Математическое моделирование в естественных науках.-1

Ключевые слова: дискретно-атомистическое моделирование, несимметричная упругость, прогнозирование упругих модулей кристаллических материалов.

Инвариантное представление тензора линейно-упругих модулей для кристаллического материала в отсчетной конфигурации имеет вид

Рассмотрим применение полученных соотношений в частном случае двумерных квазикристаллических структур. Для описания металлической связи при дискретно-атомистическом моделировании используется метод погруженного атома [11–13], основанный на применении потенциалов многочастичного взаимодействия. Для того чтобы группы атомов взаимодействовали на большом расстоянии согласно экспериментальным законам (описываются потенциалами Морзе или Ми [14]), а на малых расстояниях учитывалась металлическая связь, предлагается модификация метода, основанная на потенциале Ми:

361

где M – число всех атомов образца, m,n , cij {0,1}, p {1,2} , cij = 1 для атомов, участвующих в образовании электронного газа вблизи положения i-го атома, cij = 0 для всех ос-

тальных атомов. Размер окрестности для учета соседей может быть от одной до нескольких координационных сфер.

Для того чтобы группы атомов взаимодействовали на большом расстоянии согласно экспериментальным законам (описываются потенциалами Морзе или Ми [11]), а на малых расстояниях учитывалась металлическая (многочастичная) связь, предлагается модификация метода, основанная на применении обобщенного потенциала Морзе:

тальных атомов. Размер окрестности для учета соседей может быть от одной до нескольких координационных сфер. Также заданием параметров cij , учитывающих для каждого атома вза-

имное притяжение к нему трех ближайших соседей, может быть описана и ковалентная связь [7].

Для плоских квазикристаллических структур с осями симметрии различного порядка (примеры – на рисунке) получено, что при использовании парных потенциалов для оси симметрии любого порядка, кроме четвертого, тензор упругих свойств содержит только две ненулевые независимые компо-

362

Сравнительная таблица

364

Окончание таблицы

наблюдалась и для рассмотренных структур, хотя отдельно этот вопрос не исследовался, поскольку целью является проверка способности различных потенциалов описывать анизотропию упругих свойств, характер которой не связан с размерами образца.

Из условия положительной определенности тензора линей- но-упругих свойств H для двумерной среды, как в рассмотренных примерах, следуют ограничения: E > 0 , ν (−1;1) . Причем мо-

дуль Юнга определяется как E = (H11112 − H11222 ) / H1111 , коэффициент Пуассона ν = H1122 / H1111 . При использовании потенциалов

погруженного атома (2) и (3) для различных двумерных структур получалось число независимых модулей, которое частично соответствует результатам линейной теории упругости [12]. Отличие от классических результатов теории упругости для двумерной среды дает случай оси симметрии 6-го порядка, который должен описываться только двумя независимыми ненулевыми упругими модулями. Метод погруженного атома при этом дает три независимых компоненты тензора упругих свойств. Также для всех рассмотренных случаев при использовании потенциала (2) и (3) получается заниженное значение сдвигового модуля G = H1212 . Эти

особенности требуют дополнительного исследования. Тем не ме-

365

нее для более сложных случаев симметрии метод погруженного атома, в отличие от парных потенциалов, дает физически более корректные результаты.

Список литературы

1.Arroyo M., Belytschko T. Finite crystal elasticity of carbon nanotubes based on the exponential Cauchy–Born rule // Phys. Rev. B. – 2004. – Vol. 69. – 115415 (11 p.).

(DOI: 10.1103/PhysRevB.69.115415)

2.Reddy C.D., Rajendran S., Liew K.M. Equilibrium configuration and continuum elastic properties of finite sized graphene // Nanotechnology. – 2006. – Vol. 17. – Р. 864–870.

3.Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. –

М.: Наука, 1986. – 232 с.

4.Zubko I.Yu., Kochurov V.I. Estimation of elastic moduli of graphene monolayer in lattice statics approach at nonzero temperature // AIP Conf. Proc. – 2015. – Vol. 1683. – 020241.

5.Pietraszkiewicz W., Eremeyev V.A. On natural strain measures of the nonlinear micropolar continuum // International Journal of Solids and Structures. – 46 (3–4). – Р. 774–787.

6.Clayton J. Nonlinear Mechanics of Crystals. – Springer, London, 2011. – 715 p.

7.Беринский И.Е., Кривцов А.М. Об использовании многочастичных межатомных потенциалов для расчета упругих характеристик графена и алмаза // Известия РАН. Механика твер-

дого тела. – 2012. – № 6. – С. 60–85.

