1. Экономико-математические методы, используемые в экономико-математическом моделировании. Рассмотрим экономическую интерпретацию элементов оптимального решения моделей оптимизации производственной программы на следующем примере. Экономический смысл двойственной оценки различается от вида ограничения, которому она соответствует (ресурсное или объемное). Двойственная оценка по продукции показывает, насколько изменится значение критерия оптимальности при увеличении объема выпуска данной продукции на одну единицу. Поскольку критерий (целевая функция) на максимум - то отрицательное значение двойственной оценки характеризует невыгодность продукции; если же двойственная оценка положительна - то соответствующая продукция выгодна. Экономический смысл нулевой двойственной оценки определяется знаком ограничения: если ограничение имеет знак "больше" - то продукция является выгодной, если знак "меньше" - продукция невыгодна. Двойственная оценка по ресурсу показывает, насколько изменится значение критерия оптимальности при увеличении количества данного ресурса на одну единицу. Чем больше значение двойственной оценки, тем более дефицитен ресурс, тем больше возрастает критерий оптимальности при увеличении этого ресурса на одну единицу. Дефицитные ресурсы используются в оптимальном плане полностью. Если двойственная оценка по ресурсу равна нулю, то ресурс в оптимальном плане используется не полностью и является недефицитным (при увеличении ресурса на одну единицу критерий оптимальности не изменяется). Оборудование является недефицитным ресурсом, поскольку двойственная оценка равна нулю, следовательно, при увеличении фонда времени работы оборудования критерий оптимальности не изменится

2. Понятие модели, моделирования, экономико-математической модели, экономико-математического моделирования.Модель- копия или аналог объекта-исследования, отображающая его существенные свойства. Моделирование- исследование объектов познания косвенным путем при помощи анализа других вспомогательных объектов, т.е. моделей.Экономико-математическая модель(ЭММ) — ϶ᴛᴏ математическое описание экономического объекта или процесса с целью их исследования и управления ими. Экономико-математическое моделированиепредставляет собой процесс выражения экономических явлений математическими мо­делями.

3. Этапы экономико-математического моделирования. Выделяют 6 этапов ЭММ: 1)Постановка эконом-ой проблемы и её качественный анализ. Выделяются важнейшие черты, свойства объекта исследования; произв-ся анализ его структуры, взаимосвязи элементов; формируется сущность проблемы.2) построение мат.модели. Осуществить построение мат.модели в виде конкретной мат.зависимости(уравнений, неравенств). 3)На этапе мат. анализа построения модели выявл-ся общие свойства модели и её решений. При этом важным вопросом явл-ся доказ-во существования решений с формулировкой модели: если мат. задача не имеет решений, то следует скорректировать или постановку эк.задачи или способы её математ.формализ-ии. 4) Подготовка исходной информации. Он предст. собой наиболее трудоемкий этап модел-ия; при этом использ-ся методы тервер и мат.стат для организации выборочных исследований, оценки достоверности данных. 5) Численное решение ЭММ – включая разработку алгоритмов решения задачи, составления программ для ЭВМ и проведение расчетов. 6) Проводится анализ полученных результатов и их применение рассматривает правильность и полноту результатов моделирования , степень их практической применимости.

