону сохране- ния энергии IS = I1S1 + I2S2, где I, I1, I2 — интенсивности в падающей, отраженной и прошедшей волнах. Поскольку S = S1, то

мощность падающей волны равняется сумме мощностей отраженной и преломленной волн.

Рис. 5.12. Пример определения энергетического соотношения (5.85)

Из геометрии задачи (см. рис. 5.12) следует, что S2 = S cos θ2 , то- cos θ

гда (5.84) приобретет вид

где VE = I1/I; WE = I2/I. Как видим, при наклонном падении волны на границу в энергетическое соотношение коэффициентов отражения и прохождения (5.85) входят углы θ и θ2. Это следует из модели акусти- ческой среды, ведь на границе раздела сред фиксируется лишь нор- мальная составляющая колебательной скорости частиц. Равенство

221

1 = VE + WE справедливо для нормального падения волны или для на- клонного падения при c1 = c2 (в этом случае θ2 = θ).

Обратимся к закритическим углам падения волны. Определим вектор плотности потока мощности во второй среде W2 при θ > θкр. Вычислим его составляющие вдоль оси Ox Wx2 и вдоль оси Oy Wy2. В

Wy2 = Re p2 Reυy2 = k1 sin θ B2 exp(−2αx )cos2 (ωt −k1 sinθy + ε).

ωρ2

Тогда средний за период поток мощности равен

Ix2 = Wx2 = 0,

Итак, волна во второй среде не переносит энергию от границы вдоль оси Ox, хотя плотность энергии во второй среде не равна нулю. Иначе говоря, при условии θ > θкр энергия падающей волны полно- стью отражается от границы раздела сред, возмущая при этом неко- торый приграничный слой во второй среде. Такая особенность в энергетике неоднородной волны обусловлена кинематикой частиц среды в волне: вдоль оси Ox происходит синфазное движение частиц по эллиптическим траекториям с амплитудой, которая уменьшается с расстоянием от границы по экспоненциальному закону exp(–αx). При этом сдвиг фаз между давлением p2 и составляющей колебательной скорости υx2 вдоль оси Ox равняется π/2. Согласно (5.79) фазовая скорость неоднородной волны вдоль оси Oy υфу меньше скорости зву- ка в среде c2. Итак, можно сказать, что возмущения, которые распро- страняются вдоль границы со скоростью, меньшей скорости звука в среде, не излучают акустическую энергию в среду.

Для однородной плоской волны (например, падающей волны (5.35)) расчет среднего за период потока мощности приводит выра- жениям

222

которые определяют перенос энергии вдоль координатных осей Ox и Oy. (Убедитесь в справедливости (5.88) самостоятельно.)

5.6. Отражение звука от подвижной границы

На практике довольно часто бывают ситуации, когда зву- ковая волна падает на подвижное препятствие. Возникает вопрос: в чем особенность такой ситуации по сравнению со случаем неподвиж- ного препятствия. Исследование этого вопроса проведем на простой модели.

Рис. 5.13. Пример падающей волны на подвижную границу двух сред

Пусть плоская граница раздела двух сред двигается с постоянной скоростью υ вдоль положительного направления оси Ox (рис. 5.13), причем в момент времени t = 0 ее координата x = 0. Слева от границы расположена акустическая среда с параметрами ρ1, c1, справа — дру- гая среда с параметрами ρ2, c2. На границу слева нормально к ней па- дает плоская гармоническая волна

При взаимодействии волны с границей образуются отраженная волна p1 и прошедшая в другую среду волна p2. Запишем их в виде плоских гармонических волн со своими амплитудами:

Понятно, что p0, p1, p2 удовлетворяют волновому уравнению, но они также должны удовлетворять граничным условиям на подвиж- ной границе, которая изменяет свою координату согласно уравне- нию x = υt. Итак, граничные условия имеют вид

Подставим (5.90) в граничное условие (5.91):

223

A0 exp(−iωt (1− υ/c1)) + A1 exp(−iωt (1+ υ/c1)) = A2 exp(−iωt (1− υ/c2 )). (5.93)

