15 Вопрос. Свойства дпф:
Первый элемент ряда Фурье связан со средним значением, то есть постоянной составляющей сигнала:
Симметрия. Амплитудный спектр симметричен, а фазовый ассиметричен.
Теорема Парсевале
Теорема
устанавливает равенство
Операция свертки во временной области соответствует операции умножения в частотной области.
Пример смотри в методических указаниях к семинару №3.
Обратное дпф.
Обратное ДПФ
позволяет перейти от частотной области
во временную.
Обратное дискретное преобразование Фурье позволяет переходить от спектра к сигналу. При этом можно вычислить круговую свертку:
16 Вопрос. Быстрое преобразование Фурье.
Для вычисления
ДПФ от сигнала из N
– отсчетов необходимо провести
операций
с комплексными числами. Каждому из
отсчетов сигнала ставится в соответствие
элемент спектра, на вычисление которого
необходимоN
операций. Вычисление по такому алгоритму
для больших массивов требует значительных
затрат машинного времени.
БПФ (FFT) служит для преодоления этого недостатка.
Для вычисления
БПФ требуется порядка
операций, массив,
содержащий
отсчетов,
Р – целое число. Если входной массив не
укладывается в такую размерность, то
его дополняют нулями. Если при вычислении
ДПФ заменить вычисление одного ДПФ для
массива изN
элементов на вычисление 2х ДПФ для
массива из N/2
элементов, объем увеличится в 2 раза.
Исходный массив разбивают до тех пор, пока не дойдут до массива из 2х элементов. Для такого массива вычисляют ДПФ по определению.
Чтобы перейти к исходной длине массива существуют алгоритмы объединения. Схемотехнически, данный алгоритм показан на рис. 38.
Одним из алгоритмов вычисления БПФ является алгоритм с прореживанием по времени. Структурная схема алгоритма с прореживанием по времени – рис.40.
Операция объединения в данном алгоритме выполняется на основе поворотных коэффициентов. Процесс объединения схемотехнично показан на рис.39.
Подробное описание алгоритма смотри в методическом указании семинара №3.
17 Вопрос. Оконные функции.
Для вычисления ДПФ используют отрезки сигналов конечной длины. Оконные функции служат для выборки отрезка сигнала конечной длины из бесконечного сигнала. Оконная функция равна 0 за пределами отрезка времени и не равна 0, в его пределах. Чтобы ограничить во времени дискретный сигнал его надо умножить на оконную функцию. Также оконные функции устраняют размытие пиков на спектре диаграммы в результате неправильного выбора fs и количества отсчетов.
Умножение сигналов производится следующим образом:
ДПФ для сигнала с окном:
В данном выражении каждый из отсчетов сигнала домножается на весовые коэффициенты, определяющие функцию окна.
Простейшая оконная функция – прямоугольное окно. Оно получается автоматически при выборке из сигнала отрезка длиной N-отсчетов.
Значение оконной функции равно 1 в пределах окна, и 0 за его пределами.
Прочие окна домнажаются каждый отсчет сигнала на весовой коэффициент, зависящий от № отсчета.
Окно Хэмминга:
Часто используют окна Кайзера, Блэкмана и Ханна.
На рисунке 43 показано взаимодействие окна Хэмминга на амплитудный спектр сигнала.
Если использовать прямоугольное окно, то наблюдается размытие пиков спектра. В хвостах пиков содержится ложная информация и можно ошибочно заключить, что в спектре дополнительно присутствуют сигналы. Если использовать окно Хэмминга, то пики становятся острее и ложная информация отсекается.