4. Классификация экономико-математических моделей.По конструктивным особенностям делятся на: модели материальные(физические),которые воплащены в матер.объектах, модели идеальные, кот-ые явл. продуктом человеческого мышления (ЭММ отн-ся к идеальным моделям). По общему цел –ому назначению: теоретико-аналитич-ие - исп-ся при изучении общих свойств и закономерностей эк-х систем, прикладные – прим-ся в решениях конкретных эк. задач.Постепени агрегирования объектов:макроэкономические, микроэконом-ие.По цели создания и применения:Балансовые – выр-ют требования соответствия наличия ресурсов и их использования. Трендовые – развитие моделируемой эк. системы отражаются через тренд ( длительную тенденцию) её основных показателей. Оптимизационные – предназн-ы для выбора наилучшего из опред-ого числа вариантов. Имитационные – предн-ы для использования в процессе машинной имитации изучаемых систем или процессов.По учету фактора времени:статистические – опис-ет свойства объекта по составлению к определенному моменту времени, Динамические – описывает эк. систему в развитии.По учету отражения времени: Непрерывные- время рассм-ся как непрерывный фактор. Дискретное – время квантовано.По учету фактора неопределенности: Детерминированные – результаты на выходе однозначно определ-ся управляющими воздействиями без учёта случ-ых факторов. Стохастические – при задании на входе стохастической(вероятностной) модели опред-ой совокупности значений на на ее выходе могут быть получены разные результаты в зависимости от действия случайного фактора. Теоретико-игровые – учитывают воздействие факторов, обладающих более высокой степенью неопред-ти.По типу математ-ого аппарата:дифференц-ие исчесления, линал, мат.статистика, тервер, матем програмир-ие, теория игр и тд.По типу подхода к изучаемым соц-но эконом системам: Дескриптивные (описательные) модели основаны на описании и объяснении фактически наблюд-ых явлений. Нормативные – в процессе применения используют нормативный подход, направленный на совершенствование эк системы.По способу выражения соотношения между внешними условиями, внутренними параметрами и искомыми характеристиками:функциональные – имитируют поведение объекта таким образом, что задавая значение входа на выходе можно получить значения неизвестных , определ-ых с помощью моделей без инф-ии о внутренних параметрах объекта , т.е. построить функц-ую модель – это значит отыскать опред-ый оператор «Д». Структурные – отражают внутреннюю орг-ию объекта, т.е. его составные части , внутренние параметры и их связи с внешней средой .Модели представлены в виде блок схемы. Стоимостные – сопровождают функционирование модели на основе информации ,полученной от функциональной модели , проводится комплексная технико – экономическая оценка объекта.

5.Основные исходные предпосылки оптимизации экономических решений. Постановка задач оптимизации возможна при условии выделения определенных предпосылок в отношении характера анализируемых экономических процессов. • В качестве важнейшей предпосылки выделяется наличие единого критерия оптимизации качества экономических решений, который может быть количественно измерен. При этом критерий оптимальности рассматривается как показатель, выражающий предельную меру экономического эффекта принимаемого решения для сравнительной оценки возможных решений выбора наилучшего из них. • В качестве второй предпосылки в отношении характера анализируемых экономических процессов, при условии выделения которой возможна постановка задач оптимизации, выделяют признание ограниченности средств достижения целей. При этом выделяют общеэкономические и правовые ограничения, а также ограничения при использовании ресурсов. • И, наконец, третья предпосылка в отношении характера анализируемых экономических процессов, при условии выделения которой возможна постановка задач оптимизации, – наличие взаимозаменяемости ресурсов и многовариантность их использования для достижения одних и тех же целей экономического эффекта принимаемого решения для сравнительной оценки возможных решений и выбора наилучшего из них.

6. Структура оптимизационной модели.Основными элементами оптимизационной модели являются параметры и переменные. При этом параметры (исходные данные) – заранее известные фиксированные факторы, на значения которых исследователь не влияет, а значения переменных на момент постановки задачи неизвестны. Указанные элементы оптимизационной модели связаны математическим зависимостями в виде составных частей оптимизационной модели, в качестве которых выступают критерий оптимальности и система ограничений. С точки зрения структуры оптимизационной модели критерий оптимальности (целевая функция, критерий эффективности, функционал) – это показатель, на основании которого сравнивают эффективность управленческих решений в процессе выбора наилучшего из них. Система ограничений составляется в виде уравнений (неравенств) и определяет область допустимых решений, то есть область, в пределах которой осуществляется выбор решений. Рассмотрение структуры оптимизационных моделей позволяет выделить следующие этапы построения математической модели для решения задач оптимизации: определение параметров модели; определение переменных; построение системы ограничений; формализация критерия оптимальности путем выражения цели через параметры и переменные.

