Проверка_стат._гипотез,_май_2011

Поскольку наблюдаемое значение критерия попало в область критических значений случайной величины, то отвергаем нулевую гипотезу как противоречащую экспериментальным данным и принимаем альтернативную гипотезу H1, т.е. можно сказать, что хироманту действительно в основном удается правильно указывать возраст своих клиентов.

Обратите внимание на то, что в этом примере значения n и k были увеличены в

10 раз так, чтобы доля правильных ответов хироманта сохранилась (осталась той же самой, что и в первой задаче про хироманта). И если на основе малой выборки был получен отрицательный ответ на утверждение хироманта о том, что он может считывать информацию с руки клиента, то теперь, на основе большой выборки, получили положительный ответ на утверждение хироманта. При малых выборках нужно иметь очень сильное различие в правильных и ошибочных ответах хироманта для того, чтобы признать справедливой альтернативную гипотезу о возможности считывать информацию с руки. В случае больших выборок относительное различие в правильных и ошибочных ответах хироманта может быть не столь существенным для такого признания.

Рассмотрим еще один пример на использование критерия знаков.

Пример

(предложен студенткой факультета менеджмента ВШЭ Гибадуллиной А.):

Семья выбирает отель для отдыха на море. Друзья посоветовали им два отеля разных категорий (4* и 5*), однако они утверждают, что на самом деле между отелями нет существенной разницы. На уровне значимости α=5% проверьте справедливость утверждения, что между этими двумя отелями отсутствует существенная разница. В таблице приведены оценки отелей по различным категориям,

выдвинутым для сравнения отелей (оценки даны в десятибалльной системе; 10 баллов

– максимальная оценка):

51

52

Нулевая гипотеза означает, что усредненные оценки, поставленные первому и второму отелю, примерно одинаковые, т.е. значимо не отличаются;

альтернативная гипотеза означает, что усредненная оценка второго отеля несколько лучше, чем усредненная оценка первого отеля. Альтернативная гипотеза введена на основе экспериментальных данных, она рождает правостороннюю критическую область.

Поскольку выборка маленькая, то используем для решения задачи критерий

W (n, k) 1 k C i

2n i 0 n

Вычислим на основе имеющихся данных наблюдаемое значение критерия:

Изобразим полученные результаты графически:

Поскольку наблюдаемое значение критерия попало в область естественных для данного распределения значений, то следует с уровнем значимости 5% принять основную гипотезу H0 о том, что фактически нет существенных различий в оценках как первого, так и второго отелей (Уровень доверия к данному утверждению составляет

95%).

53

Пример: Изучение воздействия рекламы

После воздействия рекламой на группу из 18 человек 5 человек не изменили своего мнения, 9 человек изменили мнение в лучшую сторону, остальные – в худшую. С

помощью критерия знаков проверить нулевую гипотезу об отсутствии значимого эффекта воздействия рекламы на аудиторию против альтернативы - «мнение аудитории изменилось в лучшую сторону» - на 5% уровне значимости.

Решение:

Постановка задачи:

Н0: p = 0.5; Н1: p > 0.5.

N=18→ n=18-5=13; k=9-количество положительных разностей.

Используем критерий W(n;k) для малых выборок:

Так как наблюдаемое значение критерия попало в критическую область, то основную гипотезу отвергаем и принимаем, следовательно, конкурирующую гипотезу,

54

т.е. у нас есть основания полагать, что реклама оказала значимое воздействие на аудиторию. Однако ясно, что поскольку наблюдаемое значение критерия находится очень близко к границе критической области, то вывод можно получить прямо противоположный при уменьшении уровня значимости. В частности, если принять= 0.01, то наблюдаемое значение критерия окажется в области принятия нулевой гипотезы, поэтому в этом случае надо будет сделать вывод о том, что справедлива нулевая гипотеза – «реклама не оказала значимого воздействия на аудиторию». Если наблюдаемое значение критерия оказывается вблизи границы критической области, то в выводах после решения задачи целесообразно подчеркнуть возможность иного

(противоположного) ответа при тех или иных небольших изменениях в условии задачи.

Решим аналогичную задачу о воздействии рекламы на аудиторию в случае большой выборки (n больше 30).

Пример:

Рекламному воздействию подвергли группу из 77 человек, при этом 10 человек не изменили своего мнения, 42 человека изменили мнение в лучшую сторону, остальные – в

худшую. С уровнем значимости в 5% проверить нулевую гипотезу об отсутствии значимого эффекта воздействия рекламы на аудиторию против альтернативы -

«реклама позитивно подействовала на аудиторию».

Решение:

Постановка задачи:

Н0: p = 0.5 (р0 =0.5);

Н1: p > 0.5.

N=77 → n=77-10=67; k=42 (количество положительных разностей); w=k/n.

Здесь используем другой критерий. При справедливости гипотезы Н0 критерий t приближенно имеет стандартный нормальный закон распределения:

55

Вычислим наблюдаемое значение критерия:

Найдем границу правосторонней критической области. Для этого используем

таблицу интеграла вероятности, приведенной в Приложении:

P (-∞ < t < tкрп ) = γ = 0,95 → Ф0 (tкрп ) - Ф0 (- ∞ ) = 0.95 → → Ф0 (tкрп ) = 0.45 → tкрп ≈1.65.

Результаты вычислений покажем графически, используя график плотности стандартного нормального закона распределения:

φ(t)

γ=0.95

α=0.05

Из сравнения значений границы критической области и наблюдаемого значения критерия следует отказаться от утверждения нулевой гипотезы и перейти к утверждению, сформулированному в альтернативной гипотезе. Это значит, что на основе экспериментальных значений можно сделать вывод о том, что реклама значимо в лучшую сторону изменила мнение аудитории.

На этот закончим рассмотрение примеров методического пособия.

56

Приложение

Значения интеграла вероятностей

Критические точки распределения Стьюдента

Критические точки распределения

(или распределения Пирсона)

59

Литература

1.Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.:

ЮНИТИ, 2000.

2.Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ, 2003.

3.Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями. М.- Ростов-на–Дону: МАРТ,

2005.

4.Фадеева Л.Н., Лебедев А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЭКСПО, 2010.

5.Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика в задачах и упражнениях. М.: ЮНИТИ, 2001.

6.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. 9-е издание,

стереотип. М.: Высшая школа, 2008.

7.Наследов А.Д. Математические методы психологического исследования.

Анализ и интерпретация данных. СПб.: Речь, 2007.

8.Сидоренко Е.В. Методы математической обработки в психологии. СПб.:

Речь, 2007.

60