Проверка_стат._гипотез,_май_2011

=0.10

0 tкрп=1.28 t

График показывает, что наблюдаемое значение критерия попало в критическую область, поэтому следует сделать тот же вывод, который был получен ранее: средний рост московских и новосибирских юношей значимо отличается.

5. Проверка гипотезы о равенстве вероятностей биномиального

закона распределения (о равенстве долей признака) двух

генеральных совокупностей

Рассмотрим две генеральные совокупности.

Из первой генеральной совокупности делается случайная выборка объемом n1, и

на основе этой выборки выясняется, сколько объектов выборки обладает изучаемым признаком – этих объектов k1.

Из второй генеральной совокупности делается случайная выборка объемом n2;

количество объектов выборки, обладающих изучаемым признаком, - k2.

Выборочные доли признака по двум генеральным совокупностям равны соответственно

w1= k 1 / n1 ; w2= k 2 / n2.

31

В данном пункте мы ограничимся лишь случаем, когда выборки достаточно

большие: n1>30, n2>30.

Постановка задачи:

справедливости нулевой гипотезы.

Если гипотеза H0 справедлива, то введенный выше критерий приближенно имеет стандартный нормальный закон распределения.

Рассмотрим пример, в котором реализуется рассмотренный выше случай..

Пример:

Перед экспертами поставлена задача оценить сравнительную активность электората Москвы и Санкт-Петербурга при избрании депутатов Государственной Думы. С этой целью была осуществлена случайная выборка в двух этих городах из состава населения, которое имеет право голоса. Было выяснено, какая часть выборки реально пришла на избирательный участок для участия в выборах. Данные оказались следующими: в Москве из 1500 потенциальных случайно выбранных избирателей реально в выборах приняли участие 480 человек, а в Санкт-Петербурге из 1630

потенциальных избирателей на избирательные участки пришли 490 человек. На уровне значимости α=10% проверить гипотезу о равенстве генеральных долей избирателей в двух этих городах, реально принявших участие в выборах.

32

Решение:

Постановка задачи:

Н0 : WГ1 = WГ2 ;

Н1 : WГ1 ≠WГ2 .

Здесь генеральные доли московских и питерских избирателей, реально принявших участие в выборах, обозначены WГ1 , WГ2 .

Экспериментальные значения:

n1 = 1500, k1 = 480; n2 = 1630, k2 = 490.

Вычислим на основе экспериментальных данных выборочные доли и точечную оценку вероятности при справедливости нулевой гипотезы:

Найдем границы двусторонней критической области, таблично (с помощью

функции Ф0, значения которой даны в Приложении) решив следующее уравнение:

33

Покажем все найденные значения на графике плотности стандартного нормального закона распределения, который описывает поведение случайной величины t при справедливости нулевой гипотезы:

Поскольку наблюдаемое значение критерия попало в область естественных для данного закона распределения значений (в данном случае стандартного нормального закона распределения), то гипотеза H0 принимается как не противоречащая экспериментальным данным с уровнем доверия 90%, т.е. генеральные доли электората,

реально принявших участие в выборах в Москве и Санкт-Петербурге, значимо не отличаются (их можно считать одинаковыми).

6. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента

корреляции Пирсона.

Рассматривается двумерная нормально распределенная генеральная совокупность (X,Y), т.е. случайные величины X и Y в ней распределены нормально. Из этой совокупности извлечена случайная выборка объемом n пар (xi , yi) и по ней вычислен выборочный коэффициент корреляции Пирсона, который оказался отличным от нуля. Возникает вопрос, объясняется ли это действительно существующей линейной связью между случайными величинами X и Y в генеральной совокупности или является следствием случайности отбора переменных в выборку. Можно ли при этом заключить,

34

что и коэффициент корреляции между случайными величинами X и Y во всей генеральной совокупности также отличен от нуля?

Напоминание:

Постановка задачи:

H0: ρ=0;

H1: ρ≠0.

Если нулевая гипотеза отвергается, то это означает, что коэффициент корреляции в генеральной совокупности значимо отличается от нуля (кратно говоря

«значим»), и, следовательно, в генеральной совокупности признаки X и Y связаны линейной зависимостью. Если же принимается нулевая гипотеза, то следует считать,

что генеральный коэффициент корреляции незначим, и, следовательно, признаки X и Y

вгенеральной совокупности не связаны линейной зависимостью.

Вкачестве критерия проверки нулевой гипотезы используется случайная

величина

t = r • n - 2 1 - r 2

Показано, что эта случайная величина (критерий) при справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Стьюдента с k = n - 2 степенями свободы. Число степеней свободы на две единицы меньше объема выборки, поскольку в выражении для r задействованы две связи, заданные формулами для вычисления средних значений по выборке:

35

Ясно также, что при больших объемах выборки (n>30) можно вместо распределения Стьюдента использовать стандартный нормальный закон распределения.

Поскольку конкурирующая гипотеза имеет вид ρ≠0, то следует строить двустороннюю критическую область.