7. Экономико-математические модели составления производственной программы  предприятия. Производственная программа предприятия представляет собой раз­вернутый или комплексный план производства и продажи продук­ции, характеризующий годовой объем, номенклатуру, качество и сро­ки выпуска требуемых рынком товаров и услуг. В рыночных условиях основу плана производства на различных предприятиях составляют заключенные договоры с потребителями, имеющийся портфель зака­зов и существующая потребность в товарах, а также действующие законы спроса и предложения на продукцию, работы и услуги. В условиях рыночной неопределенности могут применяться раз­личные методы составления производственной программына отечест­венных предприятиях: уровневое прогнозирование, последовательное принятие плановых решений, создание ситуационных планов, линей­ное программирование, диверсификация продуктов и рынков, повы­шение конкурентоспособности продукции и др. Наиболее простой путь уменьшения неопределенности в планировании предполагает расширение рыночной информации о потребителях и конкурентах, о спросе и предложении и т.д.Уровневое прогнозированиепредставляет процесс предвидения ожидаемого объема продаж и прибыли по трем точкам: максимальный, вероятный, минимальный. Оно обладает мно­гообразными достоинствами: 1) помогает увеличить число плановых альтернатив и подготовиться к возможным отрицательным последст­виям; 2) представляет плановикам-экономистам реальное значение показателей, что позволяет избежать составления недостаточно обос­нованных проектов; 3) способствует разработке системы раннего пре­дупреждения или ситуационных планов, чтобы предотвратить сниже­ние плановых и фактических показателей деятельности предприятия. Ситуационное планированиесчитается довольно новым методом планирования, широко распространенным на американских и япон­ских фирмах и в компаниях. Процесс ситуационного планирования выполняется обычно в таком порядке: 1) устанавливаются ключевые факторы среды, влияющие на пла­нируемые результаты деятельности предприятия. В качестве критери­ев для отбора показателей используются как масштабы возможного воздействия на производство, так и вероятность возникновения са­мого процесса; 2) составляется нормативный план, исходящий из наиболее веро­ятного допущения комплексного воздействия системы производст­венных факторов на планируемый результат. Он становится главным компонентом разработки комплексного всеобъемлющего плана про­изводственной деятельности всей организации; 3) отбирается для каждого продукта несколько определяющих или основных допущений, отличных от наиболее вероятной ситуации, и составляется автономный план, который не входит в комплексный. В качестве допущения могут быть приняты не только наихудшие ва­рианты, но и должны быть предусмотрены различные случайности. Ситуационный план не разрабатывается в деталях, он предписывает, что должен делать каждый исполнитель в той или иной ситуации и каких последствий можно ожидать при их наступлении; 4) определяется ситуация перехода к данному плану в процессе текущей производственной деятельности, уточняется точка или мо­мент переключения с нормального плана действий на ситуационный, предусмотренный при возникновении непредвиденных обстоятельств.

Ситуационное планирование дает некоторые преимущества как в процессе разработки производственной программы предприятия, так и в особенности при ее осуществлении в нестабильных рыночных условиях. Руководители и исполнители планов получают возможность быстро действовать в неблагоприятной ситуации, которая была зара­нее запланирована, например, при изменении спроса на товар всту­пает в действие ситуационный план сокращения его выпуска. Разработка производственной программы осуществляется на боль­шинстве промышленных предприятий в три этапа: 1) составление годового производственного плана для всего пред­приятия; 2) определение или уточнение на основе производственной про­граммы приоритетных целей на плановый период; 3) распределение годового плана производства по отдельным структурным подразделениям предприятия или исполнителям.

7.1.

7.1. ЭММ производственной программы предприятия на максимум эффекта от выпуска продукции.Введем обозначения:­ индекс ресурсов (= 1, 2, ….,);­ индекс изделия (= 1, 2, ….,);­ наличный объем-го ресурса;­ норма затрат-го ресурса на производство единицы-го изделия;­ оптовая цена единицы изделия-го вида;­ искомый объем производства-го изделия. В данных обозначениях задача запишется следующим образом. Найти значения переменных, максимизирующие целевую функцию видапри выполнении ограничений на использование ресурсов:и неотрицательности переменных:Особенность экономико-математической модели (2.8)÷(2.10) состоит в том, что она справедлива для любого количества видов продукции и ресурсов, для самых разнообразных численных значений лимитов ресурсов и норм затрат ресурсов. Коэффициенты при неизвестных в целевой функции означают эффективность от выпуска единицы продукции (прибыль, цена).

7.2 Эмм производственной программы предприятия на минимум суммарных затрат

Задача формирования производственной программы может быть поставлена и на минимум целевой функции. Например, необходимо

отобрать в план такие изделия, чтобы суммарные затраты на изготовление продукции были минимальными. Если принять, что ─ затраты на производство одной единицы j-го вида продукции, то простую модель с критерием оптимальности ­ минимум затрат на весь объем выпуска можно представить так:

(2.11)

(2.12)

(2.13)

Для модели такого вида существует простое оптимальное решение ­ все неизвестные равны нулю. Действительно, при все ограничения выполняются, т.е. решение допустимо и дает наименьшее значение критерия оптимальности, т.е. затраты равны нулю. Такое правильное математическое решение приводит к абсурдному с экономической точки зрения выводу: ничего не производить и все ресурсы останутся неиспользованными.

