10 Вопрос. Теорема Котельникова (Найквиста)

Возникает задача: какой же максимальный интервал выборки нужен, чтобы по отсчетам можно было восстановить первоначальную форму сигнала?

Если - самый высокочастотный компонент сигнала, то чтобы элементы выборки полностью описывали сигнал, дискретизация сигнала должна осуществляться с частотойне ниже.

Смысл теоремы Котельникова иллюстрирует (рис. 29).

Как видно из рисунка, если частота дискретизации равна удвоенной частоте синусоидального сигнала, что по полученным отсчетам можно восстановить исходный сигнал. Если частоту дискретизации выбрать меньшей, что частота сигнала, восстановленного по отсчетам будет меньше, чем у исходного сигнала и восстановленный сигнал можно будет принять за более низкочастотный. Данное явление называется наложением.

Спектр дискретного сигнала и наложения

Спектр дискретного сигнала представляет собой сумму бесконечного числа копий спектра исходного сигнала. Каждая копия спектра аналогового сигнала сдвинута по оси частот на расстояние, равное частоте дискретизации.

- спектр цифрового сигнала

- исходный сигнал

Спектры аналогового и цифрового сигналов показаны на (рис. 30).

Видно, что:

Спектр идентичен спектру исходного сигнала, только повторяется в точках кратных частоте дискретизации. Компоненты более высокого порядка с центрами в точках кратных частоте дискретизации называются зеркальными частотами.
Если частота дискретизации недостаточно высока, то зеркальные частоты будут накладываться на частоты основной полосы (рис. 30.в). В этом случае полезную информацию, содержащуюся в сигнале невозможно отличить от его образа в области наложений.
Частота равная половине частоты дискретизации -называется частотой Найквиста. В данной точке (на данной частоте) происходит наложение. Так же данную частоту называют максимальной частотой сигнала.

Для борьбы с наложением можно либо ограничивать полосу частот сигнала, пропуская его через ФНЧ, либо повышать частоту дискретизации, чтобы отодвинуть по оси частот спектр сигнала и зеркальный спектр дальше друг от друга.

11 Вопрос. Восстановление сигнала по отсчету

Из (рис. 30) видно, что чтобы восстановить исходный аналоговый сигнал по отсчету, нужно пропустить дискретный сигнал через ФНЧ. При этом зеркальный спектр подавится, а главный лепесток спектральной диаграммы пройдет через ФНЧ. Так как идеальный ФНЧ реализовать невозможно, то на выходе ФНЧ всегда будут присутствовать компоненты зеркальных частот. Поэтому полностью восстановить сигнал по отсчетам невозможно.

Простейшим ФНЧ является интегрирующая цепочка. Процесс восстановления сигнала при помощи интегрирующейцепочки показан на (рис. 31).