Определив, куда попадает наблюдаемое значение критерия tнабл, делаем вывод о принятии нулевой или же альтернативной гипотезы:

если | tнабл |<tкр, то принимается гипотеза H0; если | tнабл | tкр , то принимается

гипотеза H1.

Пример:

По выборке объема n=7, извлеченной из нормальной двумерной генеральной совокупности, был вычислен коэффициент корреляции Пирсона r=0,57. На уровне значимости α=10% проверить гипотезу H0 о равенстве генерального коэффициента корреляции нулю при конкурирующей гипотезе ρ≠0.

Решение:

Постановка задачи:

H0: ρ=0;

H1: ρ≠0.

Определим значения границ двусторонней критической области из условия, что при малых объемах выборок критерий t распределен (при справедливости нулевой гипотезы) по закону распределения Стьюдента с числом степеней свободы

36

Привлечем таблицу «Критические точки распределения Стьюдента» (она приведена в Приложении); в таблице используем ту ее часть, которая относится к

двусторонней критической области, используем и k=5, на основе этих

значений найдем tкр =2.01.

Полученные результаты покажем графически на графике плотности закона распределения Стьюдента, который, как было уже сказано, внешне похож на график плотности стандартного нормального закона распределения:

f(t)

=0.90

tнабл=1.55

Поскольку наблюдаемое значение критерия попало в область принятия нулевой гипотезы, то следует принять нулевую гипотезу с уровнем значимости 10%. Это означает, что генеральный коэффициент корреляции равен нулю, т.е. в генеральной совокупности между случайными величинами X и Y линейная связь отсутствует. В этом случае не следует использовать уравнение линейной регрессии для прогнозирования значения одной случайной величины по значению другой случайной величины.

Рассмотрим аналогичный пример, но существенно увеличим в нем объем выборки.

Пример:

По выборке объема n=112, извлеченной из нормальной двумерной генеральной совокупности, был вычислен коэффициент корреляции Пирсона r=0.57. На уровне значимости α=10% проверить гипотезу H0 о равенстве генерального коэффициента корреляции нулю (ρ=0) при конкурирующей гипотезе ρ≠0.

37

Решение:

Постановка задачи:

H0: ρ=0;

H1: ρ≠0.

Найдем наблюдаемое значение критерия:

Определим значения границ двусторонней критической области из условия, что при больших объемах выборок критерий t распределен по стандартному нормальному закону распределения при справедливости нулевой гипотезы (в этом случае пользуемся таблицей интеграла вероятности из Приложения):

=1- =1-0,10=0,90→Ф0(tкр)= /2=0.9/2=0,45→tкр=1.65.

Покажем результаты на графике плотности стандартного нормального закона

распределения:

φ(t)

=0.90

tнабл=7.28

38

Поскольку наблюдаемое значение критерия попало в критическую область, то следует отклонить нулевую гипотезу в пользу альтернативной гипотезы, т.е. принять,

что коэффициент линейной корреляции в генеральной совокупности значим. Из этого утверждения следует, что между двумя случайными величинами X и Y в генеральной совокупности имеется линейная связь, которая позволяет использовать уравнение линейной регрессии для прогнозирования, т.е., задавая конкретное значение величины

X, получать (прогнозировать) значение другой случайной величины Y хотя бы и с некоторой степенью приближения.

Получился интересный результат, который надо иметь в виду. Он заключается в том, что при больших объемах выборок то же самое значение коэффициента корреляции является значимым, т.е. показывает наличие линейной связи между случайными величинами в генеральной совокупности. В то же время при малых объемах выборок это же значение коэффициента корреляции не является значимым и не позволяет сделать вывод о том, что между случайными величинами в генеральной совокупности имеется линейная связь, поскольку для получения такого вывода в случае малых выборок имеется недостаточное количество экспериментальных данных.

7. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента

корреляции Спирмена

Постановка задачи:

H0 : ρSГ = 0;

H1 : ρSГ ≠0.

Здесь через ρSГ обозначен ранговый коэффициент корреляции, связывающий случайные величины в генеральной совокупности (на это указывает индекс «Г»); через

ρS обозначен коэффициент корреляции Спирмена, вычисленный по выборке, иначе выборочный ранговый коэффициент корреляции.

39

Напоминание:

Формулы для вычисления коэффициента Спирмена:

Пояснения по формулам можно найти в ссылках [1], [5].

При проверке значимости коэффициента корреляции Спирмена поступают совершенно аналогично тому, как мы поступали, имея дело с коэффициентом Пирсона.

Формулы для вычислений используются те же самые с учетом небольших изменений.

Эти изменения таковы:

Если объем выборки совсем маленький (n<9), то для выяснения значимости коэффициента корреляции нужны специальные таблицы, которые приводятся в специальных руководствах (этот случай мы рассматривать не будем).

Если объем выборки n 9, то при справедливости гипотезы H0 критерий

имеет распределение Стьюдента с k = n - 2 степенями свободы.

40