В этой упрощенной модели не учтена цель производства ­ получение результата в виде конечной продукции, а в процессе производства необходимо сопоставление затрат и результатов. Очевидно, необходимо ввести дополнительное ограничение, которое позволило бы не сводить к нулю затраты. В данном случае задача должна быть поставлена следующим образом: минимизация затрат при фиксированном уровне результата.

7.3 Эмм производственной программы предприятия на минимум затрат при фиксированных планах производства

Рассмотрим экономико-математическую модель задачи на минимум затрат при фиксированных планах производства.

(2.14)

(2.15)

(2.16)

Но любой сверхплановый выпуск увеличит значение критерия оптимальности. Ясно, что наименьший уровень затрат возможен лишь при строгом выполнении плановых заданий, т.е. при , а значит данная модель теряет смысл, т.к. оптимальный план известен ­ он определяется набором.

7.4. Эмм производственной программы предприятия на минимум затрат при

фиксированном объёме продаж.

Целевая функция

Ограничения

По времени работы оборудования

a_hj–затраты времени работыh-ой группы оборудования по производству единицыj-го вида продукции,B_h–эффективный фонд времени работыh-той группы оборудования в планируемый период,X_j-объем производстваj-ой продукции (в натуральном выражении)

Ограничения по объему продаж

где Ц– задаваемый нижний уровень объема продаж

8.Экономическая интерпретация данных по результатам решений оптимизационной задачи в MS Excel. Экономический смысл двойственной оценки различается от вида ограничения, которому она соответствует (ресурсное или объемное). Двойственная оценка по продукции показывает, насколько изменится значение критерия оптимальности при увеличении объема выпуска данной продукции на одну единицу. Поскольку критерий (целевая функция) на максимум - то отрицательное значение двойственной оценки характеризует невыгодность продукции; если же двойственная оценка положительна - то соответствующая продукция выгодна. Экономический смысл нулевой двойственной оценки определяется знаком ограничения: если ограничение имеет знак "больше" - то продукция является выгодной, если знак "меньше" - продукция невыгодна. Двойственная оценка по ресурсу показывает, насколько изменится значение критерия оптимальности при увеличении количества данного ресурса на одну единицу. Чем больше значение двойственной оценки, тем более дефицитен ресурс, тем больше возрастает критерий оптимальности при увеличении этого ресурса на одну единицу. Дефицитные ресурсы используются в оптимальном плане полностью. Если двойственная оценка по ресурсу равна нулю, то ресурс в оптимальном плане используется не полностью и является недефицитным (при увеличении ресурса на одну единицу критерий оптимальности не изменяется).

8.1. Виды отчётов решения задачи в MS Еxcel. MS Excel позволяет представить результаты поиска решения в форме отчета (см. рис. 1.8). Существует три типа таких отчетов. Результаты (Answer)-используется для создания отчета, содержащего сведения о времени решения задачи, числе итераций, параметрах поиска решения, сведений о целевой функции, ячейках с переменными и ограничениях. Устойчивость (Sensitivity)- отчет содержит сведения о чувствительности решения к малым изменениям в формуле целевой функции или формулах ограничений. Этот отчет имеет 2 раздела: один для изменяемых ячеек, а второй для ограничений. Правый столбец в каждой ячейке содержит информацию о чувствительности. Раздел для изменяемых ячеек содержит значение для нормированного коэффициента, которое показывает, как целевая ячейка реагирует на увеличение значения в соответствующей изменяемой ячейке на одну единицу. Подобным образом множитель Лагранжа в разделе для ограничений показывает, как целевая ячейка реагирует на увеличение соответствующего значения ограничения на одну единицу. Пределы (Limits)- отчет содержит ячейку целевой функции, список исходных ячеек задачи, их значений, а также верхних и нижних границ этих значений. Нижняя и верхняя границы – это соответственно, минимальное и максимальное значения, которые могут принимать ячейки с переменными при соблюдении ограничений.

8.2. Структура оптимального плана. 1.Выбор некоторого числа переменных для формализации модели объекта.2. Информационная база данных объекта.3. Выражение целевой функции как критерий оптимальности через отобранные экономические показатели, с обозначением экстремума целевой функции. 4.Представление системы ограничений математически в виде уравнений и неравенств через другие экономические показатели.