8.Симонов М.В., Зубко И.Ю. Определение равновесных параметров решетки различных ГПУ-монокристаллов с помощью потенциала межатомного взаимодействия Ми // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического уни-

верситета. Механика. – 2012. – № 3. – С. 204–217.

9.Зубко И.Ю., Симонов М.В. Энергетический способ расчета упругих модулей образцов конечных размеров с ГПУ-решет-

366

кой // Известия Томского политехнического университета. – 2013. – Т. 323. № 2. – С. 194–200.

10.Зубко И.Ю. Вычисление упругих модулей монослоя графена в несимметричной постановке с помощью энергетического подхода// Физическаямезомеханика. – 2015. – Т. 18, №2. – С. 37–50.

11.Daw M.S., Baskes M.I. Embedded-atom method: Derivation and application to impurities, surfaces, and other defects in metals // Physical Review B. – 1984. – Vol. 29, № 12. – P. 6443–6453.

12.Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. –

М.: Наука, 1988. – 190 с.

СТАЦИОНАРНЫЕ РЕЖИМЫ РАБОТЫ ПЛОСКОГО ГОРЕЛОЧНОГО УСТРОЙСТВА

Я.С. Тархаева1

Томский государственный университет систем управления

ирадиоэлектроники, Томск, Россия, jana.tarkhaeva@ya.ru

Вработе построено аналитическое решение стационарной задачи о сжигании газовой смеси в плоском пористом слое. Принято, что следствием тепловыделения в химических реакциях является высокая температура на выходе из пористого слоя. Скорость газа подчиняется закону Дарси. Аналитическое решение позволяет рассчитать радиационный поток, уходящийктеплообменнику, имассовуюскоростьсжигания газа.

Ключевые слова: модели фильтрационного горения, сжигание газа в пористых средах.

Загрязнение атмосферы при сжигании газов является самым мощным и постоянно действующим фактором воздействия на здоровье человека и окружающую среду. Для решения проблемы уменьшения экологически вредных выбросов и повышения эффекта от сжигания бедных газовых смесей разрабатыва-

1Научный руководитель – д.ф.-м.н., профессор, ИФПМ СО РАН А.Г. Князева.

367

ются горелочные устройства с пористым рабочим телом [1, 2]. Моделирование режимов работы таких устройств [3, 4] является важным этапом в разработке технологий.

Настоящая работа посвящена теоретическому исследованию стационарного режима работы пористого горелочного устройства. Сформулирована стационарная модель сжигания газа в плоском пористом теле конечной длины. Математическая постановка задачи в декартовой системе координат в однотемпературном приближении включает уравнение теплопроводности, учитывающее свойства газа и твердого каркаса, уравнение переноса в газовой фазе, уравнения неразрывности и движения:

На входе граничными условиями будут: x = 0, η = 1, T = T0. На выходе из пористого тела условия зависят от характера теплообмена с теплообменником и с окружающей горелочное устройство газовой фазой. Для стационарной модели условия для температуры и реагента будут иметь следующий вид [5]:

368

Если теплообмен между рабочим телом и горячим газом с окружающей газовой фазой – идеальный, то в (5) αeff→∞. Тогда можно принять, что на выходе из горелочного устройства

T = Tb .

Если газ несжимаемый, то ρg = const. Поставляя (4) в (3), найдем:

Если давление на входе и на выходе задано и задан характер зависимости kf от давления или координаты, то это уравнение можно проинтегрировать. В частном случае при условии постоянства kf получим

p = p0 + p0 − pe x . L

Следовательно, скорость газа оказывается известной функцией координаты:

Используя (5), представим стационарные уравнения теплопроводности (1) и переноса реагента (2) в виде:

369

Уравнения (8), (9) с условиями (5), (6) на выходе и T=T0, η=1 на входе в пористое тело образуют простейшую однотемпературную модель сжигания несжимаемого газа в плоском пористом теле с учетом взаимодействия с теплообменником.

Полагая, что зона реакции является узкой, и тепловыделение в стационарном режиме сосредоточено вблизи внешней поверхности и приводит к ее нагреву до температуры Tb, для получения предварительных оценок придем к простой задаче теплопроводности:

B = cg ρg mk f A,

решение которой при условии постоянства свойств имеет вид:

Bx

T = C1 = C2eλeff .

Определяя постоянные интегрирования из граничных условий, найдем стационарное распределение температуры

Аналогичным образом получается решение для случая, когда нагрев внешней поверхности цилиндра осуществляется за счет конвективного теплообмена с продуктами сгорания, имеющими температуру Tb.

370