18 Вопрос. Цифровые фильтры. Системы дискретного времени.

Системы дискретного времени – систематические алгоритмы, на входе которых последовательность двоичных чисел x(t), а на выходе – последовательность двоичных чисел y(t).

Пример системы ДБ – цифровой фильтр.

Система дискретного времени может быть линейной и нелинейной, инвариантной относительно времени и изменятся во времени.

Система линейна, если она подчиняется принципу суперпозиции.

Система дискретного времени инвариантна относительно времени, если ее параметры не зависят от времени, то есть если вход x(t) дает выход y(t), то вход x(t)-k дает выход y(t)-k, то есть задержка входного сигнала приведет к такой задержке выходного. Взаимосвязь между входами и выходами линейной системы задается сверткой:

,где h(k) – импульсная характеристика.

Импульсная характеристика системы – отклик системы на единичный импульс. Значение единицы импульса 1 при n=0, u=0 при остальных n.

2 класса системы: 1) конечная импульсная характеристика (КИХ), то есть импульсная характеристика конечной длинны; 2) БИХ системы с импульсной характеристикой бесконечной длинны.

19 Вопрос. Z – преобразование.

Определяется следующим образом:

, где z – комплексная переменная для системы

Z – преобразование – степенной ряд u имеет область сходимости, в которой x(z) – конечная.

Обратное Z – преобразование позволяет восстановить последовательность по ее z – образу.

Z – образ можно разложить в степенной ряд:

Из данной записи видно, что коэффициенты можно найти как .X(Z) выражается как отношение 2-х многочленов:

Обратное Z – преобразование может найти отличие 3-х методов: метода разложения в степенной ряд, метод разложения на элементарные дроби, метод вычетов.

Рассмотрим последний метод.

Свойства Z – преобразования:

1. Линейность – Z – преобразование от линейной комбинации 2-х последовательностей равна линейной комбинации Z – преобразования (линейная комбинация – a*x+b*y).

Z – преобразование от сигнала y(t) получена из исходного сигнала x(t) сдвигом на одну позицию в сторону запаздывания, равную Z – преобразованию исходного сигнала, домноженного на .

, где - задержка на длину интервала дискретизации.

2. Дискретная свертка. Сверка двух дискретных сигналов соответствует произведению их Z – преобразований.

20 Вопрос. Прохождение цифрового сигнала через систему дв.

Система ДВ характеризуется передаточной характеристикой h(z):

На основании свойств Z – преобразования:

Передаточная функция определяет частными свойствами системы ДВ.

k- коэффициент усиления, Zn – нули (корни числителя), βm – полюса (корни знаменателя).

Нули и полюса применяются для исследования частотных характеристик.

21 Вопрос. Цифровые фильтры с конечной импульсной характеристикой (ких).

Физически осуществимые цифровые фильтры работают в реальном масштабе времени, для формирования выходного сигнала в i-ый дискретный момент времени могут использовать следующие данные:

1. Значения выходного сигнала в текущей момент времени; так же некоторое количество прошлых отсчетов входного сигнала: x(i-1), x(i-2), x(i-m);

2. Некоторое количество предыдущих отсчетов выходного сигнала: y(i-1), y(i-2), y(i-n).

Целые числа m и n определяют порядок цифрового фильтра. Фильтры классифицируются в зависимости от того, как используется информация о прошлом состоянии системы.

Фильтры с КИХ или не рекурсивные фильтры, работающие в соответствии со следующим алгоритмом.

, m – порядок фильтра.

Не рекурсивный фильтр производит взвешивание, суммирование предыдущих отсчётов входного сигнала. Прошлые отсчеты выходного сигнала не используются.

H(z) – системная функция.

Системная функция имеет m нулей и один полюс, при z=0.

Алгоритм функционирования цифрового фильтра с КИХ показан на рис.45.

Основными элементами фильтра служат блоки задержки отсчетов значений на 1 интервал дискретизации .

Масштабные блоки, выполняющие умножение на весовые коэффициенты в цифровой форме. С выхода масштабных блоков сигнал поступает в сумматор, где вычисляется выходной сигнал.

Данная структурная схема не является электрической, а служит графическим изображением алгоритма обработки сигнала на ЭВМ. Выходными и входными данными для такого алгоритма служат массивы чисел.

Применим к системным функциям обратное Z – преобразование и найдем импульсную характеристику:

(импульсная характеристика фильтра).

Импульсная характеристика КИХ фильтра содержит конечное число элементов и данный фильтр всегда устойчив.

Найдем частотную характеристику выполнив подстановку

T=1/fs – интервал дискретизации.

Подбирая коэффициенты в данном выражении можно получить АЧХ фильтра.

Пример программной реализации ЦФ с КИХ – семинар №4.