Соотношения (5.93) должны выполняться для любого момента време- ни t. Приравнять показатели экспоненты, по аналогии с уравнением (5.42), нельзя, поскольку очевидно, что 1 – υ/c1 ≠ 1 + υ/c1. Вместе с тем, выбирая амплитуды A1 и A2 можно удовлетворить равенство (5.93), но только для конкретного момента времени t. Такая ситуация говорит о том, что запись отраженной и прошедшей волн в виде (5.90) не является правильной. В связи с этим, сделаем предположе- ние: пусть отраженная и прошедшая волны остаются плоскими гар- моническими волнами, но их частоты отличаются от частоты ω па- дающей на границу волны. Итак, запишем волны p1 и p2 в виде

Снова распишем граничное условие (5.91) с учетом формул (5.94), по- лучим

Понятно, что для выполнения равенства (5.95) в любой момент вре- мени t нужно приравнять показатели экспонент:

Отсюда определяем искомые частоты

Дальнейший поиск амплитуд A1 и A2 не вызывает трудностей.

Как видим, если граница двигается в направлении распростране- ния волны p0 (скорости υ и c1 по направлению совпадают), то ω 1 < ω ; если граница двигается навстречу падающей волне (скорости υ и c1 противоположны по направлению), то ω 1 > ω. Изменение частоты звука, отраженного от подвижного объекта, называется эффектом Доплера . Понятно, что этот эффект имеет место и в ситуации когда источник двигается, а наблюдатель неподвижен. Эффект Доплера находит широкое применение при создании гидроакустических лока-

Доплер (Doppler) Кристиан (1803—1853) — австрийский физик и астроном.

224

торов и медицинской диагностической аппаратуры, которая исполь- зует акустические волны.

5.7. Входное сопротивление препятствия

При решении задачи об отражении гармонической волны от препятствия (например, границы раздела двух сред) часто не ин- тересуются прошедшей волной в препятствие. В таких случаях, при условиях, о которых речь будет идти ниже, можно облегчить решение задачи об отражении звука. Для этого вводится понятие входного со-

противления (входного импеданса) препятствия Zвх, которое опреде-

ляется как отношение комплексных амплитуд звукового давления p и нормальной составляющей колебательной скорости υn на границе сре- ды и препятствия S :

причем нормаль n к границе S направлена во внутреннюю область препятствия. В этом случае при положительном звуковом давлении (сжатие) возле границы, она будет стремиться прогнуться во внут- реннюю область препятствия, при этом положительное значение ко- лебательной скорости также будет направлено во внутреннюю об- ласть препятствия. Если нормаль к границе является внешней для препятствия, то формулу (5.98) нужно записать со знаком минус. Ве-

личину, обратную к Zвх, называют входной проводимостью препятст-

вия, т.е. Yвх = 1/Zвх.

Рис. 5.14. Пример падающей плоской волны на препятствие

Для осознания нового понятия рассмотрим две задачи:

1)как использовать знание величины Zвх для определения поля пе- ред препятствием;

2)как, измерив, параметры звукового поля перед препятствием, определить его входной импеданс Zвх.

225

Пусть плоская граница S разделяет среду (x > 0) с параметрами ρ1, c1 и препятствие (x < 0) (рис. 5.14). На границу S нормально падает плоская гармоническая волна p0 = A0 exp(–i(ωt + k1x)), тогда давление в отраженной волне p1 = A1exp(–i(ωt – k1x)), k1 = ω /c1.

Рассмотрим первую задачу. Согласно определению входного им- педанса препятствия на ее поверхности S (координата x = 0) выпол- няется соотношение

Подставив в (5.99) выражения для давления и колебательной скоро- сти в падающей и отраженной волнах при x = 0, получим, что

Zвх = ρ1c1(A0 + A1). Поскольку отношение A1/A0 = Vp определяет коэф-

(A0 − A1)

фициент отражения, выражение для входного сопротивления пре- пятствия можно записать так:

Отсюда получим выражение для коэффициента отражения Vp через известное входное сопротивление препятствия Zвх:

Итак, первая задача решена. Часто используют понятие относитель- ного входного сопротивления препятствия ζвх = Zвх /(ρ1с1), тогда (5.101) приобретает вид

Vp = ζвх −1. (5.102)

ζвх +1

Вслучае, когда препятствием является другая среда с параметрами

ρ2, с2, имеем Zвх = ρ2c2 (подумайте, почему?). В этом случае формула (5.101) совпадает с формулой (5.48), которая определяет коэффици- ент отражения при нормальном падении плоской волны на границу раздела двух сред.

