- •16. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы.
- •16.1. Двойной интеграл.
- •16.1.3. Свойства двойного интеграла.
- •16.1.5. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах.
- •16.1.6. Задачи на двойной интеграл.
- •16.1.7. Приложения двойного интеграла.
- •16.2. Тройной интеграл.
- •16.2.2.3. Интеграл от единичной функции по области V равен объёму этой области: .
- •16.2.5. Замена переменных в тройном интеграле.
- •14.3. Несобственные кратные интегралы.
- •16.3. Криволинейные интегралы.
- •16.3.2. Криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги).
- •16.3.2.4. Механические приложения криволинейного интеграла 1-го рода.
- •16.3.3. Криволинейный интеграл второго рода (по координатам).
- •16.3.3.4. Формула Грина.
- •16.3.3.6. Вычисление криволинейного интеграла второго рода в случае, когда выполняются условия независимости от формы пути.
- •16.4. Поверхностные интегралы.
- •16.4.3. Поверхностный интеграл первого рода (по площади поверхности).
- •16.4.3.3. Вычисление поверхностного интеграла первого рода.
- •6.4.3.4. Механические и физические приложения поверхностного интеграла 1-го рода.
- •16.4. Поверхностные интегралы.
- •16.4.4. Поверхностный интеграл второго рода (по координатам).
- •17. Теория поля.
- •17.1. Скалярное поле.
- •17.1.2. Частные случаи скалярных полей.
- •17.2. Векторное поле.
- •17.2.2. Дифференциальные характеристики векторного поля.
- •17.2.2.1. Дивергенция векторного поля.
- •17.2.3. Частные случаи векторных полей.
- •17.3.Поток векторного поля через поверхность.
17.1.2. Частные случаи скалярных полей.
Скалярное поле называетсяплоским, если существует такая плоскость П, что поле принимает одинаковые значения во всех точках прямой, перпендикулярной плоскости П. Другими словами, это поле устроено одинаково во всех плоскостях, параллельных плоскости П. Удачным выбором координатной системы в этом случае будет ввести её так, чтобы плоскость П была плоскостью Оху. Тогда ось Оz будет перпендикулярна П, и, по определению плоского поля, функция u(M) не должна зависеть от z, т.е. u(M) = u(х,у). Поверхности уровня этого поля - цилиндрические поверхности с образующими, перпендикулярными плоскости П; след этих поверхностей в плоскости П даст линии уровня функции u(х,у).
Скалярное поле называется цилиндрическим, если существует такая прямая L, что значения поля u(M) зависят только от расстояния r от точки М до прямой L. Если система координат введена так, что эта прямая - ось Оz, то и u(M)= u(r), т.е. цилиндрическое поле - частный случай плоского поля. Так как , то , . Понятно, что цилиндрическое поле проще всего описывается в цилиндрических координатах, так как функция u(M) не будет зависить от координат .
Скалярное поле называется сферическим, если существует такая точка О, что значения поля u(M) зависят только от расстояния r от точки М до точки О. Если точка О взята за начало системы координат, то и u(M)= u(r). Поверхности уровня сферического поля - сферы с центром в точке О. В этом случае также , . Сферическое поле проще всего описывается в сферических координатах, так как функция u(M) не будет зависить от координат .
17.2. Векторное поле.
17.2.1. Векторное поле. Если каждой точке М некоторой области V пространства соответствует значение некоторой векторной величины (M), то говорят, что в области V задано векторное поле (M). Примеры векторных полей - поле тяготения, поля электрической и магнитной напряжённостей, поле скоростей частиц движущейся жидкости.
Если в некоторой декартовой системе координат вектор (M) имеет координаты Р(M), Q(M), R(M), то . Таким образом, задание векторного поля (M) эквивалентно заданию трёх скалярных полей Р(M), Q(M), R(M). Будем называть векторное поле гладким, если его координатные функции - гладкие скалярные поля. Кроме того, будем предполать, что векторное поля не имеет особых точек, т.е. при , т.е. функции Р, Q, R не равны нулю одновременно.
В зависимости от рассматриваемых вопросов для нас будет более предпочтительной какая-либо одна из двух интерпретаций векторного поля - силовая или гидродинамическая. В силовой интерпретации вектор (M) трактуется как сила (тяжести, напряжённости, например), действующая в точке М; в гидродинамической интепретации (M) рассматривается как поле скоростей текущей в области V несжимаемой жидкости. Как и в случае скалярного поля, мы рассматриваем стационарные векторные поля, т.е. поля, постоянные во времени.
17.2.2. Дифференциальные характеристики векторного поля.
17.2.2.1. Дивергенция векторного поля.
Пусть в некоторой системе координат . Скалярная величина (скалярное поле) называется дивергенцией поля в точке М и обозначается : . С помощью оператора набла дивергенция определяется как скалярное произведение . В дальнейшем мы увидем, что дивергенция инвариантна относительно системы координат и обозначает плотность источников поля, а сейчас сформулируем свойства дивергенции:
Если (M) - постоянное векторное поле, то ;
(или );
Если u - скалярное поле, то (или ). В частности, если (M) - постоянное векторное поле, то .
Докажем, например, третье свойство. .
Пример вычисления дивергенции: если , то .
17.2.2.2. Ротор векторного поля. Ротором векторного поля (M) в точке называется векторная величина (векторное поле) . Запомнить эту формулу очень легко, если выразить через оператор Гамильтона набла: равен векторному произведению . Действительно, . Если теперь раскрыть этот определитель по первой строке, получим
.
Пример: если , то
Свойства ротора:
Если (M) - постоянное векторное поле, то ;
(или );
Если u - скалярное поле, то (или ). В частности, если (M) - постоянное векторное поле, то .
Докажем третье свойство.
.