Таким образом, при определении отраженной волны, вместо зада-

чи сопряжения звуковых полей на границе раздела двух сред (см. (4.42), (4.43)), т.е. удовлетворения граничных условий по давле- нию и колебательной скорости, используется одно условие (5.99). Та- кое упрощение возможно в ситуациях:

226

•если граница препятствия является бесконечной плоскостью и на нее нормально падает плоская волна;

•если, в силу тех или других причин, свойства другой среды тако-

вы, что угол прохождения волны во вторую среду θ2 ≈ 0 при любых значениях угла падения θ. Это означает, что преломленная волна рас- пространяется практически вдоль оси Ox. В этом случае условие

(5.99) называют импедансным граничным условием, а саму границу

—импедансной границей. Модель импедансной границы хорошо опи- сывает такую реальную ситуацию, когда c2 << c1, тогда действитель-

но, согласно закону Снеллиуса (5.45), имеем θ2 ≈ 0 при любом θ. Дру- гим примером служат пористые звукопоглощающие материалы, в ко- торых поры расположены в направлении, перпендикулярном к по- верхности раздела. Здесь затухание звука при распространении в по- глотителе в направлении вдоль границы существенно превышает за- тухание при распространении в перпендикулярном к границе на- правлении.

Как следствие, можно сказать, что импедансное граничное усло- вие (5.98) определяет модель препятствия, для которого колебатель- ная скорость в некоторой точке ее поверхности зависит лишь от дав- ления в этой же точке и не зависит от давления в других точках на поверхности. О таком препятствии еще говорят, что она характери- зуется локальным (т.е. в точке) импедансом. Другими словами, если рассматривать модель импедансной границы в виде пор (капилля- ров), расположенных в направлении, перпендикулярном к поверхно- сти раздела, то нормальный импеданс фактически является мерой противодействия со стороны жидкости в капилляре колебаниям сре- ды на границе препятствия. Понятно, что при падении волны на им- педансное препятствие возникают новые явления по сравнению с взаимодействием волны с акустически мягкими и жесткими телами. Если нормальный импеданс обусловлен трением о стенки капилляров, то колебания будут частично поглощаться и это приведет к оттоку энергии из окружающей среды. Здесь нормальный импеданс являет- ся действительной величиной. Но он может быть и мнимой величи- ной, что определяет или инерционный характер, обусловленный мас- сой жидкости в капиллярах, или упругий характер, если эта жидкость упруго деформируется. В общем случае величина Zвх является ком- плексной величиной, что обусловлено комбинацией разных приве- денных выше факторов. Понятно, что импедансное условие имеет определенные границы применения. Так, оно не может выступить как модель для границы раздела жидкости и пластинки, поскольку в этом случае смещение в некоторой точке зависит от распределения сил по всей пластинке вследствие возможности распространения из-

227

гибных волн вдоль пластинки. Но такие сложные ситуации не будут рассматриваться в данной работе.

Перейдем ко второй задаче: определение импеданса препятствия при известном поле звуковой волны перед препятствием. Пусть p0 — амплитуда давления в падающей волне на препятствие, а Vp — коэф- фициент отражения. Поле перед препятствием запишем в виде сум- мы падающей и отраженной волн:

p = p0 exp(−i (ωt +k1x )) + p0Vp exp(−i (ωt −k1x )).

Представим Vp в виде Vp = |Vp| exp(iε). Здесь |Vp| будет определять амплитуду отраженной волны давления, а наличие угла ε определяет тот факт, что в общем случае фазы падающей и отраженной волн мо- гут не совпадать. Тогда

Определим амплитуду звукового давления в звуковом поле перед пре- пятствием. Для этого найдем модуль выражения (5.103):

Для акустически жесткой поверхности (|Vp| = 1, ε = 0) имеем обыч- ную стоячую волну перед препятствием:

p = p0 2(1+ cos (2k1x )) = 2p0 cos (k1x ) .

Рис. 5.15. Зависимость амплитуды давления |p| от координаты x

На рис. 5.15 изображена периодическая зависимость амплитуды |p| от координаты x. Как следует из (5.104), при условии cos(2k1x + ε) = 1 имеем максимальное значение амплитуды давления

|p|max = p0(1 + |Vр|), а при условии cos(2k1x + ε) = –1 получим мини- мальное значение амплитуды |p|mіn = p0(1 – |Vp|).

228

Итак, измеряя |p|max и |p|min, получаем два уравнения

p0(1 + |Vp|) = |p|max и p0(1 + |Vp|) = |p|min. Отсюда, исключив ампли-

туду падающей волны p0, находим модуль коэффициента отражения

Фазовую характеристику коэффициента отражения Vp определя- ют, фиксируя значение расстояния от препятствия, где наблюдается максимум или минимум амплитуды давления:

где xmax(n ) — координата n -го максимума амплитуды давления; xmin(m)

— координата m-го минимума амплитуды давления. Перемещая мик- рофон вдоль оси Ox, начиная от препятствия (x = 0), фиксируют рас- стояние или до первого минимума xmin, или до первого максимума xmax. Согласно (5.106) эти расстояния (полагаем n = m = 1) можно оп- ределить так:

где λ1 = 2π /k1 — длина звуковой волны в среде. Отсюда получим та- кие формулы для аргумента коэффициента отражения:

Согласно формуле (5.100) находим искомую величину входного со- противления препятствия через измеренный коэффициент отраже-

Если препятствие акустически жесткое (υх = 0, Vp = 1), то Zвх = ∞; если препятствие акустически мягкое (p = 0, Vp = –1), то Zвх = 0.

Среда препятствия определяет комплексный характер коэффици- ента отражения. И здесь интересными являются такие детали. Рас- смотрим две ситуации. Пусть при измерении поля перед препятстви- ем получили, что |p|max /|p|min = 2, xmax = λ1/10. Согласно (5.105) и

229

(5.108) получим значение модуля |Vp| = 1/3 и аргумента ε = –0,4π ко- эффициента отражения, итак, Vp = (1/3)exp(–i0,4π). Далее по формуле (5.110) определяем сопротивление препятствия Zвх ≈ (0,78 – i0,77)ρ1c1. Если теперь на расстоянии xmin = λ1/10 находится минимум амплиту- ды давления, то согласно (5.109) имеем ε = 0,4π и коэффициент отра- жения Vp = (1/3)exp(i0,4π). Тогда входной импеданс препятствия Zвх ≈ (0,78 + i0,77)ρ1c1. Таким образом, знак мнимой части Zвх изме- нился.

Рис. 5.16. Векторное изображение комплексных амплитуд давления падаю- щей (1) и отраженной (2) волн

Чтобы сделать обобщение обратимся к графическому изображе- нию комплексных амплитуд давления падающей и отраженной волн в виде векторов (рис. 5.16). На этом рисунке вдоль оси абсцисс отло- жена действительная часть давления Re p, а вдоль оси ординат — мнимая Im p. Вектор 1 обозначает комплексную амплитуду давления падающей волны A0exp(–iωt – ikx) на поверхности препятствия x = 0 в момент времени t = 0. При удалении от препятствия вдоль оси Ox (рис. 5.14) вектор 1 (на рис. 5.16), который определяется комплексной амплитудой падающей волны A0exp(–ikx), будет вращаться вокруг на- чала координат по часовой стрелке.

Вектор 2, который соответствует комплексной амплитуде отражен- ной волны p0|Vp|exp(iε) на поверхности препятствия (x = 0), располага- ется в одном из квадратов плоскости (ReVp, ImVp). Это зависит от аргу- мента ε коэффициента отражения Vp. Понятно, что при удалении от препятствия вектор p0|Vp|exp(ikx + iε) вращается против часовой стрел- ки. Полное обращение вектора означает изменение фазы волны на ве- личину 2π, что соответствует перемещению точки наблюдения вдоль оси Ox на расстояние, которое равняется длине волны. Четверть полного оборота соответствует расстоянию в пространстве λ/4. Таким образом,

230